ss
状態空間モデル
説明
ss を使用して実数値の、または複素数値の状態空間モデルを作成したり、動的システム モデルを状態空間モデル形式に変換したりします。
状態空間モデルは、1 階微分方程式で関連付けられる一連の入力、出力、および状態変数としての物理システムの数学的な表現です。状態変数は出力変数の値を定義します。ss モデル オブジェクトは SISO または MIMO 状態空間モデルを連続時間または離散時間で表現できます。
連続時間では、状態空間モデルは次の形式をとります。
ここで、x、u および y はそれぞれ状態、入力および出力を表し、A、B、C および D は状態空間行列です。離散時間では、状態空間モデルは以下の形式を取ります。
ss オブジェクトは、A、B、C および D を、サンプル時間、I/O 名、遅延、オフセットなどの情報と共に格納している MATLAB® の連続時間または離散時間状態空間モデルを表します。
状態と入力行列および出力行列を直接指定して、または別の種類のモデル (伝達関数モデル tf など) を変換して、状態空間モデル オブジェクトを作成することができます。詳細については、状態空間モデルを参照してください。ss モデル オブジェクトを使用して次のことができます。
線形解析を実行する
制御設計を実行するための線形時不変 (LTI) モデルを表す
他の LTI モデルと組み合わせて、より複雑なシステムを表現する
作成
構文
説明
sys = ss(ltiSys,component)ltiSys のうち、指定された component の測定成分、ノイズ成分またはその両方を ss オブジェクト形式に変換します。この構文は、ltiSys が、idtf (System Identification Toolbox)idss (System Identification Toolbox)idproc (System Identification Toolbox)idpoly (System Identification Toolbox) または idgrey (System Identification Toolbox) オブジェクトなどの、同定された (LTI) モデルである場合にのみ使用します。
入力引数
出力引数
プロパティ
オブジェクト関数
以下のリストには、ss モデル オブジェクトで使用できる関数の代表的なサブセットが含まれています。一般に、動的システム モデルに適用できるすべての関数は ss オブジェクトに適用できます。
例
次の状態空間行列で定義される SISO 状態空間モデルを作成します。
行列 A、B、C および D を指定して状態空間モデルを作成します。
A = [-1.5,-2;1,0]; B = [0.5;0]; C = [0,1]; D = 0; sys = ss(A,B,C,D)
sys =
A =
x1 x2
x1 -1.5 -2
x2 1 0
B =
u1
x1 0.5
x2 0
C =
x1 x2
y1 0 1
D =
u1
y1 0
Continuous-time state-space model.
Model Properties
サンプル時間が 0.25 秒であり次の状態空間行列をもつ状態空間モデルを作成します。
状態空間行列を指定します。
A = [0 1;-5 -2]; B = [0;3]; C = [0 1]; D = 0;
サンプル時間を指定します。
Ts = 0.25;
状態空間モデルを作成します。
sys = ss(A,B,C,D,Ts);
この例では、慣性テンソル J と振幅が 0.2 の減衰力 F で角を中心にして回転しているキューブについて考えます。システムへの入力は駆動トルクであり、角速度が出力です。このキューブの状態空間行列は次のようになります。
行列 A、B、C および D を指定して、連続時間状態空間モデルを作成します。
J = [8 -3 -3; -3 8 -3; -3 -3 8]; F = 0.2*eye(3); A = -J\F; B = inv(J); C = eye(3); D = 0; sys = ss(A,B,C,D)
sys =
A =
x1 x2 x3
x1 -0.04545 -0.02727 -0.02727
x2 -0.02727 -0.04545 -0.02727
x3 -0.02727 -0.02727 -0.04545
B =
u1 u2 u3
x1 0.2273 0.1364 0.1364
x2 0.1364 0.2273 0.1364
x3 0.1364 0.1364 0.2273
C =
x1 x2 x3
y1 1 0 0
y2 0 1 0
y3 0 0 1
D =
u1 u2 u3
y1 0 0 0
y2 0 0 0
y3 0 0 0
Continuous-time state-space model.
Model Properties
行列 C および行列 D を見ると、システムには 3 つの入力と 3 つの出力が含まれているため、sys は MIMO です。MIMO 状態空間モデルの詳細については、MIMO 状態空間モデルを参照してください。
次の離散時間、多入力、多出力の、サンプル時間 ts = 0.2 秒の状態行列を使用して、状態空間モデルを作成します。
状態空間行列を指定して、離散時間 MIMO 状態空間モデルを作成します。
A = [-7,0;0,-10]; B = [5,0;0,2]; C = [1,-4;-4,0.5]; D = [0,-2;2,0]; ts = 0.2; sys = ss(A,B,C,D,ts)
sys =
A =
x1 x2
x1 -7 0
x2 0 -10
B =
u1 u2
x1 5 0
x2 0 2
C =
x1 x2
y1 1 -4
y2 -4 0.5
D =
u1 u2
y1 0 -2
y2 2 0
Sample time: 0.2 seconds
Discrete-time state-space model.
Model Properties
状態空間行列を作成し、サンプル時間を指定します。
A = [-0.2516 -0.1684;2.784 0.3549]; B = [0;3]; C = [0 1]; D = 0; Ts = 0.05;
値と名前のペアを使用して状態名と入力名を指定し、状態空間モデルを作成します。
sys = ss(A,B,C,D,Ts,'StateName',{'Position' 'Velocity'},... 'InputName','Force');
状態名と入力名の数は、A、B、C、および D の次元と一致しなければなりません。
入力と出力に名前を付けるのは、MIMO システムで応答プロットを扱うときに有用である可能性があります。
step(sys)
ステップ応答プロットのタイトルの入力名 Force に注目してください。
この例では、別の状態空間モデルから継承された、同じ time プロパティと input unit プロパティをもつ状態空間モデルを作成します。次の状態空間モデルについて考えます。
まず、TimeUnit プロパティおよび InputUnit プロパティが 'minutes' に設定された状態空間モデル sys1 を作成します。
A1 = [-1.5,-2;1,0]; B1 = [0.5;0]; C1 = [0,1]; D1 = 5; sys1 = ss(A1,B1,C1,D1,'TimeUnit','minutes','InputUnit','minutes');
sys1 の time プロパティおよび input unit プロパティが 'minutes' に設定されていることを検証します。
propValues1 = [sys1.TimeUnit,sys1.InputUnit]
propValues1 = 1×2 cell
{'minutes'} {'minutes'}
sys1 から継承されたプロパティをもつ 2 つ目の状態空間モデルを作成します。
A2 = [7,-1;0,2]; B2 = [0.85;2]; C2 = [10,14]; D2 = 2; sys2 = ss(A2,B2,C2,D2,sys1);
sys2 の time および input units が sys1 から継承されていることを検証します。
propValues2 = [sys2.TimeUnit,sys2.InputUnit]
propValues2 = 1×2 cell
{'minutes'} {'minutes'}
この例では、静的ゲインの MIMO 状態空間モデルを作成します。
次の 2 入力、2 出力の静的ゲイン行列について考えます。
ゲイン行列を指定して静的ゲイン状態空間モデルを作成します。
D = [2,4;3,5]; sys1 = ss(D)
sys1 =
D =
u1 u2
y1 2 4
y2 3 5
Static gain.
Model Properties
以下の伝達関数の状態空間モデルを計算します。
伝達関数モデルを作成します。
H = [tf([1 1],[1 3 3 2]) ; tf([1 0 3],[1 1 1])];
このモデルを状態空間モデルに変換します。
sys = ss(H);
状態空間モデルのサイズを調べます。
size(sys)
State-space model with 2 outputs, 1 inputs, and 5 states.
状態の数は、H(s) の SISO エントリの累積次数に等しくなります。
H(s) の最小実現を得るには、次のように入力します。
sys = ss(H,'minimal');
size(sys)State-space model with 2 outputs, 1 inputs, and 3 states.
結果として得られるモデルの次数は 3 です。これは、H(s) を表現するために必要とされる最小の状態数です。この状態数を確認するには、H(s) を 1 次系と 2 次系の積としてリファクタリングします。
この例では、同定された多項式モデルの測定成分とノイズ成分を 2 つの別々の状態空間モデルに抽出します。
identifiedModel.mat の Box-Jenkins 多項式モデル ltiSys を読み込みます。
load('identifiedModel.mat','ltiSys');
ltiSys は同定された 形式の離散時間モデルで、 は測定成分、 はノイズ成分を表します。
測定成分とノイズ成分を状態空間モデルとして抽出します。
sysMeas = ss(ltiSys,'measured') sysMeas =
A =
x1 x2
x1 1.575 -0.6115
x2 1 0
B =
u1
x1 0.5
x2 0
C =
x1 x2
y1 -0.2851 0.3916
D =
u1
y1 0
Input delays (sampling periods): 2
Sample time: 0.04 seconds
Discrete-time state-space model.
Model Properties
sysNoise = ss(ltiSys,'noise')sysNoise =
A =
x1 x2 x3
x1 1.026 -0.26 0.3899
x2 1 0 0
x3 0 0.5 0
B =
v@y1
x1 0.25
x2 0
x3 0
C =
x1 x2 x3
y1 0.319 -0.04738 0.07106
D =
v@y1
y1 0.04556
Input groups:
Name Channels
Noise 1
Sample time: 0.04 seconds
Discrete-time state-space model.
Model Properties
測定成分はプラント モデルとすることができ、ノイズ成分は制御システム設計の外乱モデルとして使用できます。
記述子状態空間モデル (E ≠ I) を作成します。
a = [2 -4; 4 2]; b = [-1; 0.5]; c = [-0.5, -2]; d = [-1]; e = [1 0; -3 0.5]; sysd = dss(a,b,c,d,e);
システムの陽的な実現 (E = I) を計算します。
syse = ss(sysd,'explicit')syse =
A =
x1 x2
x1 2 -4
x2 20 -20
B =
u1
x1 -1
x2 -5
C =
x1 x2
y1 -0.5 -2
D =
u1
y1 -1
Continuous-time state-space model.
Model Properties
記述子と陽的な実現には等価なダイナミクスがあることを確認します。
bodeplot(sysd,syse,'g--')
この例では、固定パラメーターと調整可能なパラメーターの両方をもつ状態空間genssモデルを作成する方法を説明します。
ここで、a と b は初期値がそれぞれ -1 と 3 の調整可能なパラメーターです。
realpを使用して調整可能なパラメーターを作成します。
a = realp('a',-1); b = realp('b',3);
a と b の代数式を使って一般化行列を定義します。
A = [1 a+b;0 a*b];
A は、Blocks プロパティに a と b を含む一般化行列です。a と b の初期値から、A の初期値は [1 2;0 -3] です。
固定値状態空間行列を作成します。
B = [-3.0;1.5]; C = [0.3 0]; D = 0;
ssを使用して状態空間モデルを作成します。
sys = ss(A,B,C,D)
Generalized continuous-time state-space model with 1 outputs, 1 inputs, 2 states, and the following blocks: a: Scalar parameter, 2 occurrences. b: Scalar parameter, 2 occurrences. Model Properties Type "ss(sys)" to see the current value and "sys.Blocks" to interact with the blocks.
sys は、調整可能なパラメーター a および b を含む一般化 LTI モデル (genss) です。
この例では、次の状態空間行列で定義された SISO 状態空間モデルについて考えます。
0.5 秒の入力遅延と 2.5 秒の出力遅延を考慮し、行列 A、B、C および D を表す状態空間モデルオブジェクトを作成します。
A = [-1.5,-2;1,0]; B = [0.5;0]; C = [0,1]; D = 0; sys = ss(A,B,C,D,'InputDelay',0.5,'OutputDelay',2.5)
sys =
A =
x1 x2
x1 -1.5 -2
x2 1 0
B =
u1
x1 0.5
x2 0
C =
x1 x2
y1 0 1
D =
u1
y1 0
Input delays (seconds): 0.5
Output delays (seconds): 2.5
Continuous-time state-space model.
Model Properties
get コマンドを使用して MATLAB オブジェクトのすべてのプロパティを表示することもできます。
get(sys)
A: [2×2 double]
B: [2×1 double]
C: [0 1]
D: 0
E: []
Offsets: []
Scaled: 0
StateName: {2×1 cell}
StatePath: {2×1 cell}
StateUnit: {2×1 cell}
InternalDelay: [0×1 double]
InputDelay: 0.5000
OutputDelay: 2.5000
InputName: {''}
InputUnit: {''}
InputGroup: [1×1 struct]
OutputName: {''}
OutputUnit: {''}
OutputGroup: [1×1 struct]
Notes: [0×1 string]
UserData: []
Name: ''
Ts: 0
TimeUnit: 'seconds'
SamplingGrid: [1×1 struct]
LTI モデルのむだ時間の指定の詳細については、むだ時間の指定を参照してください。
この例では、次の状態行列を表す状態空間 System object™ について考えます。
ss コマンドを使用して状態空間オブジェクト sys を作成します。
A = [-1.2,-1.6,0;1,0,0;0,1,0]; B = [1;0;0]; C = [0,0.5,1.3]; D = 0; sys = ss(A,B,C,D);
次に、負の単位ゲインについて閉ループ状態空間モデルを計算し、閉ループ状態空間 System object sysFeedback の極を見つけます。
sysFeedback = feedback(sys,1); P = pole(sysFeedback)
P = 3×1 complex
-0.2305 + 1.3062i
-0.2305 - 1.3062i
-0.7389 + 0.0000i
単位ゲインのフィードバック ループは、すべての極が負の実数部をもつため安定しています。閉ループの極を確認すると、安定性を 2 進数で評価できます。業務上は、安定性が堅牢 (または脆弱) であるかがわかると非常に役に立ちます。堅牢性を示すものとして、安定性が失われる前の、ループ ゲインの変化の度合いがあります。根軌跡プロットを使用すると、ループが安定している k 値の範囲を推定できます。
rlocus(sys)
ループ ゲインの変化は堅牢な安定性を示す 1 つの要素にすぎません。一般的に、不完全なプラントのモデル化は、ゲインと位相の両方が正確にわかっていないことを意味します。モデル化誤差はゲインの交差周波数 (開ループ ゲインが 0dB の周波数) 付近で最も悪影響を及ぼすため、この周波数でどの程度の位相の変化を許容できるかも問題になります。
ゲイン余裕と位相余裕は、以下のようにボード線図に表示できます。
bode(sys) grid
より詳細な例については、ゲイン余裕と位相余裕の評価を参照してください。
この例では、次の行列で表されるシステムについて、0.75 rad/s のターゲット帯域幅をもつ 2-DOF PID コントローラーを設計します。
ss コマンドを使用して状態空間オブジェクト sys を作成します。
A = [-0.5,-0.1;1,0]; B = [1;0]; C = [0,1]; D = 0; sys = ss(A,B,C,D)
sys =
A =
x1 x2
x1 -0.5 -0.1
x2 1 0
B =
u1
x1 1
x2 0
C =
x1 x2
y1 0 1
D =
u1
y1 0
Continuous-time state-space model.
Model Properties
ターゲット帯域幅を使用し、pidtuneを使用して 2-DOF コントローラーを生成します。
wc = 0.75;
C2 = pidtune(sys,'PID2',wc)C2 =
1
u = Kp (b*r-y) + Ki --- (r-y) + Kd*s (c*r-y)
s
with Kp = 0.513, Ki = 0.0975, Kd = 0.577, b = 0.344, c = 0
Continuous-time 2-DOF PID controller in parallel form.
Model Properties
タイプ 'PID2' を使用すると、pidtune により 2-DOF コントローラーが生成され、pid2 オブジェクトとして表現されます。表示によりこの結果を確認します。表示にはまた、pidtune がすべてのコントローラー係数を、設定点の重み b および c を含めて調整し、性能とロバスト性のバランスを取っていることも示されます。
ライブ エディターによる対話型の PID 調整については、PID コントローラーの調整ライブ エディター タスクを参照してください。このタスクを使用すると、PID コントローラーを対話的に設計し、ライブ スクリプト用の MATLAB コードを自動的に生成できます。
スタンドアロン アプリによる対話型の PID 調整には、PID 調整器を使用します。アプリを使用したコントローラーの設計の例については、高速設定値追従用の PID コントローラーの設計を参照してください。
5 つの入力と 4 つの出力をもつ状態空間プラント G、および 3 つの入力と 2 つの出力をもつ状態空間フィードバック コントローラー K を考えてみましょう。プラント G の出力 1、3、4 をコントローラー K の入力に接続し、コントローラー出力をプラントの入力 4 と 2 に接続しなければなりません。
この例では、次の一連の行列によって表される G および K の両方についての 2 つの連続時間状態空間モデルについて考えます。
AG = [-3,0.4,0.3;-0.5,-2.8,-0.8;0.2,0.8,-3]; BG = [0.4,0,0.3,0.2,0;-0.2,-1,0.1,-0.9,-0.5;0.6,0.9,0.5,0.2,0]; CG = [0,-0.1,-1;0,-0.2,1.6;-0.7,1.5,1.2;-1.4,-0.2,0]; DG = [0,0,0,0,-1;0,0.4,-0.7,0,0.9;0,0.3,0,0,0;0.2,0,0,0,0]; sysG = ss(AG,BG,CG,DG)
sysG =
A =
x1 x2 x3
x1 -3 0.4 0.3
x2 -0.5 -2.8 -0.8
x3 0.2 0.8 -3
B =
u1 u2 u3 u4 u5
x1 0.4 0 0.3 0.2 0
x2 -0.2 -1 0.1 -0.9 -0.5
x3 0.6 0.9 0.5 0.2 0
C =
x1 x2 x3
y1 0 -0.1 -1
y2 0 -0.2 1.6
y3 -0.7 1.5 1.2
y4 -1.4 -0.2 0
D =
u1 u2 u3 u4 u5
y1 0 0 0 0 -1
y2 0 0.4 -0.7 0 0.9
y3 0 0.3 0 0 0
y4 0.2 0 0 0 0
Continuous-time state-space model.
Model Properties
AK = [-0.2,2.1,0.7;-2.2,-0.1,-2.2;-0.4,2.3,-0.2]; BK = [-0.1,-2.1,-0.3;-0.1,0,0.6;1,0,0.8]; CK = [-1,0,0;-0.4,-0.2,0.3]; DK = [0,0,0;0,0,-1.2]; sysK = ss(AK,BK,CK,DK)
sysK =
A =
x1 x2 x3
x1 -0.2 2.1 0.7
x2 -2.2 -0.1 -2.2
x3 -0.4 2.3 -0.2
B =
u1 u2 u3
x1 -0.1 -2.1 -0.3
x2 -0.1 0 0.6
x3 1 0 0.8
C =
x1 x2 x3
y1 -1 0 0
y2 -0.4 -0.2 0.3
D =
u1 u2 u3
y1 0 0 0
y2 0 0 -1.2
Continuous-time state-space model.
Model Properties
フィードバック ループで接続される入力と出力に基づいて feedout および feedin ベクトルを定義します。
feedin = [4 2]; feedout = [1 3 4]; sys = feedback(sysG,sysK,feedin,feedout,-1)
sys =
A =
x1 x2 x3 x4 x5 x6
x1 -3 0.4 0.3 0.2 0 0
x2 1.18 -2.56 -0.8 -1.3 -0.2 0.3
x3 -1.312 0.584 -3 0.56 0.18 -0.27
x4 2.948 -2.929 -2.42 -0.452 1.974 0.889
x5 -0.84 -0.11 0.1 -2.2 -0.1 -2.2
x6 -1.12 -0.26 -1 -0.4 2.3 -0.2
B =
u1 u2 u3 u4 u5
x1 0.4 0 0.3 0.2 0
x2 -0.44 -1 0.1 -0.9 -0.5
x3 0.816 0.9 0.5 0.2 0
x4 -0.2112 -0.63 0 0 0.1
x5 0.12 0 0 0 0.1
x6 0.16 0 0 0 -1
C =
x1 x2 x3 x4 x5 x6
y1 0 -0.1 -1 0 0 0
y2 -0.672 -0.296 1.6 0.16 0.08 -0.12
y3 -1.204 1.428 1.2 0.12 0.06 -0.09
y4 -1.4 -0.2 0 0 0 0
D =
u1 u2 u3 u4 u5
y1 0 0 0 0 -1
y2 0.096 0.4 -0.7 0 0.9
y3 0.072 0.3 0 0 0
y4 0.2 0 0 0 0
Continuous-time state-space model.
Model Properties
size(sys)
State-space model with 4 outputs, 5 inputs, and 6 states.
sys は、G と K の指定された入力と出力を接続して取得される結果の閉ループ状態空間モデルです。
R2024a 以降
この例では、Simulink® モデルを線形化し、線形化オフセットを ss モデル オブジェクトの Offsets プロパティに格納する方法を示します。
Simulink モデルを開きます。
mdl = 'watertankNLModel';
open_system(mdl)水位の初期条件を指定します。
h0 = 10;
モデルの線形解析ポイントを指定します。
io(1) = linio('watertankNLModel/Step',1,'input'); io(2) = linio('watertankNLModel/H',1,'output');
モデルをシミュレートし、時間スナップショットで操作点を抽出します。
tlin = [0 15 30]; op = findop(mdl,tlin);
線形化の結果をオフセットと共に計算します。
options = linearizeOptions('StoreOffsets',true);
[linsys,~,info] = linearize(mdl,io,op,options);関数により、状態空間モデルの配列 linsys とそれに対応する線形化オフセットが info.Offsets に返されます。
ss モデル オブジェクトの Offsets プロパティには、フィールド u、y、x、dx をもつ構造体が必要です。これらのオフセットは、linearize からの出力 info.Offsets を使用して直接設定できます。
linsys.Offsets = info.Offsets; linsys.Offsets
ans=3×1 struct array with fields:
dx
x
u
y
