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正準状態空間実現

状態空間モデルは、次の標準的な形式で実現できます。

  • モード正準形式

  • コンパニオン正準形式

  • 可観測正準形式

  • 可制御正準形式

モード正準形式

モード形式では、A はブロック対角行列です。ブロック サイズは、一般に、実数固有値に対しては 1 行 1 列であり、複素固有値に対しては 2 行 2 列です。ただし、繰り返される固有値または近傍固有値のクラスターが存在する場合、ブロック サイズが大きくなる可能性があります。

たとえば、固有値 (λ1,σ±jω,λ2) をもつシステムの場合、モード行列 A は次の形式になります。

[λ10000σω00ωσ0000λ2]

コンパニオン正準形式

コンパニオン実現では、システムの特性多項式は、行列 A の右端の列に明示的に現れます。システムのコンパニオン正準形式を得るには、canoncanon (System Identification Toolbox) コマンドを次のように使用します。

csys = canon(sys,'companion')

次の特性多項式を備えたシステムの場合、

P(s)=sn+α1sn1++αn1s+αn

対応するコンパニオン行列 A は、次のとおりです。

A=[01000001000001000001αnαn1αn2αn3  α1]

コンパニオン変換では、システムが最初の入力から制御可能であることが必要です。コンパニオン形式への変換は、中間範囲の次数ではほとんどの場合に数値的に特異値になる可制御性行列に基づきます。そのため、可能な限り、計算に用いるのは避けてください。コンパニオン正準形式は、可観測正準形式と同じです。

可観測正準形式

可観測正準形式はコンパニオン正準形式と同じですが、システムの特性多項式が行列 A の右端に明示的に表れます。システムの可観測正準形式を得るには、canon コマンドを次のように使用します。

csys = canon(sys,'companion')

以下の伝達関数によって定義されるシステムについて、

Q(s)P(s) = b0sn+b1sn1++bn1s+bnsn+α1sn1++αn1s+αn

対応する行列は次のようになります。

Ao=[01000001000001000001αnαn1αn2αn3  α1]

Bo=[   bnanb0bn1an1b0bn2an2b0             b1a1b0]

Co=[0001]

Do=b0

可観測正準形式は、コンパニオン形式と同じため、ほとんどの状態空間計算について悪条件です。システムのコンパニオン形式への変換は、中域の次数についてほぼ常に数値的に特異値になる可制御行列に基づいています。そのため、可能な限り、計算に用いるのは避けてください。

可制御正準形式

システムの可制御正準形式は、その可観測正準形式の転置で、システムの特性多項式が行列 A の最後の行に明示的に表れます。

以下の伝達関数によって定義されるシステムについて、

Q(s)P(s) = b0sn+b1sn1++bn1s+bnsn+α1sn1++αn1s+αn

対応する行列は次のようになります。

Ac=[  0  0    0αn    1    0        0αn1    0    1        0αn2  0  0    1α1]

Bc=[0001]

Cc=[bnanb0   bn1an1b0bn2an2b0b1a1b0]

Dc=b0

可観測正準実現と可制御正準実現の関係は次のとおりです。

Ac=AoTBc=CoTCc=BoTDc=Do

可制御正準形式は、極配置法を使用したコントローラー設計に役立ちます。システムのコンパニオン形式への変換は、中域の次数についてほぼ常に数値的に特異値になる可制御行列に基づいています。したがって、可能な限り、可制御形式を計算に使用するのは避けてください。

参考

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