modalreal

モード状態空間実現を計算する

R2023b 以降

構文

[msys,blks] = modalreal(sys)

[msys,blks,TL,TR] = modalreal(sys)

[___] = modalreal(sys,Name=Value)

説明

[msys,blks] = modalreal(sys) は LTI モデル sys のモード実現 msys を返します。これは、A または (A,E) がブロック対角であり、各ブロックが実極、複素数のペア、または繰り返しの極のクラスターに対応している実現です。blks は対角線の下のブロック サイズを含むベクトルです。

スパース モデルの場合、この構文は切り捨てられたモード実現を返します。既定では、関数は、最小の振幅をもつ最初の 1000 個のモードを計算します。 (R2026a 以降)

[msys,blks,TL,TR] = modalreal(sys) はブロック対角化変換 TL および TR も返します。

[___] = modalreal(sys,Name=Value) は、1 つ以上の名前と値の引数で指定されたオプションに基づいてモード実現を返します。これらのオプションは、ブロック サイズを制御し、複素数のペアに関連した 2 行 2 列のブロックを正規化するために使用します。

スパース モデルの場合、この構文は、計算された極のサブセットに基づいて、切り捨てられたモード実現を返します。このサブセットは、Focus オプションおよび MaxOrder オプションによって制御されます。 (R2026a 以降)

例

状態空間モデルのモード形式への変換

pendulumCartSSModel.mat には、出力がカートの変位 $x$ および振子角度 $\theta$ である、カート上の倒立振子の状態空間モデルが含まれています。制御入力 u はカート上の水平力です。

$$\begin{array}{l}\left[\begin{array}{c}\underset{}{\overset{\dot{}}{x}}\\ \underset{}{\overset{¨}{x}}\\ \underset{}{\overset{\dot{}}{\theta }}\\ \underset{}{\overset{¨}{\theta }}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& -0.1& 3& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& -0.5& 30& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ \underset{}{\overset{\dot{}}{x}}\\ \theta \\ \underset{}{\overset{\dot{}}{\theta }}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0\\ 5\end{array}\right]u\\ y=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ \underset{}{\overset{\dot{}}{x}}\\ \theta \\ \underset{}{\overset{\dot{}}{\theta }}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]u\end{array}$$

最初に、状態空間モデル sys をワークスペースに読み込みます。

load('pendulumCartSSModel.mat','sys');

sys をモード形式に変換し、ブロック サイズを抽出します。

[msys,blks,TL,TR] = modalreal(sys)

msys =
 
  A = 
           x1      x2      x3      x4
   x1       0       0       0       0
   x2       0   -0.05       0       0
   x3       0       0  -5.503       0
   x4       0       0       0   5.453
 
  B = 
          u1
   x1  1.875
   x2  6.298
   x3   12.8
   x4  12.05
 
  C = 
              x1         x2         x3         x4
   y1         16     -4.763  -0.003696   0.003652
   y2          0   0.003969   -0.03663    0.03685
 
  D = 
       u1
   y1   0
   y2   0
 
Continuous-time state-space model.
Model Properties

blks = 4×1

     1
     1
     1
     1

TL = 4×4

    0.0625    1.2500   -0.0000   -0.1250
         0    4.1986    0.0210   -0.4199
         0    0.2285  -13.5873    2.4693
         0   -0.2251   13.6287    2.4995

TR = 4×4

   16.0000   -4.7631   -0.0037    0.0037
         0    0.2381    0.0203    0.0199
         0    0.0040   -0.0366    0.0369
         0   -0.0002    0.2015    0.2009

msys は sys のモード実現です。blks は対角線の下のブロック サイズを表し、TL および TR はブロック対角化変換行列を表します。

零点-極-ゲイン モデルのモード実現

この例では、二重の極および近傍の極のクラスターをもつ次のシステムについて考えてみます。

$$sys\left(s\right)=100\frac{\left(s-1\right)\left(s+1\right)}{s\left(s+10\right)\left(s+10.0001\right){\left(s-\left(1+i\right)\right)}^2{\left(s-\left(1-i\right)\right)}^2}$$

このシステムの zpk モデルを作成し、関数 modalreal を使用してモード実現を取得します。

sys = zpk([1 -1],[0 -10 -10.0001 1+1i 1-1i 1+1i 1-1i],100);
[msys1,blks1] = modalreal(sys);
blks1

blks1 = 3×1

     1
     4
     2

msys1.A

ans = 7×7

         0         0         0         0         0         0         0
         0    1.0000    2.1220         0         0         0         0
         0   -0.4713    1.0000    1.5296         0         0         0
         0         0         0    1.0000    1.8439         0         0
         0         0         0   -0.5423    1.0000         0         0
         0         0         0         0         0  -10.0000    4.0571
         0         0         0         0         0         0  -10.0001

msys1.B

ans = 7×1

    0.1600
   -0.0052
    0.0201
   -0.0975
    0.2884
         0
    4.0095

sys には s=-10 と s=-10.0001 に 1 組の極があり、s=1+i と s=1-i に重複度 2 の 2 つの複素数極もあります。その結果、モード形式 msys1 は、s = -10 の近傍の 2 極に対するサイズ 2 のブロックがあり、複素固有値に対するサイズ 4 のブロックがある状態空間モデルになります。

これで、ブロック対角化変換の条件数を増やすことで、s = -10 の近傍の 2 つの極を分けます。この例では SepTol を 1e-10 に設定します。

[msys2,blks2] = modalreal(sys,SepTol=1e-10);
blks2

blks2 = 4×1

     1
     4
     1
     1

msys2.A

ans = 7×7

         0         0         0         0         0         0         0
         0    1.0000    2.1220         0         0         0         0
         0   -0.4713    1.0000    1.5296         0         0         0
         0         0         0    1.0000    1.8439         0         0
         0         0         0   -0.5423    1.0000         0         0
         0         0         0         0         0  -10.0000         0
         0         0         0         0         0         0  -10.0001

msys2.B

ans = 7×1
105 ×

    0.0000
   -0.0000
    0.0000
   -0.0000
    0.0000
    1.6267
    1.6267

msys2 の行列 A は、s = -10 の近傍の極の独立した対角要素を含みます。条件数を増やすと、B 行列の値が非常に大きくなります。

モード実現の対角ブロックの正規化

この例では、複素数のペアの極および近傍の極のクラスターをもつ次のシステムについて考えてみます。

$$sys\left(s\right)=100\frac{\left(s-1\right)\left(s+1\right)}{s\left(s+10\right)\left(s+10.0001\right){\left(s-\left(3+4i\right)\right)}^2}$$

このシステムの zpk モデルを作成し、関数 modalreal を使用してモード実現を取得します。

sys = zpk([1 -1],[0 -10 -10.0001 3+4i 3-4i],100);
[msys1,blks1] = modalreal(sys);
blks1

blks1 = 3×1

     1
     2
     2

msys1.A

ans = 5×5

         0         0         0         0         0
         0    3.0000    8.7637         0         0
         0   -1.8257    3.0000         0         0
         0         0         0  -10.0000    8.8001
         0         0         0         0  -10.0001

msys1 は、s = -10 の近傍の 2 極に対するサイズ 2 のブロックがあり、s = 3+4i および s = 3-4i における複素数の極のペアがある状態空間モデルになります。

Normalize オプションを使用して実際の極の値を表示するために 2 行 2 列のブロックの値を正規化できます。また、ブロック対角化変換の相対精度を緩和して、s = -10 の近傍のブロックを分離します。

[msys2,blks2] = modalreal(sys,Normalize=true,SepTol=1e-10);
blks2

blks2 = 4×1

     1
     2
     1
     1

msys2.A

ans = 5×5

         0         0         0         0         0
         0    3.0000    4.0000         0         0
         0   -4.0000    3.0000         0         0
         0         0         0  -10.0000         0
         0         0         0         0  -10.0001

複素数の極の場合、このオプションは複素数の極 $a\pm \text{bi}$ の 2 行 2 列のブロックを $\left[\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right]$ に正規化します。

スパース モデルの切り捨てられたモード実現の計算

R2026a 以降

この例では、modalreal を使用してスパース モデルの切り捨てられたモード実現を取得する方法を示します。

スパース モデルを読み込みます。

load flowmeterSparse.mat
size(sys)

Sparse state-space model with 5 outputs, 1 inputs, and 9669 states.

スパース モデルには 9669 の状態が含まれています。既定では、modalreal はスパース モデルで最小の振幅をもつ最初の 1000 個の極を計算しますが、これには時間がかかることがあります。モード実現を計算すると、modalreal でサイズ 1000 の実現が返されることがわかります。

[msys,blks,TL,TR] = modalreal(sys);
size(msys)

State-space model with 5 outputs, 1 inputs, and 1000 states.

Focus オプションおよび MaxOrder オプションを使用して、計算される極のサブセットを制限できます。たとえば、0 rad/s から 250 rad/s の周波数範囲でモード実現を計算します。

[msys2,blks2,TL2,TR2] = modalreal(sys,Focus=[0 250]);
size(msys2)

State-space model with 5 outputs, 1 inputs, and 33 states.

切り捨てられた実現の周波数応答を元のスパース モデルと比較します。

sigmaplot(sys,msys,".-",msys2,"--",w)
legend("Original model","Truncated realization (1000 modes)",...
    "Truncated realization (33 modes)")

このワークフローを使用して、スパース モデルの切り捨てられたモード実現を迅速に取得できます。柔軟性を高めるために、まず reducespec を使用して低次元化モデルを取得し、次にその結果に modalreal を適用します。

入力引数

sys — 動的システム

動的システム モデル

動的システム。SISO または MIMO 動的システム モデルとして指定します。使用できる動的システムには次のようなものがあります。

• tf モデル、zpk モデル、ss モデル、pid モデルなどの連続時間または離散時間の数値 LTI モデル。

• genss や uss (Robust Control Toolbox) モデルなどの一般化された、あるいは不確かさをもつ LTI モデル。(不確かさをもつモデルを使用するには Robust Control Toolbox™ ソフトウェアが必要です。)

• idtf (System Identification Toolbox)、idss (System Identification Toolbox)、idproc (System Identification Toolbox)、idpoly (System Identification Toolbox)、idgrey (System Identification Toolbox) モデルなどの、同定された LTI モデル。(同定されたモデルを使用するには System Identification Toolbox™ ソフトウェアが必要です。)

• スパース状態空間モデル sparss または mechss。 (R2026a 以降)

  スパース モデルの場合、modalreal は、切り捨てられたモード形式を迅速に取得する必要がある場合に役立ちます。柔軟性を高めるために、まず reducespec を使用して低次元化モデルを取得し、次にその結果に modalreal を適用します。

frd モデルなどの周波数応答データ モデルは使用できません。

名前と値の引数

オプションの引数のペアを Name1=Value1,...,NameN=ValueN として指定します。ここで、Name は引数名で、Value は対応する値です。名前と値の引数は他の引数の後に指定しなければなりませんが、ペアの順序は重要ではありません。

例: [msys,blks] = modalreal(sys,Normalize=true)

SepTol — ブロック対角化の相対精度

1e-12 (既定値) | 0 ～ 1 のスカラー

ブロック対角化の相対精度。0 ～ 1 のスカラーとして指定します。

このオプションは、ブロック対角化変換の条件数を約 SepTol/eps に制限します。SepTol を増やすと、精度を犠牲にして、得られるブロックを小さくすることができます。

Normalize — 対角ブロックの正規化

false または 0 (既定値) | true または 1

1 行 1 列および 2 行 2 列の対角ブロックを正規化します。logical 0 (false) または 1 (true) として指定します。

Normalize が true の場合、関数はブロックを正規化して極値を示します。

• 陽的なモデルでは、関数は複素数のペア a±jb に関連した 2 行 2 列のブロックを $$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right]$$ に正規化します。

• 記述子モデルでは、関数は以下のように正規化します。

  • 1 行 1 列のブロックを A_j = a、E_j = 1 に。

  • 2 行 2 列のブロックを A_j = $$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right]$$、E_j = I に。

Focus — 対象の周波数範囲

[0 inf] (既定値) | ベクトル

R2026a 以降

対象の周波数範囲。[fmin,fmax] の形式のベクトルとして指定します。このプロパティの値を指定すると、アルゴリズムはこの周波数範囲のモードのみを計算します。

既定では、焦点は未指定 ([0 inf]) であり、アルゴリズムは、最小の振幅をもつ MaxOrder 個のモードを計算します。

MaxOrder — モーダル近似の最大次数

1000 (既定値) | 正の整数

R2026a 以降

モーダル近似の最大次数。正の整数として指定します。この値により、Krylov-Schur の反復 ([1]) によって計算される固有値の数と、元のスパース モデルのモーダル近似の次数が制限されます。

ModeTol — 計算されたモードの精度

1e-12 (既定値) | 正のスカラー

R2026a 以降

Krylov-Schur の反復で収束した固有値を識別するための許容誤差。正のスカラーとして指定します。

DCFrequency — DC の寄与を評価する周波数

0 (既定値) | 非負のスカラー

R2026a 以降

DC の寄与を評価および照合する周波数。非負のスカラーとして指定します。

積分器をもつモデルの場合、DC ゲインは無限であるため、DC でのモーダル寄与を評価することはできません。異なる周波数でモーダル寄与を評価してゲインを照合するには、プロパティを正の値に設定します。このプロパティの既定値は、実際の DC 値に対応します。

InputScaling — 入力スケーリング

[] (既定値) | ベクトル

R2026a 以降

入力スケーリング係数。長さ Nu のベクトルとして指定します。ここで、Nu は元のモデル sys の入力数です。

このオプションを使用して、sys の特定の入力チャネルを強調します。スケーリングされたシステムのモーダル寄与がソフトウェアで評価されます。

OutputScaling — 出力スケーリング

[] (既定値) | ベクトル

R2026a 以降

出力スケーリング係数。長さ Ny のベクトルとして指定します。ここで、Ny は元のモデル sys の出力数です。

このオプションを使用して、sys の特定の出力チャネルを強調します。スケーリングされたシステムのモーダル寄与がソフトウェアで評価されます。

Display — 進捗レポートの表示または非表示

"on" (既定値) | "off"

R2026a 以降

進捗レポートの表示または非表示。"off" または "on" として指定します。

出力引数

msys — モード状態空間実現

ss モデル オブジェクト

動的モデルのモード状態空間実現。ss モデル オブジェクトとして返されます。msys は、A または (A,E) がブロック対角であり、各ブロックが実極、複素数のペア、または繰り返しの極のクラスターに対応している実現です。

blks — ブロック サイズ

ベクトル

ブロック対角実現のブロック サイズ。ベクトルとして返されます。

TL — ブロック対角化変換の左辺の行列

行列 | []

ブロック対角化変換の左辺の行列。行列として返されます。

• 通常の LTI モデルの場合、TL は Nx 行 Nx 列の大きさの行列です。ここで、Nx はモデル sys 内の状態数です。

• スパース モデルの場合、TL は n_c 行 Nx 列の大きさの行列です。ここで、n_c は計算されたモーダル コンポーネントの数です。mechss モデルの場合、TL は同等の 1 次表現 sparss(sys) に対応します。 (R2026a 以降)

アルゴリズムはモデルの状態空間実現 (A, B, C, D, E) をブロック対角化行列 (A_m, B_m, C_m, D_m, E_m) に変換します。これは以下によって与えられます。

• 陽的な状態空間モデルの場合

  $$\begin{array}{l}\begin{array}{cc}{A}_m=T_{L}A{T}_R,& B_m=T_{L}B,\end{array}\\ \begin{array}{ccc}{C}_m=C{T}_R,& D_m=D,& E=T_L{T}_R=I\end{array}\end{array}$$

• 記述子状態空間モデルの場合

  $$\begin{array}{l}\begin{array}{cc}{A}_m=T_{L}A{T}_R,& B_m=T_{L}B,\end{array}\\ \begin{array}{ccc}{C}_m=C{T}_R,& D_m=D,& E_m=T_{L}E{T}_R\end{array}\end{array}$$

入力モデル sys が状態空間モデルでない場合、関数はこの引数に対して空の値 [] を返します。

TR — ブロック対角化変換の右辺の行列

行列 | []

ブロック対角化変換の右辺の行列。行列として返されます。

• 通常の LTI モデルの場合、TR は Nx 行 Nx 列の大きさの行列です。ここで、Nx はモデル sys 内の状態数です。

• スパース モデルの場合、TR は Nx 行 n_c 列の大きさの行列です。ここで、n_c は計算されたモーダル コンポーネントの数です。mechss モデルの場合、TR は同等の 1 次表現 sparss(sys) に対応します。 (R2026a 以降)

アルゴリズムはモデルの状態空間実現 (A, B, C, D, E) をブロック対角化行列 (A_m, B_m, C_m, D_m, E_m) に変換します。これは以下によって与えられます。

• 陽的な状態空間モデルの場合

  $$\begin{array}{l}\begin{array}{cc}{A}_m=T_{L}A{T}_R,& B_m=T_{L}B,\end{array}\\ \begin{array}{ccc}{C}_m=C{T}_R,& D_m=D,& E=T_L{T}_R=I\end{array}\end{array}$$

• 記述子状態空間モデルの場合

  $$\begin{array}{l}\begin{array}{cc}{A}_m=T_{L}A{T}_R,& B_m=T_{L}B,\end{array}\\ \begin{array}{ccc}{C}_m=C{T}_R,& D_m=D,& E_m=T_{L}E{T}_R\end{array}\end{array}$$

入力モデル sys が状態空間モデルでない場合、関数はこの引数に対して空の値 [] を返します。

参照

[1] Stewart, G. W. “A Krylov--Schur Algorithm for Large Eigenproblems.” SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 23, no. 3 (January 2002): 601–14. https://doi.org/10.1137/S0895479800371529.

バージョン履歴

R2023b で導入

R2026a: スパース モデルのサポート: 切り捨てられたモード形式の計算

modalreal を使用して、スパース状態空間モデルの切り捨てられたモード形式を計算できるようになりました。これは、スパース モデルの切り捨てられたモード形式を迅速に取得する必要がある場合に役立ちます。

柔軟性を高めるために、まず reducespec を使用して低次元化モデルを取得し、次にその結果に modalreal を適用します。

参考

modalsep | ssequiv | pole | ss | bdschur | compreal

トピック

• 状態空間実現