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mechss
スパース 2 次状態空間モデル
説明
有限要素解析 (FEA) パッケージから取得された行列を使用して 2 次スパース モデルを表すには mechss を使用します。このようなスパース モデルは有限要素解析 (FEA) から発生し、構造解析、流体の流れ、熱伝達、電磁などの分野で役立ちます。このタイプのモデル化による結果の行列は、1 つのスパース パターンで非常に大規模になります。したがって、線形解析を実行するときに MATLAB® でこのような大きな状態空間モデルを表すには、mechss を使用するのが効率的です。また、mechss を使用して 1 次 sparss モデル オブジェクトまたは他の動的システム モデルを mechss オブジェクトに変換することもできます。
mechss モデル オブジェクトを使用して、SISO または MIMO 状態空間モデルを連続時間または離散時間で表現できます。連続時間では、2 次スパース マス-バネ-ダンパー モデルは次の形式で表されます。
ここで、完全な状態ベクトルは で表され、この および は変位ベクトルと速度ベクトルです。u および y はそれぞれ入力と出力を表します。M、C および K はそれぞれ質量、減衰および剛性を表します。B は入力行列で、F と G はそれぞれ変位と速度の出力行列です。D は入力から出力への行列です。
mechss オブジェクトを使用して、次を実行できます。
時間領域および周波数領域応答解析を実行します。
他の LTI モデルとの信号ベースの接続を指定します。
interfaceコマンドを使用してコンポーネント間の物理インターフェイスを指定します。
詳細については、スパース モデルの基礎を参照してください。
作成
構文
説明
入力引数
出力引数
プロパティ
オブジェクト関数
以下のリストに、mechss モデル オブジェクトで使用できる関数を示します。
例
この例では、ファイル sparseBeam.mat で先端に衝撃点荷重が適用される 3 次元ビーム モデルのスパース行列を考えてみます。
sparseBeam.mat からスパース行列を抽出します。
load('sparseBeam.mat','M','K','B','F','G','D');
減衰がないため、行列 C に [] を指定して mechss モデル オブジェクトを作成します。
sys = mechss(M,[],K,B,F,G,D)
Sparse continuous-time second-order model with 3 outputs, 1 inputs, and 3408 degrees of freedom. Model Properties Use "spy" and "showStateInfo" to inspect model structure. Type "help mechssOptions" for available solver options for this model.
出力 sys は、3408 の自由度、1 つの入力、および 3 つの出力をもつスパース モデルの 3 行 1 列の配列を含む mechss モデル オブジェクトです。
spy コマンドを使用して、mechss モデル オブジェクトのスパース性を可視化できます。
spy(sys)
この例では、ファイル discreteSOSparse.mat の離散システムのスパース行列について考えてみます。
discreteSOSparse.mat からスパース行列を読み込みます。
load('discreteSOSparse.mat','M','C','K','B','F','G','D','ts');
サンプル時間 ts を指定して離散時間 mechss モデル オブジェクトを作成します。
sys = mechss(M,C,K,B,F,G,D,ts)
Sparse discrete-time second-order model with 1 outputs, 1 inputs, and 28408 degrees of freedom. Model Properties Use "spy" and "showStateInfo" to inspect model structure. Type "help mechssOptions" for available solver options for this model.
出力 sys は、28408 の自由度、1 つの入力および 1 つの出力をもつ離散時間 mechss モデル オブジェクトです。
spy コマンドを使用して、mechss モデル オブジェクトのスパース パターンを可視化できます。プロットを右クリックして、表示する行列を選択します。
spy(sys)
この例では、複数のスパース 2 次状態空間モデルを定義する 3 つのスパース行列セットを含む sparseSOArray.mat について考えます。
sparseSOArray.mat からデータを抽出します。
load('sparseSOArray.mat');mechss モデルの 3 行 1 列の配列を事前に割り当てます。
sys = mechss(zeros(1,1,3));
次に、インデックス付きの代入を使用して、3 行 1 列の配列にスパース 2 次モデルを設定します。
sys(:,:,1) = mechss(M1,[],K1,B1,F1,G1,[]); sys(:,:,2) = mechss(M2,[],K2,B2,F2,G2,[]); sys(:,:,3) = mechss(M3,[],K3,B3,F3,G3,[]); size(sys)
3x1 array of sparse second-order models. Each model has 1 outputs, 1 inputs, and between 385 and 738 degrees of freedom.
または、I/O サイズが同じモデルがある場合は、stackコマンドを使用してスパース 2 次モデルの配列を作成することもできます。
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静的ゲインの MIMO スパース 2 次状態空間モデルを作成します。
次の 2 入力、3 出力の静的ゲイン行列について考えます。
ゲイン行列を指定して静的ゲインのスパース 2 次状態空間モデルを作成します。
D = [1,5;2,3;5,9]; sys = mechss(D); size(sys)
Sparse second-order model with 3 outputs, 2 inputs, and 0 degrees of freedom.
この例では、質量、剛性、および減衰スパース行列を含む sparseSOSignal.mat について考えます。
sparseSOSignal.mat からスパース行列を読み込み、スパース 2 次モデル オブジェクトを作成します。
load('sparseSOModel.mat','M','C','K'); sys = mechss(M,C,K);
mechss は、以下を前提として sys モデル オブジェクトを作成します。
質量行列
Mと同じサイズのBおよびFの単位行列。GおよびDのゼロ行列。
この例では、sparss モデル オブジェクト ltiSys を含む sparssModel.mat について考えます。
sparssModel.mat から sparss モデル オブジェクトを読み込みます。
load('sparssModel.mat','ltiSys'); ltiSys
Sparse continuous-time state-space model with 1 outputs, 1 inputs, and 354 states. Model Properties Use "spy" and "showStateInfo" to inspect model structure. Type "help sparssOptions" for available solver options for this model.
mechss コマンドを使用して mechss モデル オブジェクト表現に変換します。
sys = mechss(ltiSys)
Sparse continuous-time second-order model with 1 outputs, 1 inputs, and 354 degrees of freedom. Model Properties Use "spy" and "showStateInfo" to inspect model structure. Type "help mechssOptions" for available solver options for this model.
この例では、tuningForkData.mat について考えます。このファイルには、腕の 1 本が素早く静かに打音される音叉のスパース 2 次モデルが含まれます。このシステムには 1 つの入力として、その腕の 1 本に加えられる圧力があり、これにより先端の変位と音叉の底部の 2 つの出力が生成されます。
tuningForkData.mat からワークスペースにスパース行列を読み込み、mechss モデル オブジェクトを作成します。
load('tuningForkData.mat','M','K','B','F'); sys = mechss(M,[],K,B,F,'InputName','pressure','Outputname',{'y tip','x base'})
次に、UseParallel パラメーターを true に設定し、trbdf3 を使用するように DAESolver を設定して、モデルのソルバー オプションを設定します。spy を使用して、モデル構造体を検査します。並列計算を有効にするには、Parallel Computing Toolbox™ のライセンスが必要です。
sys.SolverOptions.UseParallel = true;
sys.SolverOptions.DAESolver = 'trbdf3';
spy(sys)
showStateInfo を使用してコンポーネントを調べることもできます。
showStateInfo(sys)
step を使用して、システムのステップ応答プロットを取得します。スパース モデルの時間ベクトルまたは最終時間を指定する必要があります。
t = linspace(0,0.5,1000); step(sys,t)
次に、ボード線図を取得して周波数応答を調べます。スパース モデルの周波数ベクトルを指定する必要があります。
w = logspace(1,5,1000); bode(sys,w), grid
この例では、スパース 2 次モデルを含む sparseSOSignal.mat について考えます。アクチュエータ、センサー、コントローラーを定義して、それらをフィードバック ループでプラントに接続します。
スパース行列を読み込み、mechss オブジェクトを作成します。
load sparseSOSignal.mat plant = mechss(M,C,K,B,F,[],[],'Name','Plant');
次に、伝達関数を使用してアクチュエータとセンサーを作成します。
act = tf(1,[1 0.5 3],'Name','Actuator'); sen = tf(1,[0.02 7],'Name','Sensor');
プラントの PID コントローラー オブジェクトを作成します。
con = pid(1,1,0.1,0.01,'Name','Controller');
feedback コマンドを使用して、プラント、センサー、アクチュエータ、およびコントローラーをフィードバック ループ内で接続します。
sys = feedback(sen*plant*act*con,1)
Sparse continuous-time second-order model with 1 outputs, 1 inputs, and 7111 degrees of freedom. Model Properties Use "spy" and "showStateInfo" to inspect model structure. Type "help mechssOptions" for available solver options for this model.
mechss オブジェクトがどのモデル オブジェクト タイプよりも優先されるため、結果のシステム sys は mechss オブジェクトになります。
showStateInfo を使用してコンポーネントと信号グループを表示します。
showStateInfo(sys)
The state groups are:
Type Name Size
-------------------------------
Component Sensor 1
Component Plant 7102
Signal 1
Component Actuator 2
Signal 1
Component Controller 2
Signal 1
Signal 1
xsort を使用してコンポーネントと信号を並べ替えてから、コンポーネントと信号グループを表示します。
sysSort = xsort(sys); showStateInfo(sysSort)
The state groups are:
Type Name Size
-------------------------------
Component Sensor 1
Component Plant 7102
Component Actuator 2
Component Controller 2
Signal 4
コンポーネントが信号区分の前に順序付けされていることを確認します。信号は並べ替えられて、単一の区分にグループ化されます。
spy を使用して結果のシステムのスパース パターンを可視化することもできます。
spy(sysSort)
この例では、下の図に示すように、各頂点の支柱に連結されている 2 枚の四角形のプレートで構成される構造モデルを考えます。下のプレートは地面にしっかり取り付けられ、支柱は四角形のプレートの各頂点にしっかり取り付けられています。
platePillarModel.mat に含まれている有限要素モデル行列を読み込み、上記システムを表すスパース 2 次モデルを作成します。
load('platePillarModel.mat') model = ... mechss(M1,[],K1,B1,F1,'Name','Plate1') + ... mechss(M2,[],K2,B2,F2,'Name','Plate2') + ... mechss(Mp,[],Kp,Bp,Fp,'Name','Pillar3') + ... mechss(Mp,[],Kp,Bp,Fp,'Name','Pillar4') + ... mechss(Mp,[],Kp,Bp,Fp,'Name','Pillar5') + ... mechss(Mp,[],Kp,Bp,Fp,'Name','Pillar6'); sys = model;
mechss モデル オブジェクトのコンポーネントを確認するには showStateInfo を使用します。
showStateInfo(sys)
The state groups are:
Type Name Size
----------------------------
Component Plate1 2646
Component Plate2 2646
Component Pillar3 132
Component Pillar4 132
Component Pillar5 132
Component Pillar6 132
次に、相互作用する自由度 (DOF) インデックス データを dofData.mat から読み込み、interface を使用して 2 枚のプレートと 4 本の支柱間の物理的接続を作成します。dofs は、最初の 2 行に 1 枚目と 2 枚目のプレートの DOF インデックス データを含み、他の 4 行に 4 本の支柱のインデックス データを含む 6x7 の cell 配列です。関数は既定で、物理結合のデュアルアセンブリ メソッドを使用します。
load('dofData.mat','dofs') for i=3:6 sys = interface(sys,"Plate1",dofs{1,i},"Pillar"+i,dofs{i,1}); sys = interface(sys,"Plate2",dofs{2,i},"Pillar"+i,dofs{i,2}); end
下のプレートと地面間の接続を指定します。
sysConDual = interface(sys,"Plate2",dofs{2,7});物理インターフェイスを確認するには showStateInfo を使用します。
showStateInfo(sysConDual)
The state groups are:
Type Name Size
-----------------------------------
Component Plate1 2646
Component Plate2 2646
Component Pillar3 132
Component Pillar4 132
Component Pillar5 132
Component Pillar6 132
Interface Plate1-Pillar3 12
Interface Plate2-Pillar3 12
Interface Plate1-Pillar4 12
Interface Plate2-Pillar4 12
Interface Plate1-Pillar5 12
Interface Plate2-Pillar5 12
Interface Plate1-Pillar6 12
Interface Plate2-Pillar6 12
Interface Plate2-Ground 6
spy を使用して、最終モデルのスパース行列を可視化できます。
spy(sysConDual)
ここで、主要アセンブリ メソッドを使用して物理的接続を指定します。
sys = model; for i=3:6 sys = interface(sys,"Plate1",dofs{1,i},"Pillar"+i,dofs{i,1},'primal'); sys = interface(sys,"Plate2",dofs{2,i},"Pillar"+i,dofs{i,2},'primal'); end sysConPrimal = interface(sys,"Plate2",dofs{2,7},'primal');
物理インターフェイスを確認するには showStateInfo を使用します。
showStateInfo(sysConPrimal)
The state groups are:
Type Name Size
----------------------------
Component Plate1 2646
Component Plate2 2640
Component Pillar3 108
Component Pillar4 108
Component Pillar5 108
Component Pillar6 108
主要アセンブリによって、グローバル有限要素メッシュ内の一連の共有 DOF に関連付けられた冗長な DOF の半分が取り除かれます。
spy を使用して、最終モデルのスパース行列を可視化できます。
spy(sysConPrimal)
この例のデータセットは、ASML の Victor Dolk によって提供されています。
参照
[1] H. Hilber, T. Hughes & R. Taylor. " Improved numerical dissipation for time integration algorithms in structural dynamics." Earthquake Engineering and Structural Dynamics, vol. 5, no. 3, pp. 283-292, 1977.
[2] M. Hosea and L. Shampine. "Analysis and implementation of TR-BDF2." Applied Numerical Mathematics, vol. 20, no. 1-2, pp. 21-37, 1996.
バージョン履歴
R2020b で導入
