interface

mechss モデルのコンポーネント間の物理接続の指定

構文

sysCon = interface(sys,C1,IC1,C2,IC2)

sysCon = interface(sys,C,IC)

sysCon = interface(___,KI,CI)

sysCon = interface(___,method)

説明

sysCon = interface(sys,C1,IC1,C2,IC2) は、2 次スパース モデル sys のコンポーネント C1 と C2 間の物理結合を指定します。IC1 および IC2 には、C1 および C2 の自由度 (DOF) を基準とした、結合後の DOF のインデックスが含まれます。物理インターフェイスは剛体と見なされ、標準の整合性と平衡条件を満たします。sysCon は、指定された物理接続を使用する結果のモデルです。sys の使用可能なすべてのコンポーネントのリストを取得するには showStateInfo を使用します。

sysCon = interface(sys,C,IC) は、コンポーネント C が地面と接することを指定します。C の自由度 q を地面に接続すると、ゼロの変位拘束 (q(IC) = 0) になります。

さらに、sysCon = interface(___,KI,CI) は、非剛体インターフェイスの剛性 KI と減衰 CI も指定します。

sysCon = interface(___,method) は、アセンブリ メソッドを指定します。既定では、method = 'dual' であり、関数は物理結合のデュアルアセンブリ メソッドを使用します。物理結合の主要アセンブリ メソッドを使用するには、method = 'primal' を設定します。詳細については、アルゴリズムを参照してください。

例

スパース 2 次モデルのコンポーネント間の物理的接続

この例では、下の図に示すように、各頂点の支柱に連結されている 2 枚の四角形のプレートで構成される構造モデルを考えます。下のプレートは地面にしっかり取り付けられ、支柱は四角形のプレートの各頂点にしっかり取り付けられています。

platePillarModel.mat に含まれている有限要素モデル行列を読み込み、上記システムを表すスパース 2 次モデルを作成します。

load('platePillarModel.mat')
model = ...
   mechss(M1,[],K1,B1,F1,'Name','Plate1') + ...
   mechss(M2,[],K2,B2,F2,'Name','Plate2') + ...
   mechss(Mp,[],Kp,Bp,Fp,'Name','Pillar3') + ...
   mechss(Mp,[],Kp,Bp,Fp,'Name','Pillar4') + ...
   mechss(Mp,[],Kp,Bp,Fp,'Name','Pillar5') + ...
   mechss(Mp,[],Kp,Bp,Fp,'Name','Pillar6');
sys = model;

mechss モデル オブジェクトのコンポーネントを確認するには showStateInfo を使用します。

showStateInfo(sys)

The state groups are:

    Type        Name      Size
  ----------------------------
  Component    Plate1     2646
  Component    Plate2     2646
  Component    Pillar3     132
  Component    Pillar4     132
  Component    Pillar5     132
  Component    Pillar6     132

次に、相互作用する自由度 (DOF) インデックス データを dofData.mat から読み込み、interface を使用して 2 枚のプレートと 4 本の支柱間の物理的接続を作成します。dofs は、最初の 2 行に 1 枚目と 2 枚目のプレートの DOF インデックス データを含み、他の 4 行に 4 本の支柱のインデックス データを含む 6x7 の cell 配列です。関数は既定で、物理結合のデュアルアセンブリ メソッドを使用します。

load('dofData.mat','dofs')
for i=3:6
   sys = interface(sys,"Plate1",dofs{1,i},"Pillar"+i,dofs{i,1});
   sys = interface(sys,"Plate2",dofs{2,i},"Pillar"+i,dofs{i,2});
end

下のプレートと地面間の接続を指定します。

sysConDual = interface(sys,"Plate2",dofs{2,7});

物理インターフェイスを確認するには showStateInfo を使用します。

showStateInfo(sysConDual)

The state groups are:

    Type            Name         Size
  -----------------------------------
  Component        Plate1        2646
  Component        Plate2        2646
  Component       Pillar3         132
  Component       Pillar4         132
  Component       Pillar5         132
  Component       Pillar6         132
  Interface    Plate1-Pillar3      12
  Interface    Plate2-Pillar3      12
  Interface    Plate1-Pillar4      12
  Interface    Plate2-Pillar4      12
  Interface    Plate1-Pillar5      12
  Interface    Plate2-Pillar5      12
  Interface    Plate1-Pillar6      12
  Interface    Plate2-Pillar6      12
  Interface    Plate2-Ground        6

spy を使用して、最終モデルのスパース行列を可視化できます。

spy(sysConDual)

ここで、主要アセンブリ メソッドを使用して物理的接続を指定します。

sys = model;
for i=3:6
   sys = interface(sys,"Plate1",dofs{1,i},"Pillar"+i,dofs{i,1},'primal');
   sys = interface(sys,"Plate2",dofs{2,i},"Pillar"+i,dofs{i,2},'primal');
end
sysConPrimal = interface(sys,"Plate2",dofs{2,7},'primal');

物理インターフェイスを確認するには showStateInfo を使用します。

showStateInfo(sysConPrimal)

The state groups are:

    Type        Name      Size
  ----------------------------
  Component    Plate1     2646
  Component    Plate2     2640
  Component    Pillar3     108
  Component    Pillar4     108
  Component    Pillar5     108
  Component    Pillar6     108

主要アセンブリによって、グローバル有限要素メッシュ内の一連の共有 DOF に関連付けられた冗長な DOF の半分が取り除かれます。

spy を使用して、最終モデルのスパース行列を可視化できます。

spy(sysConPrimal)

この例のデータセットは、ASML の Victor Dolk によって提供されています。

入力引数

sys — スパース 2 次モデル

mechss モデル オブジェクト

スパース 2 次モデル。mechss モデル オブジェクトとして指定します。詳細については、mechss を参照してください。

C — 接続するコンポーネント

string | 文字ベクトルの配列

接続する sys のコンポーネント。string または文字ベクトルの配列として指定します。sys の使用可能なすべてのコンポーネントのリストを取得するには showStateInfo を使用します。

IC — 接続するコンポーネントのインデックス情報

Nc 行 Ni 列の cell 配列

接続するコンポーネントのインデックス情報。Nc 行 Ni 列の cell 配列として指定します。ここで、Nc はコンポーネントの数、Ni は物理インターフェイスの数です。

KI — 剛性行列

Nq 行 Nq 列のスパース行列

剛性行列。Nq 行 Nq 列のスパース行列として指定します。ここで Nq は sys 内の DOF の数です。

CI — 減衰行列

Nq 行 Nq 列のスパース行列

減衰行列。Nq 行 Nq 列のスパース行列として指定します。ここで Nq は sys 内の DOF の数です。

method — アセンブリ メソッド

'dual' (既定値) | 'primal'

インターフェイスのアセンブリ メソッド。次のいずれかとして指定します。

• 'dual' — 物理結合のデュアルアセンブリ メソッドを使用します。このメソッドは、代数変数を追加することでスパース性を維持します。

• 'primal' — 物理結合の主要アセンブリ メソッドを使用します。このメソッドでは最小数の DOF を使用しますが、システムは非スパース要素の影響を受ける場合があります。

詳細については、アルゴリズムを参照してください。

出力引数

sysCon — 物理インターフェイスをもつ出力システム

mechss モデル オブジェクト

物理インターフェイスをもつ出力システム。mechss モデル オブジェクトとして返されます。システムの物理インターフェイスのリストを確認するには、showStateInfo を使用します。

アルゴリズム

剛体インターフェイス

物理領域の n 個のサブ構造体を表す、ブロック対角型のスパース行列は次のようになります。

$$\begin{array}{l}M\triangleq diag\left(M_1,\mathrm{...},M_n\right)=\left[\begin{array}{ccc}{M}_1& 0& 0\\ 0& \ddots & 0\\ 0& 0& M_n\end{array}\right]\\ C\triangleq diag\left(C_1,\mathrm{...},C_n\right)\\ \\ K\triangleq diag\left(K_1,\mathrm{...},K_n\right)\\ q\triangleq \left[\begin{array}{c}{q}_1\\ ⋮\\ q_n\end{array}\right],\text{ B }\triangleq \left[\begin{array}{c}{B}_1\\ ⋮\\ B_n\end{array}\right]\text{, F }\triangleq \left[\begin{array}{ccc}{F}_1& \cdots & F_n\end{array}\right],\text{ G }\triangleq \left[\begin{array}{ccc}{G}_1& \cdots & G_n\end{array}\right],\end{array}$$

相互作用する 2 つのコンポーネントは、グローバル有限要素メッシュ q で一連の DOF を共有します。最初のコンポーネントの DOF のサブセット N₁ は、2 番目のコンポーネントの DOF のサブネット N₂ と一致しています。2 つのコンポーネント間の結合は、次の場合にのみ剛体になります。

• 共有された DOF における変位 q が両方のコンポーネントで等しい。

  $$q\left(N_1\right)=q\left(N_2\right)$$

• 一方のコンポーネントが他方に及ぼす力 g が (作用反作用の原理により) 逆になる。

  $$g\left(N_1\right)+g\left(N_2\right)=0$$

これらの関係は、次のように要約できます。

$$\begin{array}{l}M\ddot{q}+C\dot{q}+Kq=Bu+g,Hq=0,g=-H^T\lambda ,\\ y=Fq+G\dot{q}+Du,\end{array}$$

ここで、H はエントリが 0、1、または –1 の位置推定行列です。方程式 Hq = 0 は q(N₁) = q(N₂) と等価で、方程式 g = −H^T λ は g(N₁) = −λ および g(N₂) = λ と等価です。

デュアルアセンブリ モデル

方程式は次のようになります。

$$\begin{array}{l}M\ddot{q}+C\dot{q}+Kq=Bu+g,Hq=0,g=-H^T\lambda ,\\ y=Fq+G\dot{q}+Du,\end{array}$$

これらは、次の微分代数方程式 (DAE) 形式で結合できます。

$$\begin{array}{l}\left[\begin{array}{cc}M& 0\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\ddot{q}\\ \ddot{\lambda }\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}C& 0\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\dot{q}\\ \dot{\lambda }\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}K& H^T\\ H& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}q\\ \lambda \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}B\\ 0\end{array}\right]u\\ y=\left[\begin{array}{cc}F& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}q\\ \lambda \end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}G& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\dot{q}\\ \dot{\lambda }\end{array}\right]+Du.\end{array}$$

この DAE モデルは、構造体全体の "デュアルアセンブリ" モデルと呼ばれます。2 つのコンポーネントの原則について説明しましたが、このモデルには、2 つを超えるコンポーネントが関係するインターフェイスを含む複数のインターフェイスを受け入れることができます。

主要アセンブリ モデル

剛体インターフェイスの "主要アセンブリ" は、次の制約と関連付けられた冗長な DOF の半分を取り除くことで構成されます。

$$q\left(N_1\right)=q\left(N_2\right)$$

Hq = 0 がこの制約の行列表現である場合、これは結局 q = Lq_r を記述することになります。ここで、q_r は一連の独立した (自由な) DOF であり、L は H のヌル空間に広がります。

$$HL=0$$

q = Lq_r を使用すると、方程式

$$\begin{array}{l}\begin{array}{cc}M\ddot{q}+C\dot{q}+Kq=Bu+g,& g=-H^T\lambda \end{array}\\ y=Fq+G\dot{q}+Du\end{array}$$

は次のようになります。

$$\begin{array}{cc}ML{\ddot{q}}_r+CL{\dot{q}}_r+KL{q}_r=Bu+g,& y=FL{q}_r+GL{\dot{q}}_r+Du.\end{array}$$

L^TH^T = (HL)^T = 0 を使用すると、方程式の最初の部分は、L^T を左から掛けることで L の範囲に投影できます。

$$\begin{array}{cc}(L^{T}ML){\ddot{q}}_r+(L^{T}CL){\dot{q}}_r+(L^{T}KL)q_r=L^{T}Bu,& y=FL{q}_r+GL{\dot{q}}_r+Du.\end{array}$$

これは構造体全体の "主要アセンブリ" モデルです。対応するデュアルアセンブリよりも代数変数が 2N₁ 個少なくなりますが、低次元化された M、C、K に非スパース要素の生ずる可能性があります。

非剛体インターフェイス

非剛体インターフェイスでは、変位 q₁(N₁) と q₂(N₂) が異なっていてもよく、内力は以下で与えられます。

$$\lambda =K_i\delta +C_i\dot{\delta },\delta \triangleq Hq=q_1\left(N_1\right)-q_2\left(N_2\right).$$

これにより、最初のコンポーネントの DOF N₁ と 2 番目のコンポーネントの DOF N₂ 間でバネ-ダンパー状の接続がモデル化されます。剛体接続から非剛体接続にすることで、代数制約 Hq = 0 が削除され、内力が示されます。λ を削除すると、以下が得られます。

$$M\ddot{q}+\left(C+H^T{C}_{i}H\right)\dot{q}+\left(K+H^T{K}_{i}H\right)q=0,y=Fq+G\dot{q}+Du.$$

これは、分離されたモデルが対称の場合に対称のままになる、非剛体結合形式の一連の主要アセンブリ方程式です。この形式の欠点は、連結項 $$H^T{C}_{i}H$$ および $$H^T{K}_{i}H$$ により非スパースが生じる可能性があることです。これを回避するために、等価のデュアルアセンブリ形式を使用できます。

$$\left[\begin{array}{ccc}M& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\ddot{q}\\ \ddot{\delta }\\ \ddot{\lambda }\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}C& 0& 0\\ 0& C_i& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\dot{q}\\ \dot{\delta }\\ \dot{\lambda }\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}K& 0& H^T\\ 0& K_i& -I\\ H& -I& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}q\\ \delta \\ \lambda \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}B\\ 0\\ 0\end{array}\right]u.$$

バージョン履歴

R2020b で導入

参考

mechss | xsort | showStateInfo

トピック

• スパース モデルの基礎
• モデル コンポーネントの剛体アセンブリ