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位相変調

位相変調は線形ベースバンド変調手法で、この手法ではメッセージにより定振幅信号の位相を変調します。Communications Toolbox™ は、次の位相変調手法のための変調器と復調器を提供します。

  • 位相シフト キーイング (PSK) — 2 位相、直交位相、および一般的な PSK

  • 差動位相シフト キーイング (DPSK) — 2 位相、直交位相、および一般的な DPSK

  • オフセット QPSK (OQPSK)

これらの手法で入力データを変調するために、MATLAB® の関数、System object、または Simulink® ブロックを使用できます。

ベースバンドとパスバンド シミュレーション

Communications Toolbox は、"ベースバンド" および "パスバンド" のシミュレーション法をサポートしますが、位相シフト キーイング手法はベースバンド シミュレーションのみをサポートします。

一般的なパスバンド波形は次のように表されます。

Y1(t)2cos(2πfct+θ)Y2(t)2sin(2πfct+θ),

ここで、fc は搬送周波数、θ は搬送波信号の初期位相です。この方程式は次の実数部と等しくなります。

[(Y1(t)+jY2(t))ejθ]exp(j2πfct).

ベースバンド シミュレーションでは、大かっこ内の式のみがモデル化されます。ベクトル y は複素信号のサンプリングです。

(Y1(t)+jY2(t))ejθ.

BPSK

2 位相シフト キーイング (BPSK) では、定振幅信号の位相がバイナリ 1 とバイナリ 0 に対応する 2 つの値の間で切り替わります。BPSK 信号のパスバンド波形は次のようになります。

sn(t)=2EbTbcos(2πfct+ϕn),

ここで、

  • Eb はビットあたりのエネルギーです。

  • Tb はビットの持続時間です。

  • fc は搬送周波数です。

MATLAB では、BPSK 信号のベースバンド表現は次のようになります。

sn(t)=eiϕn=cos(πn).

BPSK 信号は 2 つの位相をもちます。0 と π です。

AWGN チャネルのビット誤りの確率は次のようになります。

Pb=Q(2EbN0),

ここで、N0 はノイズ パワー スペクトル密度です。

QPSK

直交位相シフト キーイングでは、メッセージ ビットが 2 ビット シンボルにグループ分けされ、定振幅ベースバンド信号の 4 つの位相の 1 つとして送信されます。このグループ分けにより、帯域幅の効率が BPSK の効率の 2 倍になります。一般的な QPSK 信号は次のように表現されます。

sn(t)=2EsTscos(2πfct+(2n+1)π4);n{0,1,2,3},

ここで、Es はシンボルあたりのエネルギー、Ts はシンボルの持続時間です。QPSK 信号の複素ベースバンドの表現は次のようになります。

sn(t)=exp(jπ(2n+14));n{0,1,2,3}.

この QPSK コンスタレーション ダイアグラムでは、各 2 ビット シーケンスが 4 つの可能な状態の 1 つにマッピングされます。状態は位相 π/43π/45π/4、および 7π/4 に対応します。

ビット誤り率のパフォーマンスを向上させるために、受信ビットをグレイ符号順にマッピングできます。

バイナリからグレイへのマッピング

バイナリ シーケンスグレイ符号化シーケンス
0000
0101
1011
1110

グレイ符号化の主な利点は、隣接するコンスタレーション点の間の移動では、2 ビットのうち 1 つのみが変更されることです。グレイ符号化は高次の変調に適用できます。次に、グレイ符号化された QPSK コンスタレーションを示します。

グレイ符号化を使用した場合、AWGN の QPSK のビット誤り確率は次のようになります。

Pb=Q(2EbN0),

これは BPSK の式と同じです。結果として、QPSK は帯域幅の効率の 2 倍と同等のパフォーマンスになります。

高次 PSK

MATLAB では、高次の PSK コンスタレーションの変調と復調を行うことができます。通常のバイナリ順序のシンボル マッピングを使用する場合、M-ary の PSK 信号の複素ベースバンド形は次のようになります。

sn(t)=exp(jπ(2n+1M));n{0,1,,M1}.

この 8-PSK コンスタレーションではグレイ符号化されたシンボル マッピングが使用されます。

4 を超える変調次数の場合、AWGN の PSK のビット誤り率のパフォーマンスが低下します。次の図では、QPSK と BPSK の曲線が相互に重なり合っています。

DPSK

DPSK は位相シフト キーイングの非コヒーレントな形式で、受信機にコヒーレントな基準信号は必要ありません。DPSK の場合、連続した入力シンボルの間の差が特定の位相にマッピングされます。例として、バイナリ DPSK (DBPSK) の場合、変調方式は、連続ビット間の差が 0 または 1 のバイナリにマッピングされるように動作します。入力ビットが 1 の場合、差動符号化されたシンボルは前のシンボルと同じままですが、0 を受信すると、出力シンボルが切り替わります。

DPSK のデメリットは、エネルギー効率がコヒーレント PSK を約 3 dB 下回ることです。AWGN の DBPSK のビット誤り確率は、Pb = 1/2 exp(Eb/N0) です。

OQPSK

オフセット QPSK は QPSK に似ていますが、同相ビット ストリームと直交ビット ストリームの時間の調節法が異なります。QPSK の場合、同相ビット ストリームと直交ビット ストリームが同時に遷移します。OQPSK の場合、次のように遷移にシンボル周期の半分のオフセットが含まれます。

同相信号と直交信号の遷移は、シンボル間の境界でのみ発生します。サンプルレートが 1 Hz であるため、この遷移は 1 秒間隔で発生します。次の図は、OQPSK 信号の同相信号と直交信号を示しています。

OQPSK の場合、直交信号にはシンボル周期の 1/2 (0.5 秒) のオフセットが含まれます。

AWGN の OQPSK 信号の BER は、QPSK 信号のものと同一です。BER は次のようになります。

Pb=Q(2EbN0),

ここで、Eb はビットあたりのエネルギー、N0 はノイズ パワー スペクトル密度です。

軟判定復調

Communications Toolbox のすべての復調器関数、System object およびブロックは、硬判定または軟判定のいずれかを使用してバイナリ データを復調できます。正確な対数尤度比 (LLR) と近似 LLR の 2 つの軟判定アルゴリズムを使用できます。正確な LLR は非常に高精度ですが時間がかかり、近似 LLR は精度は下がりますが効率的です。

厳密な LLR アルゴリズム

対数尤度比 (LLR) は、受信信号に対して送信される 0 ビットと送信される 1 ビットの確率の対数です。ビット b の LLR は次のように定義されます。

L(b)=log(Pr(b=0|r=(x,y))Pr(b=1|r=(x,y)))

すべてのシンボルの確率が等しいと仮定した場合、AWGN チャネルの LLR は次のように表現できます。

L(b)=log(sS0e1σ2((xsx)2+(ysy)2)sS1e1σ2((xsx)2+(ysy)2))

変数説明

r

座標 (x, y) の受信信号

b

送信されるビット (M-ary シンボル内の K ビットの 1 つであり、M シンボルはすべて確率が等しいと仮定)

S0

指定したビット位置におけるビット 0 の理想的なシンボルまたはコンスタレーション点

S1

指定したビット位置におけるビット 1 の理想的なシンボルまたはコンスタレーション点

sx

理想的なシンボルまたはコンスタレーション点の同相座標

sy

理想的なシンボルまたはコンスタレーション点の直交座標

σ2

ベースバンド信号のノイズ分散

σx2

同相軸に沿ったノイズ分散

σy2

直交軸に沿ったノイズ分散

メモ

同相軸または直交軸に沿ったノイズ成分は、独立した同じべき乗と見なされます (σx2=σy2=σ2/2)。

近似 LLR アルゴリズム

近似 LLR は、厳密な LLR の場合のようにすべてのコンスタレーション点ではなく、そのビット位置における 1 つの 0 (または 1) を含む受信信号に最も近いコンスタレーション点だけを使用して計算されます。これは、[2]で、次のように定義されています。

L(b)=1σ2(minsS0((xsx)2+ (ysy)2)minsS1((xsx)2+ (ysy)2))

参照

[1] Rappaport, Theodore S. Wireless Communications: Principles and Practice. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1996, pp. 238–248.

[2] Viterbi, A. J. “An Intuitive Justification and a Simplified Implementation of the MAP Decoder for Convolutional Codes,” IEEE Journal on Selected Areas in Communications. Vol. 16, No. 2, Feb. 1998, pp. 260–264

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