ベースバンドデジタル変調

ほとんどの通信のメディアでは、メッセージの伝送のために限られた領域の周波数しか利用できません。メッセージの周波数スペクトルが固定された周波数範囲にあてはまらない、あるいは、チャネルに対して不適当である場合、通信を行う 1 つの方法は、メッセージ信号の情報に従って搬送波信号を変更することです。この変更は、"変調" と呼ばれます。送信機は、変調されたシンボルを送信します。その後受信機は、"復調" と呼ばれる処理を通してオリジナルのメッセージシンボルを復元します。

変調方式

"デジタルベースバンド変調" は、デジタル伝送シンボルを正弦波形に変調します。Communications Toolbox™ ソフトウェアは、さまざまなデジタルベースバンド変調方式を適用するための機能を提供します。メッセージ信号の情報に従って搬送波信号が変更されるプロセスは、適用される変調方式によって異なります。搬送波信号 s(t) の一般的な形式は次のとおりです。

s(t) = A(t)cos[2πf₀t+ϕ(t)]

情報伝達コンポーネントは、振幅 (A)、周波数 (f₀)、位相 (ϕ) 単独またはこれらの組み合わせになります。

デジタル変調タイプ	変調方式
振幅変調振幅変調の例	パルス振幅変調 (PAM) 直交振幅変調 (QAM)
振幅位相変調振幅と位相の変調の例	振幅およびパルス偏移変調 (APSK) MIL-188-QAM
Continuous-Phase Modulation Continuous Phase Modulation Examples	連続位相周波数偏移変調 (CPFSK) 連続位相変調 (CPM) ガウス最小偏移変調 (GMSK) 最小偏移変調 (MSK)
周波数変調周波数変調の例	周波数偏移変調 (FSK)
直交周波数分割多重変調 OFDM 変調の例	直交周波数分割多重 (OFDM)
位相変調位相変調の例	位相偏移変調 (PSK) 差動位相偏移変調 (DPSK) オフセット直交位相偏移変調 (OQPSK)
Trellis-Coded Modulation トレリス符号化変調の例	トレリス符号化変調 (TCM) 位相偏移変調 — TCM (PSK-TCM) 直交振幅変調 — TCM (QAM-TCM)

デジタル変調タイプ

変調方式

振幅変調

振幅変調の例

パルス振幅変調 (PAM)

直交振幅変調 (QAM)

振幅位相変調

振幅と位相の変調の例

振幅およびパルス偏移変調 (APSK)

MIL-188-QAM

Continuous-Phase Modulation

Continuous Phase Modulation Examples

連続位相周波数偏移変調 (CPFSK)

連続位相変調 (CPM)

ガウス最小偏移変調 (GMSK)

最小偏移変調 (MSK)

周波数偏移変調 (FSK)

直交周波数分割多重 (OFDM)

位相偏移変調 (PSK)

差動位相偏移変調 (DPSK)

オフセット直交位相偏移変調 (OQPSK)

Trellis-Coded Modulation

トレリス符号化変調の例

トレリス符号化変調 (TCM)

位相偏移変調 — TCM (PSK-TCM)

直交振幅変調 — TCM (QAM-TCM)

メモ

変調後に、パルス整形が続けられたり、復調前にフィルター処理や、積分とダンプ動作が行われることがしばしばあります。特に指定がない限り、これらの変調方式はパルス整形あるいはフィルター処理を行いません。例については、パルス整形とフィルター処理を使用する場合の変調の例を参照してください。

モデル化の概念

デジタル変調およびアナログ変調は、メッセージシンボルの情報に従って伝送信号を変更します。デジタル変調では、メッセージ信号をシンボルの有限な集合に制限し、変調信号の複素エンベロープを出力します。

ベースバンドと通過帯域のシミュレーション

変調は、"メッセージ信号" 内の情報に従って "搬送波信号" を変更する処理です。復調器を通してメッセージを正しく復元するために、ナイキストサンプリング理論では f_s > 2(f_c + f) でなければならないとしています。ここで、f_s はシミュレーションの "サンプルレート" を表し、f_c は "搬送波周波数" を表し、f はメッセージ信号の最高周波数を表します。通常は、f_c >> f です。

変調は、"ベースバンド" または "通過帯域" のシミュレーションでモデル化できます。"ローパス等価法" としても知られているベースバンドシミュレーションは、少ない計算ですみます。

メモ

Communications Toolbox ソフトウェアは、デジタル変調とアナログ変調に対するベースバンドシミュレーションをサポートしていますが、通過帯域シミュレーションについてはアナログ変調に対してのみサポートしています。

ベースバンド変調をシミュレートして、変調されたメッセージ信号の複素エンベロープを生成する場合、出力信号 y は、アナログ通過帯域変調器の出力に関連する "複素数値" 信号になります。変調された通過帯域信号が以下の波形であるとします。

$Y_{1} (t) \sqrt{2} \cos (2 π f_{c} t + ϕ) - Y_{2} (t) \sqrt{2} \sin (2 π f_{c} t + ϕ),$

ここで、f_c は搬送波周波数、ϕ は搬送波信号の初期位相です。ベースバンドシミュレーションは、上記の波形が次の実数部と等しいとみなします。

$[(Y_{1} (t) + j Y_{2} (t)) e^{j ϕ}] \exp (j 2 π f_{c} t) .$

ベースバンドシミュレーションは、大かっこ内の部分のみをモデル化します。ここで、j は –1 の平方根です。ベースバンド変調信号ベクトル y は、次の複素信号のサンプリングです。

$(Y_{1} (t) + j Y_{2} (t)) e^{j θ} .$

以下の図は、次を示しています。

デジタル変調器が実数値の入力ビットベクトル (またはシンボル) を受け入れ、複素数値の出力信号 (またはサンプル) を返す。
デジタル復調器が複素数値の入力信号 (またはサンプル) を受け取り、実数値の出力ビットベクトル (またはシンボル) を返す。

Digital modulator with real-valued inputs and complex-valued outputs. Digital demodulator with complex-valued inputs and real-valued outputs.

If you want to separate the in-phase and quadrature components of the complex modulated signal, you can use the Complex to Real-Imag (Simulink) block, or the real and imag MATLAB^® functions.

与えられた変調方式に応じ、以下を表示して複素変調信号を可視化できます。

コンスタレーションプロットでの変調サンプル
アイダイアグラムでの位相ツリー
スペクトルアナライザーでの周波数応答

メモ

ベースバンド信号ではなくアナログ通過帯域信号を処理する場合は、これらの信号を互いに変換する関数を作成できます。搬送波信号は一般に高レートでサンプリングされる必要があるため、アナログ通過帯域変調はベースバンド変調よりも計算が多くなる傾向があることに注意してください。

デジタル信号の表現

デジタル変調を使用して単一チャネルメッセージを変調するには、値が [0, (M–1)] の範囲の整数である実数メッセージから始めます。ここで、M は M シンボルアルファベットの変調次数を表します。単一チャネルメッセージを列ベクトルで表すか、行列の各列が 1 つのチャネルを表すマルチチャネルメッセージとして表します。たとえば、8 シンボルアルファベットを使用して変調するには、次のようにします。

列ベクトル [2 3 7 1 0 5 5 2 6]' は、変調器に対する有効な単一チャネル入力です。
2 列の行列 [2 3; 3 3; 7 3; 0 3;] は、変調器に対する有効なマルチチャネル入力です。このマルチチャネル入力メッセージの行列は、定数値 3 をもつ 2 番目のチャネルを指定します。

詳細については、信号に関する用語を参照してください。

整数値およびバイナリ値のシンボル

ほとんどのデジタル変調関数、System object、およびブロックは、整数値またはバイナリ値のシンボルを受け入れることができます。変調器の場合、入力タイプを整数またはバイナリとして指定します。復調器の場合、出力タイプを整数またはバイナリとして指定します。

変調器を整数値の入力シンボル用に構成すると、変調器は [0, (M–1)] の範囲の整数値を受け入れます。M は変調次数を表します。
変調器をビット値の入力シンボル用に構成すると、変調器は整数を表すバイナリ値入力を受け入れます。変調器は、バイナリ値のシンボルを b = log₂(M) ビットのグループに集約します。ここで、b はシンボルあたりのビット数を表します。入力ベクトルの長さは b の整数倍でなければなりません。この構成では、変調器は b ビットのグループを変調器出力でシンボルにマッピングします。変調器は b ビットのグループごとに、変調されたシンボルを 1 つ出力します。

シンボルマッピング

シンボルマッピングは、変調器が b 入力ビットのグループをコンスタレーションダイアグラムの対応するフェーザシンボルにマッピングするために使用する順序を指定します。ビットエラーレートを最小限に抑えるために、マルチレベル変調スキームでは通常、グレイ符号化手法が使用されます。グレイ符号化では、隣接するシンボルのバイナリ表現が 1 ビットだけ異なるように変調シンボルを順序付けます。通信システムでのグレイ符号の順序付けと、シングルビットエラーを訂正できる前方誤り訂正技術を組み合わせることで、マルチレベル変調スキームでのビットエラーレートを最小限に抑えることができます。グレイ符号化とバイナリ符号化のシンボルマッピングとエラーレートの性能を示す例については、シンボルマッピングの例を参照してください。

Communications Toolbox ソフトウェアの変調機能のほとんどは、既定の設定としてグレイ符号シンボルマッピングを使用します。その他のシンボルマッピングオプションは、バイナリ符号およびカスタム符号です。シンボルマッピング入力コントロールに使用されるプロパティまたはパラメーター名は、使用されている特定の変調方式に応じて異なります。

順序を説明するために、次の表は、シンボルマッピングでグレイ符号化とバイナリ符号化を使用する場合の 8-PSK 変調フェーザ出力と、対応する変調器の整数またはバイナリのシンボル入力値との関係を示しています。

8-PSK 変調器の出力	グレイ符号化		バイナリ符号化
8-PSK 変調器の出力	変調器の整数入力	変調器のバイナリ入力	変調器の整数入力	変調器のバイナリ入力
`exp`(0)	0	000	0	000
`exp`(jπ/4)	1	001	1	001
`exp`(jπ/2) = `exp`(j2π/4)	3	011	2	010
`exp`(j3π/4)	2	010	3	011
`exp`(jπ) = `exp`(j4π/4)	6	110	4	100
`exp`(j5π/4)	7	111	5	101
`exp`(j3π/2) = `exp`(j6π/4)	5	101	6	110
`exp`(j7π/4)	4	100	7	111

次のコンスタレーションダイアグラムは、8-PSK 変調シンボルのグレイ符号値でラベル付けされた出力フェーザをプロットします。表を比較すると、グレイ符号化の行エントリがコンスタレーションダイアグラムで反時計回りの順に表示されており、隣接するサンプル間に 1 ビットの違いしかないことがわかります。

Plot showing 8-PSK constellation symbols with corresponding integer and Gray-coded binary value labeled.

グレイ符号 M-PSK 変調のエラーレート性能. データを分析して、理論上の性能とシミュレーションでの性能を比較できます。M-PSK 変調の理論上のシンボルエラー確率は次のとおりです。

$P_{E} (M) = e r f c (\sqrt{\frac{E_{s}}{N_{0}}} \sin (\frac{π}{M}))$

ここで、erfc は相補誤差関数、E_s/N₀ はノイズパワースペクトル密度に対するシンボルのエネルギーの比、M は変調次数です。

ビットエラー確率を決定するには、シンボルエラー確率 P_E を対応するビットエラーに変換する必要があります。シンボルエラー確率をビットエラー確率に変換するための一般的な式はありませんが、上限と下限を設定するのは簡単です。実際のビットエラー確率 P_b は、次の範囲内にあるものとして表されます。

$\frac{P_{E} (M)}{\log_{2} M} \leq P_{b} \leq \frac{M / 2}{M - 1} P_{E} (M)$

下限は、シンボルにグレイ符号化が行われた場合に相当します。上限はバイナリ符号化の場合に相当します。グレイ符号シンボルマッピングによる同様のエラーレート性能の改善は、他の変調方式にも当てはまります。シンボルエラーレート (SER) とビットエラーレート (BER) の解析的表現の詳細については、BER 解析で使用される解析的表現を参照してください。

信号のアップサンプリングとレート変更

一部のデジタル変調方式では、変調されたシンボルのアップサンプリングされたバージョンを出力できます。対応するデジタル復調方式は、変調されたシンボルのアップサンプリングされたバージョンを入力として受け入れることができます。シンボルコントロールあたりのサンプル数は、アップサンプリング係数を表し、正の整数でなければなりません。次の表に、アップサンプリングサポートを提供する変調方式を示します。

デジタル変調タイプ	変調方式
Continuous-Phase Modulation	連続位相周波数偏移変調 (CPFSK) 連続位相変調 (CPM) ガウス最小偏移変調 (GMSK) 最小偏移変調 (MSK)
周波数変調	周波数偏移変調 (FSK)
位相変調	オフセット直交位相偏移変調 (OQPSK)

デジタル変調タイプ

変調方式

Continuous-Phase Modulation

連続位相周波数偏移変調 (CPFSK)

連続位相変調 (CPM)

ガウス最小偏移変調 (GMSK)

最小偏移変調 (MSK)

周波数変調

周波数偏移変調 (FSK)

位相変調

オフセット直交位相偏移変調 (OQPSK)

アップサンプリングの結果は、入力から出力で、次のようになります。

シングルレート処理のサイズが変化。
Simulink^® でのマルチレート処理のレートが変化。マルチレート処理は、MATLAB では考慮されません。

Simulink では、レートオプションをシングルレート処理またはマルチレート処理に設定してシミュレーションを実行できます。

レート変更の詳細については、サンプルベースおよびフレームベースの概念を参照してください。

次の表は、処理レートオプションおよびシミュレーションでの変調と復調に対するシンボルあたりのサンプル数 (N_SPS) に基づいて、結果として得られるアップサンプリングされた出力をまとめたものです。

計算の種類	レートオプション	アップサンプリングされた出力
変調	シングルレート処理	CPM および FM の場合 — 出力ベクトル長は、入力ベクトル内の整数の数またはバイナリワード数の N_SPS 倍になります。出力サンプル時間は入力サンプル時間に等しくなります。 OQPSK の場合 — 出力ベクトル長は、入力ベクトル内の整数の数またはバイナリワード数の 2N_SPS 倍になります。
変調	マルチレート処理	CPM および FM の場合 — 出力ベクトルは入力ベクトルと同じサイズになります。出力サンプル時間は、入力サンプル時間の 1/N_SPS 倍になります。 OQPSK の場合 — 出力ベクトルはスカラーです。出力サンプル時間は、入力サンプル時間の 1/2N_SPS 倍になります。
復調	シングルレート処理	CPM および FM の場合 — 出力ベクトルの整数の数またはバイナリワード数は、入力ベクトルのサンプル数の 1/N_SPS 倍になります。出力サンプル時間は入力サンプル時間に等しくなります。 OQPSK の場合 — 出力ベクトルは、入力ベクトルのサンプル数の 1/2N_SPS 倍になります。
復調	マルチレート処理	CPM および FM の場合 — 出力ベクトルは入力ベクトルと同じサイズになります。出力サンプル時間は、入力サンプル時間の N_SPS 倍になります。 N_SPS > 1 で、復調器が FM サブライブラリに属する場合、復調された信号は 1 出力シンボル周期だけ遅れます。 N_SPS = 1 の場合または復調器が CPM サブライブラリに属する場合、遅延はありません。 OQPSK の場合 — 出力信号には 1 つの整数または 1 つのバイナリワードが含まれます。出力サンプル時間は、入力サンプル時間の 2N_SPS 倍になります。N_SPS > 1 の場合、復調された信号は 1 出力シンボル周期だけ遅れます。

デジタル復調での遅延

一部のデジタル復調方式では、入力と出力の間で遅延が発生します。これらの遅延は、復調方式の構成と変調信号の特性に依存します。遅延により、時刻 T で変調機能または復調機能に入力されるデータは、出力では時刻 T + delay で現れます。特に、シミュレーションで誤り統計を計算したり、送信データと受信データを比較したりする場合、シミュレーションではそのような計算や比較を実行する際の遅延を考慮に入れなければなりません。例については、Demodulation Delay Examplesを参照してください。

復調タイプ	遅延の発生状態	遅延量
周波数変調にリストされている FM 復調器	サンプルベースの処理	delay = 1 出力区間
Continuous-Phase Modulationにリストされているすべての復調器オブジェクトとブロック	シングルレート処理、D = トレースバック長の値	delay = D 出力区間
Continuous-Phase Modulationにリストされているすべての復調器オブジェクトとブロック	マルチレート処理用に構成されたブロックで、[タスクモード] パラメーターが `[SingleTasking]` に設定された可変ステップソルバーまたは固定ステップソルバーをモデルが使用する場合 D = [Traceback length] の値	delay = D+1 出力区間
位相変調にリストされている OQPSK 復調器	シングルレート処理	OQPSK 復調の遅延は、パルス整形フィルターと入力/出力設定によって異なります。詳細については、`comm.OQPSKDemodulator` および OQPSK Demodulator Baseband を参照してください。
	マルチレート処理用に構成されたブロックで、[タスクモード] パラメーターが `[自動]` または `[MultiTasking]` に設定された固定ステップソルバーをモデルが使用する
	マルチレート処理用に構成されたブロックで、可変ステップソルバーをモデルが使用するか、[タスクモード] パラメーターが `[シングルタスク]` に設定されている
Trellis-Coded Modulationにリストされているすべての復調器オブジェクトとブロック	Tr がトレースバック長の値に等しく、符号化率 k/n で連続動作するように構成されている	delay = Tr × k 出力ビット

メモ

遅延を発生させるものは他に、M-DPSK、DQPSK、および DBPSK 復調器などがあります。これらの復調器が生成する出力の最初のサンプルは入力と関係がありません。この遅延は差分変調方式に関連しており、その特定の実装には関連していません。遅延を考慮して、エラーレートの計算で 1 サンプルの計算遅延を指定します。例については、comm.DQPSKDemodulator を参照してください。

硬判定復調と軟判定復調

Communications Toolbox のすべての復調器関数、System object、およびブロックは、硬判定を使用してバイナリデータを復調できます。一部の復調器関数、System object、およびブロックは、軟判定を使用してバイナリデータを復調することもできます。

硬判定復調では、受信した各サンプルの最小ハミング距離を計算し、最小距離のシンボルを選択します。シンボルの硬判定出力のハミング距離が複数のコードワードに対して等しい場合、それらのコードワードの 1 つがランダムに選択されます。軟判定復調を使用すると、判定エラーの確率を減らすことができますが、計算量が多くなります。

正確な対数尤度比 (LLR) と近似 LLR の 2 つの軟判定アルゴリズムを使用できます。正確な LLR は非常に高精度ですが時間がかかり、近似 LLR は精度は下がりますが効率的です。例については、硬判定復調と軟判定復調の例を参照してください。

厳密な LLR アルゴリズムは有限の精度演算で指数を計算します。計算に非常に大きな正または負の振幅が含まれる場合、厳密な LLR アルゴリズムの結果は次のようになります。

ノイズ分散が極度に大きい値の場合は、Inf または -Inf
ノイズ分散と信号強度の両方が非常に小さい値の場合は NaN

近似 LLR アルゴリズムでは指数が計算されません。近似 LLR アルゴリズムを使用することによって、Inf、-Inf、および NaN の結果を回避できます。

厳密な LLR アルゴリズム

対数尤度比 (LLR) は、受信信号に対して送信される 0 ビットと送信される 1 ビットの確率の対数です。ビット b の LLR は次のように定義されます。

$L (b) = \log (\frac{\Pr (b = 0 | r = (x, y))}{\Pr (b = 1 | r = (x, y))})$

すべてのシンボルの確率が等しいと仮定した場合、AWGN チャネルの LLR は次のように表現できます。

$L (b) = \log (\frac{\sum_{s \in S_{0}} e^{- \frac{1}{σ^{2}} ({(x - s_{x})}^{2} + {(y - s_{y})}^{2})}}{\sum_{s \in S_{1}} e^{- \frac{1}{σ^{2}} ({(x - s_{x})}^{2} + {(y - s_{y})}^{2})}})$

同相軸または直交軸に沿ったノイズ成分は、独立した同じべき乗と見なされます ( $σ_{x}^{2} = σ_{y}^{2} = σ^{2} / 2$ )。

変数は、この表で説明されている値を表します。

変数	説明
$r$	座標 (x, y) の受信信号
$b$	送信されるビット (M-ary シンボル内の K ビットの 1 つであり、M シンボルはすべて確率が等しいと仮定)
$S_{0}$	指定したビット位置におけるビット 0 の理想的なシンボルまたはコンスタレーション点
$S_{1}$	指定したビット位置におけるビット 1 の理想的なシンボルまたはコンスタレーション点
$s_{x}$	理想的なシンボルまたはコンスタレーション点の同相座標
$s_{y}$	理想的なシンボルまたはコンスタレーション点の直交座標
$σ^{2}$	ベースバンド信号のノイズ分散
$σ_{x}^{2}$	同相軸に沿ったノイズ分散
$σ_{y}^{2}$	直交軸に沿ったノイズ分散

近似 LLR アルゴリズム

近似 LLR は、厳密な LLR の場合のようにすべてのコンスタレーション点ではなく、そのビット位置における 1 つの 0 (または 1) を含む受信サンプルに最も近いコンスタレーション点だけを使用して計算されます。これは、[8]で、次のように定義されています。

$L (b) = - \frac{1}{σ^{2}} (\min_{s \in S_{0}} ({(x - s_{x})}^{2} + {(y - s_{y})}^{2}) - \min_{s \in S_{1}} ({(x - s_{x})}^{2} + {(y - s_{y})}^{2}))$

Digital Modulation ブロックへのアクセス

[Modulation] ライブラリ内のアイコンをダブルクリックして [Digital Baseband Modulation] サブライブラリを開きます。

次の表は、[Digital Baseband Modulation] サブライブラリ内のサブライブラリを示しています。[Digital Baseband Modulation] サブライブラリのアイコンをダブルクリックして、個々のサブライブラリのブロックを表示します。

Digital Baseband ライブラリ内のアイコン	変調の種類
APSK	振幅位相変調
CPM (MSK、GMSK)	連続位相変調
FSK	周波数偏移変調
OFDM	直交周波数分割変調
PAM/QAM	位相振幅および直交振幅変調
PSK	位相偏移変調
規格準拠 (MIL188)	MIL-STD-188 規格準拠の変調
TCM	トレリス符号化変調

次の表は、一般的な変調器ブロックに加え、特殊なケースの変調器ブロックに対して一般的な変調器が同等になる条件を示しています。状況は、復調器の場合も同じです。特殊なケースの変調ブロックでは、一般的なブロックが使用するものと同じ計算コードを使用しますが、より単純なインターフェイスまたは特殊なケースに適したインターフェイスを提供します。

一般的変調器	一般的変調器の条件	特殊なケースの変調器
General QAM Modulator Baseband	矩形格子上の M = 2^b 個の点を含む定義済みのコンスタレーション。M は変調次数、b は各コンスタレーション点で表されるシンボルあたりのビット数です。	Rectangular QAM Modulator Baseband
M-PSK Modulator Baseband	[M-ary number] パラメーターを `2` に設定します。	BPSK Modulator Baseband
M-PSK Modulator Baseband	[M-ary number] パラメーターを `4` に設定します。	QPSK Modulator Baseband
M-DPSK Modulator Baseband	[M-ary number] パラメーターを `2` に設定します。	DBPSK Modulator Baseband
M-DPSK Modulator Baseband	[M-ary number] パラメーターを `4` に設定します。	DQPSK Modulator Baseband
CPM Modulator Baseband	[M-ary number] パラメーターを `2` に設定し、[Frequency pulse shape] パラメーターを `[Gaussian]` に設定します。	GMSK Modulator Baseband
	[M-ary number] パラメーターを 2 に設定し、[Frequency pulse shape] パラメーターを `[Rectangular]` に設定し、[Pulse length] パラメーターを `1` に設定します。	MSK Modulator Baseband
	[Frequency pulse shape] パラメーターを `[Rectangular]` に設定し、[Pulse length] パラメーターを `1` に設定します。	CPFSK Modulator Baseband
General TCM Encoder	矩形格子上の M = 2^b 個の点を含む定義済みの信号コンスタレーション。	Rectangular QAM TCM Encoder
General TCM Encoder	円形上の M = 2^b 個の点を含む定義済みの信号コンスタレーション。	M-PSK TCM Encoder

M-FSK ブロックで連続的位相遷移が使用される場合、CPFSK Modulator Baseband ブロックは M-FSK Modulator Baseband ブロックと似ています。ただし、M-FSK 機能はマスクインターフェイスおよび復調器実装での CPFSK 機能とは異なります。

参考文献

[1] Jeruchim, Michel C., Philip Balaban, and K. Sam Shanmugan. Simulation of Communication Systems. Second edition. Boston, MA: Springer US, 2000.

[2] Proakis, John G. Digital Communications. 5th ed. New York: McGraw Hill, 2007.

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[7] Smith, J. G. "Odd-Bit Quadrature Amplitude-Shift Keying." IEEE Transactions on Communications 23, no. 3 (March 1975): 385–89.

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