LinearModel
線形回帰モデル
説明
LinearModel は、当てはめ済みの線形回帰モデル オブジェクトです。回帰モデルは、応答と予測子の間の関係を説明します。線形回帰モデルにおける線形性は、予測子の係数の線形性を意味します。
当てはめた線形回帰モデルを調べるには、LinearModel オブジェクトのプロパティを使用します。オブジェクト プロパティには、係数推定値、要約統計量、近似法および入力データに関する情報が含まれています。オブジェクト関数を使用して、応答の予測と、線形回帰モデルの修正、評価および可視化を行います。
作成
LinearModel オブジェクトの作成には、fitlm または stepwiselm を使用します。
fitlm は、固定されたモデル仕様を使用して、線形回帰モデルをデータに当てはめます。モデルに対して項を追加または削除するには、addTerms、removeTerms または step を使用します。あるいは、stepwiselm でステップワイズ線形回帰を使用してモデルを当てはめます。
プロパティ
オブジェクト関数
例
行列内のデータを使用した線形回帰の当てはめ
行列入力データセットを使用して線形回帰モデルを当てはめます。
行列入力データセットである carsmall データセットを読み込みます。
load carsmall
X = [Weight,Horsepower,Acceleration];fitlm を使用して、線形回帰モデルを当てはめます。
mdl = fitlm(X,MPG)
mdl =
Linear regression model:
y ~ 1 + x1 + x2 + x3
Estimated Coefficients:
Estimate SE tStat pValue
__________ _________ _________ __________
(Intercept) 47.977 3.8785 12.37 4.8957e-21
x1 -0.0065416 0.0011274 -5.8023 9.8742e-08
x2 -0.042943 0.024313 -1.7663 0.08078
x3 -0.011583 0.19333 -0.059913 0.95236
Number of observations: 93, Error degrees of freedom: 89
Root Mean Squared Error: 4.09
R-squared: 0.752, Adjusted R-Squared: 0.744
F-statistic vs. constant model: 90, p-value = 7.38e-27
モデルの表示には、モデル式、推定された係数、およびモデルの要約統計量が含まれています。
この表示のモデル式 y ~ 1 + x1 + x2 + x3 は、 に対応します。
モデルの表示には、Coefficients プロパティに格納されている、推定された係数の情報も示されています。Coefficients プロパティを表示します。
mdl.Coefficients
ans=4×4 table
Estimate SE tStat pValue
__________ _________ _________ __________
(Intercept) 47.977 3.8785 12.37 4.8957e-21
x1 -0.0065416 0.0011274 -5.8023 9.8742e-08
x2 -0.042943 0.024313 -1.7663 0.08078
x3 -0.011583 0.19333 -0.059913 0.95236
Coefficient プロパティには、以下の列が含まれています。
Estimate— モデル内の対応する各項の係数推定値。たとえば、定数項 (intercept) の推定値は 47.977 です。SE— 係数の標準誤差。tStat— 各係数の t 統計量。モデル内の他の予測子が与えられた場合に、対応する係数が 0 ではないという対立仮説に対して係数が 0 であるという帰無仮説を検定するために使用します。tStat = Estimate/SEであることに注意してください。たとえば、切片の t 統計量は 47.977/3.8785 = 12.37 です。pValue— 対応する係数が 0 であるかどうかについての仮説検定の t 統計量に対する p 値。たとえば、x2の t 統計量の p 値は 0.05 より大きいので、この項はモデル内の他の項に対して 5% の有意水準では有意ではありません。
モデルの要約統計量は以下のとおりです。
Number of observations—NaN値が含まれていない行の数。この例では、XとMPGの行数が 100 であり、異なる観測値についてデータ ベクトルMPGには 6 つのNaN値、データ ベクトルHorsepowerには 1 つのNaN値があるので、Number of observationsは 93 です。Error degrees of freedom— n – p。ここで、n は観測値の個数、p はモデル内の係数の個数 (切片を含む) です。たとえば、モデルには 4 つの予測子があるため、Error degrees of freedomは 93 – 4 = 89 となります。Root mean squared error— 平均二乗誤差の平方根。誤差分布の標準偏差の推定に使用します。R-squaredおよびAdjusted R-squared— それぞれ決定係数および調整後の決定係数。たとえば、R-squared値からは、応答変数MPGのばらつきの約 75% をこのモデルで説明できることがわかります。F-statistic vs. constant model— 回帰モデルに対する F 検定の検定統計量。この検定では、定数項のみから構成される縮退したモデルより回帰モデルの方が有意に優れているかどうかを検定します。p-value— モデルに対する F 検定の p 値。たとえば、p 値が 7.3816e-27 なので、このモデルは有意です。
これらの統計量はモデルのプロパティ (NumObservations、DFE、RMSE および Rsquared) に含まれており、関数 anova を使用して取得できます。
anova(mdl,'summary')ans=3×5 table
SumSq DF MeanSq F pValue
______ __ ______ ______ __________
Total 6004.8 92 65.269
Model 4516 3 1505.3 89.987 7.3816e-27
Residual 1488.8 89 16.728
plot を使用して、定数 (切片) 項を除くモデル全体に対する追加変数プロット (偏回帰のてこ比のプロット) を作成します。
plot(mdl)
カテゴリカル予測子がある線形回帰
カテゴリカル予測子が含まれている線形回帰モデルを当てはめます。モデルの基準レベルを制御するため、カテゴリカル予測子のカテゴリの順序を並べ替えます。次に、anovaを使用してカテゴリカル変数の有意性を検定します。
カテゴリカル予測子をもつモデル
carsmall データセットを読み込み、Model_Year の関数として MPG の線形回帰モデルを作成します。数値ベクトル Model_Year をカテゴリカル変数として扱うため、名前と値のペアの引数 'CategoricalVars' を使用して予測子を指定します。
load carsmall mdl = fitlm(Model_Year,MPG,'CategoricalVars',1,'VarNames',{'Model_Year','MPG'})
mdl =
Linear regression model:
MPG ~ 1 + Model_Year
Estimated Coefficients:
Estimate SE tStat pValue
________ ______ ______ __________
(Intercept) 17.69 1.0328 17.127 3.2371e-30
Model_Year_76 3.8839 1.4059 2.7625 0.0069402
Model_Year_82 14.02 1.4369 9.7571 8.2164e-16
Number of observations: 94, Error degrees of freedom: 91
Root Mean Squared Error: 5.56
R-squared: 0.531, Adjusted R-Squared: 0.521
F-statistic vs. constant model: 51.6, p-value = 1.07e-15
この表示のモデル式 MPG ~ 1 + Model_Year は、次の式に対応します。
と は指標変数であり、それぞれ Model_Year の値が 76 および 82 である場合に値が 1 になります。変数 Model_Year には 3 種類の値が格納されます。これは、関数 unique を使用してチェックできます。
unique(Model_Year)
ans = 3×1
70
76
82
fitlm は、基準レベルとして Model_Year の最小値 ('70') を選択し、2 つの指標変数 および を作成します。3 つの指標変数 (各レベルについて 1 つ) と切片項をモデルに含めると計画行列がランク落ちとなるので、このモデルには 2 つの指標変数のみが含まれています。
すべての指標変数をもつモデル
mdl のモデル式は、3 つの指標変数があり切片項はない次のようなモデルとして解釈できます。
または、手動で指標変数を作成しモデル式を指定することにより、3 つの指標変数があり切片項はないモデルを作成できます。
temp_Year = dummyvar(categorical(Model_Year));
Model_Year_70 = temp_Year(:,1);
Model_Year_76 = temp_Year(:,2);
Model_Year_82 = temp_Year(:,3);
tbl = table(Model_Year_70,Model_Year_76,Model_Year_82,MPG);
mdl = fitlm(tbl,'MPG ~ Model_Year_70 + Model_Year_76 + Model_Year_82 - 1')mdl =
Linear regression model:
MPG ~ Model_Year_70 + Model_Year_76 + Model_Year_82
Estimated Coefficients:
Estimate SE tStat pValue
________ _______ ______ __________
Model_Year_70 17.69 1.0328 17.127 3.2371e-30
Model_Year_76 21.574 0.95387 22.617 4.0156e-39
Model_Year_82 31.71 0.99896 31.743 5.2234e-51
Number of observations: 94, Error degrees of freedom: 91
Root Mean Squared Error: 5.56
モデルの基準レベルの選択
カテゴリカル変数のカテゴリの順序を変更することにより、基準レベルを選択できます。まず、カテゴリカル変数 Year を作成します。
Year = categorical(Model_Year);
関数categoriesを使用して、カテゴリの順序をチェックします。
categories(Year)
ans = 3x1 cell
{'70'}
{'76'}
{'82'}
Year を予測子変数として使用する場合、fitlm は 1 番目のカテゴリ '70' を基準レベルとして選択します。関数reordercatsを使用して Year を並べ替えます。
Year_reordered = reordercats(Year,{'76','70','82'});
categories(Year_reordered)ans = 3x1 cell
{'76'}
{'70'}
{'82'}
Year_reordered の 1 番目のカテゴリは '76' です。Year_reordered の関数として MPG の線形回帰モデルを作成します。
mdl2 = fitlm(Year_reordered,MPG,'VarNames',{'Model_Year','MPG'})
mdl2 =
Linear regression model:
MPG ~ 1 + Model_Year
Estimated Coefficients:
Estimate SE tStat pValue
________ _______ _______ __________
(Intercept) 21.574 0.95387 22.617 4.0156e-39
Model_Year_70 -3.8839 1.4059 -2.7625 0.0069402
Model_Year_82 10.136 1.3812 7.3385 8.7634e-11
Number of observations: 94, Error degrees of freedom: 91
Root Mean Squared Error: 5.56
R-squared: 0.531, Adjusted R-Squared: 0.521
F-statistic vs. constant model: 51.6, p-value = 1.07e-15
mdl2 は、'76' を基準レベルとして使用し、2 つの指標変数 および を含めます。
カテゴリカル予測子の評価
mdl2 のモデル表示には、対応する係数がゼロに等しいかどうかを検定するための p 値が各項について含まれています。各 p 値は各指標変数を検定します。カテゴリカル変数 Model_Year を指標変数のグループとして調べるには、anovaを使用します。定数項を除くモデル内の各変数の ANOVA 統計量が含まれている成分 ANOVA 表を返すため、'components' (既定の設定) オプションを使用します。
anova(mdl2,'components')ans=2×5 table
SumSq DF MeanSq F pValue
______ __ ______ _____ __________
Model_Year 3190.1 2 1595.1 51.56 1.0694e-15
Error 2815.2 91 30.936
成分 ANOVA 表には変数 Model_Year の p 値が含まれており、指標変数の p 値より小さくなっています。
ロバスト線形回帰モデルの当てはめ
hald データセットを読み込みます。これは、セメントの硬化熱に対してセメントの組成が与える影響を測定したデータです。
load haldこのデータセットには、変数 ingredients および heat が含まれています。行列 ingredients には、セメントに含まれている 4 種類の化学物質の組成率が格納されています。ベクトル heat には、各セメント標本に対する 180 日後の硬化熱の値が格納されています。
ロバスト線形回帰モデルをデータに当てはめます。
mdl = fitlm(ingredients,heat,'RobustOpts','on')
mdl =
Linear regression model (robust fit):
y ~ 1 + x1 + x2 + x3 + x4
Estimated Coefficients:
Estimate SE tStat pValue
________ _______ ________ ________
(Intercept) 60.09 75.818 0.79256 0.4509
x1 1.5753 0.80585 1.9548 0.086346
x2 0.5322 0.78315 0.67957 0.51596
x3 0.13346 0.8166 0.16343 0.87424
x4 -0.12052 0.7672 -0.15709 0.87906
Number of observations: 13, Error degrees of freedom: 8
Root Mean Squared Error: 2.65
R-squared: 0.979, Adjusted R-Squared: 0.969
F-statistic vs. constant model: 94.6, p-value = 9.03e-07
詳細については、ロバスト近似と標準的な最小二乗近似の結果を比較しているロバスト回帰を使用した外れ値の影響の低減のトピックを参照してください。
ステップワイズ回帰の使用による線形モデルの当てはめ
hald データセットを読み込みます。これは、セメントの硬化熱に対してセメントの組成が与える影響を測定したデータです。
load haldこのデータセットには、変数 ingredients および heat が含まれています。行列 ingredients には、セメントに含まれている 4 種類の化学物質の組成率が格納されています。ベクトル heat には、各セメント標本に対する 180 日後の硬化熱の値が格納されています。
ステップワイズ線形回帰モデルをデータに当てはめます。モデルに項を追加する基準のしきい値として 0.06 を指定します。
mdl = stepwiselm(ingredients,heat,'PEnter',0.06)1. Adding x4, FStat = 22.7985, pValue = 0.000576232 2. Adding x1, FStat = 108.2239, pValue = 1.105281e-06 3. Adding x2, FStat = 5.0259, pValue = 0.051687 4. Removing x4, FStat = 1.8633, pValue = 0.2054
mdl =
Linear regression model:
y ~ 1 + x1 + x2
Estimated Coefficients:
Estimate SE tStat pValue
________ ________ ______ __________
(Intercept) 52.577 2.2862 22.998 5.4566e-10
x1 1.4683 0.1213 12.105 2.6922e-07
x2 0.66225 0.045855 14.442 5.029e-08
Number of observations: 13, Error degrees of freedom: 10
Root Mean Squared Error: 2.41
R-squared: 0.979, Adjusted R-Squared: 0.974
F-statistic vs. constant model: 230, p-value = 4.41e-09
既定では、開始モデルは定数モデルです。stepwiselm は前方選択を実行し、x4、x1 および x2 の各項を (この順番で) 追加します。これは対応する p 値が PEnter の値 0.06 より小さいためです。その後、stepwiselm は後退消去を使用して x4 をモデルから削除します。これは、x2 がモデル内にあると、PRemove の既定値である 0.1 より x4 の p 値が大きくなるためです。
詳細
代替機能
高次元データセットに対する計算時間を短縮するには、関数
fitrlinearを使用して線形回帰モデルを当てはめます。回帰を正則化するには、
fitrlinear、lasso、ridgeまたはplsregressを使用します。fitrlinearは、LASSO またはリッジ回帰を使用して、高次元データの回帰を正則化します。lassoは、LASSO または Elastic Net を使用して、線形回帰の冗長な予測子を削除します。ridgeは、リッジ回帰を使用して、相関する項がある回帰を正則化します。plsregressは、部分最小二乗を使用して、相関する項がある回帰を正則化します。
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