IIR フィルターの設計

この例では、標準的なバタワースフィルター、チェビシェフフィルター、楕円フィルターの設計を比較し、ベッセルフィルター、ユール・ウォーカーフィルター、汎用バタワースフィルターについて説明します。

IIR フィルターと FIR フィルター

IIR フィルターが FIR フィルターに勝る点は、一般的に対応する FIT フィルターよりも少ないフィルター次数で与えられた仕様を満たせることにあります。IIR フィルターは非線形位相をもちますが、MATLAB® ソフトウェアでのデータ処理は一般にオフラインで行われ、データシーケンス全体がフィルター処理の前に使用可能な状態になっています。これにより、filtfilt関数を使用した非因果的なゼロ位相フィルター処理が可能になり、IIR フィルターの非線形位相ひずみを除去できます。

標準的 IIR フィルター

標準的な IIR フィルターであるバタワース、チェビシェフ I 型、チェビシェフ II 型、楕円、およびベッセルの各フィルターはすべて、異なる方法で理想的な "ブリックウォール" フィルターを近似します。

Signal Processing Toolbox™ には、アナログ領域とデジタル領域の両方で (アナログでのみサポートされるベッセルを除く)、また、ローパス、ハイパス、バンドパス、およびバンドストップの構成で、これらすべての標準的な IIR フィルターを作成する関数が用意されています。また、ほとんどのフィルタータイプに対して、通過帯域から阻止帯域への減衰量と遷移幅で与えられたフィルター仕様に適合する最小のフィルター次数を求めることもできます。

その他の IIR フィルター

直接型フィルター設計関数yulewalkは、指定した周波数応答関数を近似する振幅応答をもつフィルターを求めます。これは、マルチバンドの帯域フィルターを作成する 1 つの方法です。

また、パラメトリックモデリング、または、システム同定関数を使用して、IIR フィルターを設計することもできます。これらの関数は、パラメトリックモデリングで説明します。

汎用バタワース設計関数maxflatは、"汎用バタワースフィルターの設計" のセクションで説明します。

IIR フィルター方法の概要

次の表に、Signal Processing Toolbox™ を使用したさまざまなフィルター方法をまとめ、これらの方法の実装に使用できる関数を記載します。

ツールボックスのフィルター方法と使用可能な関数

フィルター方法	説明	フィルター関数
アナログプロトタイピング	連続 (ラプラス) 領域で標準的なローパスプロトタイプフィルターの極と零点を使用して、周波数変換とフィルター離散化によりデジタルフィルターを実装	フィルターの設計: `besself`, `butter`, `cheby1`, `cheby2`, `ellip` 次数の推定: `buttord`、`cheb1ord`、`cheb2ord`、`ellipord` ローパスアナログプロトタイピング: `besselap`、`buttap`、`cheb1ap`、`cheb2ap`、`ellipap` 周波数変換: `lp2bp`、`lp2bs`、`lp2hp`、`lp2lp` フィルターの離散化: `bilinear`、`impinvar`
直接設計	区分線形振幅応答を近似することで、離散時間領域において直接デジタルフィルターを設計	`yulewalk`
汎用バタワース設計	極よりも零点の数が多いローパスバタワースフィルターを設計	`maxflat`
パラメトリックモデリング	設定された時間領域応答、または周波数領域応答を近似するデジタルフィルターが求められます (パラメトリクスモデリングツールの豊富なコレクションについては、System Identification Toolbox™ のドキュメントを参照してください。)	時間領域モデリング: `lpc`, `prony`, `stmcb` 周波数領域モデリング: `invfreqs`、`invfreqz`

アナログプロトタイピングによる標準的な IIR フィルター設計

このツールボックスで提供されている主な IIR デジタルフィルターの設計法は、標準的なローパスアナログフィルターを等価なデジタルフィルターに変換することをベースとしています。以下の節では、フィルターの設計法と、サポートされているフィルタータイプの特性の概要を説明します。フィルター設計プロセスの詳細な手順については、IIR フィルター設計での特別トピックを参照してください。

標準的な IIR フィルターの総合的な設計

フィルター設計関数を使用して、ローパス、ハイパス、バンドパス、または、バンドストップの ftype 構成の、任意の次数のフィルターを簡単に作成できます。

フィルター設計関数

フィルタータイプ	設計関数
ベッセル (`besself`、アナログのみ)	`[b,a] = besself(n,Wn,ftype)` `[z,p,k] = besself(n,Wn,ftype)` `[A,B,C,D] = besself(n,Wn,ftype)`
バタワース (`butter`)	`[b,a] = butter(n,Wn,ftype)` `[z,p,k] = butter(n,Wn,ftype)` `[A,B,C,D] = butter(n,Wn,ftype)`
チェビシェフ I 型 (`cheby1`)	`[b,a] = cheby1(n,Rp,Wn,ftype)` `[z,p,k] = cheby1(n,Rp,Wn,ftype)` `[A,B,C,D] = cheby1(n,Rp,Wn,ftype)`
チェビシェフ II 型 (`cheby2`)	`[b,a] = cheby2(n,Rs,Wn,ftype)` `[z,p,k] = cheby2(n,Rs,Wn,ftype)` `[A,B,C,D] = cheby2(n,Rs,Wn,ftype)`
楕円 (`ellip`)	`[b,a] = ellip(n,Rp,Rs,Wn,ftype)` `[z,p,k] = ellip(n,Rp,Rs,Wn,ftype)` `[A,B,C,D] = ellip(n,Rp,Rs,Wn,ftype)`

既定では、これらの関数からはそれぞれローパスフィルターが返されます。正規化周波数 (ナイキスト周波数 = 1 Hz) を使用して、希望するカットオフ周波数 Wn を設定するだけです。ハイパスフィルターでは、関数のパラメーターのリストに "high" を追加します。バンドパスまたはバンドストップフィルターの場合は、Wn を通過帯域のエッジ周波数を含む 2 要素ベクトルとして指定します。バンドストップ構成の場合は "stop" を追加します。

次に、デジタルフィルターの設計例をいくつか示します。

[bB,aB] = butter(5,0.4);                  % Lowpass Butterworth
[bC1,aC1] = cheby1(4,1,[0.4 0.7]);        % Bandpass Chebyshev Type I
[bC2,aC2] = cheby2(6,60,0.8,"high");      % Highpass Chebyshev Type II
[bE,aE] = ellip(3,1,60,[0.4 0.7],"stop"); % Bandstop elliptic

シミュレーション用などにアナログフィルターを設計するには、最後に "s" を追加して、カットオフ周波数をラジアン/サンプル単位で指定します。

[bBA,aBA] = butter(5,0.4,"s");    % Analog Butterworth filter

すべてのフィルター設計関数では、出力引数の数に応じて、伝達関数、零点-極-ゲイン、または、状態空間線形システムのモデル表現でフィルターが返されます。一般的に、丸め誤差による数値的な問題が生じる可能性があるため、伝達関数の使用は避けてください。代わりに、zp2sosを使用して 2 次セクションに変換できる零点-極-ゲイン形式を使用し、その後に、変換した 2 次セクションを使用してフィルターを解析または実装します。

すべての標準的 IIR ローパスフィルターは、極端に低いカットオフ周波数には適していません。このため、非常に狭い通過帯域をもつローパス IIR フィルターを設計する代わりに、通過帯域の広いフィルターを設計して、入力信号を間引く方法を使用します。

周波数領域仕様に対する IIR フィルターの設計

Signal Processing Toolbox™ には、与えられた要件のセットを満たす最小のフィルター次数を計算する次数選択関数が用意されています。

フィルタータイプ	次数推定関数
バタワース	`[n,Wn] = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)`
チェビシェフ I 型	`[n,Wn] = cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs)`
チェビシェフ II 型	`[n,Wn] = cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs)`
楕円	`[n,Wn] = ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs)`

これらの次数推定関数は、フィルター設計関数と合わせて使うと便利です。たとえば、1,000 Hz から 2,000 Hz が通過帯域、その両側から 500 Hz 離れた位置に阻止帯域があり、サンプリング周波数が 10 kHz、通過帯域でのリップルが 1 dB 以内で、阻止帯域の減衰量が少なくとも 60 dB のバンドパスフィルターを設計するとします。関数 butter を使用してこれらの仕様を満たすには、以下のようにします。

[n,Wn] = buttord([1000 2000]/5000,[500 2500]/5000,1,60)

n = 
12

Wn = 1×2

    0.1951    0.4080

[bB2,aB2] = butter(n,Wn);

同じ必要条件を満たす楕円フィルターは、次のように設計します。

[n,Wn] = ellipord([1000 2000]/5000,[500 2500]/5000,1,60)

n = 
5

Wn = 1×2

    0.2000    0.4000

[bE2,aE2] = ellip(n,1,60,Wn);

これらの関数は、アナログフィルターの場合に加え、ほかの標準帯域構成も扱うことができます。

標準的な IIR フィルタータイプの比較

Signal Processing Toolbox™ には 5 つのタイプの標準的な IIR フィルターが用意されており、それぞれ異なる状況に適しています。本節では、各フィルタータイプの基本的なアナログプロトタイプを示し、主な特性の概要を説明します。

バタワースフィルター

バタワースフィルターでは、アナログ周波数 $Ω = 0$ および $Ω = \infty$ において理想的なローパスフィルター応答に対する最善のテイラー級数近似が提供されます。任意の次数 $N$ について、振幅二乗応答は、これらの位置で $2 N - 1$ 個のゼロ微分をもちます ( $Ω = 0$ および $Ω = \infty$ において "最大フラット")。応答は全体的に単調で、 $Ω = 0$ から $Ω = \infty$ に滑らかに減少します。 $Ω = 1$ においては $| H (j Ω) | = 1 / \sqrt{2}$ です。

n = 5;
[z,p,k] = buttap(n);
[bBp,aBp] = zp2tf(z,p,k);
[hBp,wBp] = freqs(bBp,aBp,4096);
semilogx(wBp,abs(hBp))
grid on
xlabel("Frequency (rad/s)")
ylabel("Magnitude")