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cheby2

チェビシェフ II 型フィルターの設計

構文

[b,a] = cheby2(n,Rs,Ws)

[b,a] = cheby2(n,Rs,Ws,ftype)

[z,p,k] = cheby2(___)

[A,B,C,D] = cheby2(___)

[___] = cheby2(___,'s')

説明

[b,a] = cheby2(n,Rs,Ws) は、正規化された阻止帯域エッジ周波数 Ws および Rs デシベルの通過帯域ピーク値からの阻止帯域の減衰量をもつ n 次のローパス デジタル チェビシェフ II 型フィルターの伝達関数係数を返します。

[b,a] = cheby2(n,Rs,Ws,ftype) は、ftype の値および Ws の要素数に応じて、ローパス、ハイパス、バンドパス、または、バンドストップのチェビシェフ II 型フィルターを設計します。得られるバンドパスおよびバンドストップの設計は次数が 2n です。

メモ: 伝達関数型の作成に影響する数値的問題についての詳細は、制限を参照してください。

[z,p,k] = cheby2(___) はローパス、ハイパス、バンドパス、または、バンドストップのデジタル チェビシェフ II 型フィルターを設計し、零点、極およびゲインを返します。この構文には、前の構文の任意の入力引数を含めることができます。

[A,B,C,D] = cheby2(___) はローパス、ハイパス、バンドパス、または、バンドストップのデジタル チェビシェフ II 型フィルターを設計し、その状態空間表現を指定する行列を返します。

[___] = cheby2(___,'s') は阻止帯域エッジ角周波数 Ws と阻止帯域の減衰量 Rs デシベルをもつローパス、ハイパス、バンドパスまたはバンドストップのアナログ チェビシェフ II 型フィルターを設計します。

例

ローパス チェビシェフ II 型の伝達関数

1000 Hz でサンプリングされたデータに対し、40 dB の阻止帯域の減衰量および 300 Hz の阻止帯域エッジ周波数 ( ラジアン/サンプルに相当) をもつ 6 次のローパス チェビシェフ II 型フィルターを設計します。その振幅応答と位相応答をプロットします。これを使用して、1,000 サンプルのランダム信号をフィルター処理します。

[b,a] = cheby2(6,40,0.6);
freqz(b,a)

dataIn = randn(1000,1);
dataOut = filter(b,a,dataIn);

バンドストップ チェビシェフ II 型フィルター

および ラジアン/サンプルの正規化されたエッジ周波数および 50 dB の阻止帯域の減衰量をもつ 6 次のチェビシェフ II 型バンドストップ フィルターを設計します。その振幅応答と位相応答をプロットします。これを使用してランダム データをフィルター処理します。

[b,a] = cheby2(3,50,[0.2 0.6],'stop');
freqz(b,a)

dataIn = randn(1000,1);
dataOut = filter(b,a,dataIn);

ハイパス チェビシェフ II 型フィルター

1000 Hz でサンプリングされたデータに対し、20 dB の阻止帯域の減衰量および 300 Hz の阻止帯域エッジ周波数 ( ラジアン/サンプルに相当) をもつ 9 次のハイパス チェビシェフ II 型フィルターを設計します。その振幅応答と位相応答を表示します。fvtool で使用するために零点、極およびゲインを 2 次セクション型に変換します。

[z,p,k] = cheby2(9,20,300/500,'high');
sos = zp2sos(z,p,k);
fvtool(sos,'Analysis','freq')

バンドパス チェビシェフ II 型フィルター

500 Hz の低域阻止帯域周波数および 560 Hz の高域阻止帯域周波数をもつ 20 次のチェビシェフ II 型バンドパス フィルターを設計します。40 dB の阻止帯域の減衰量および 1500 Hz のサンプルレートを指定します。状態空間表現を使用します。designfilt を使用して同じフィルターを設計します。

[A,B,C,D] = cheby2(10,40,[500 560]/750);
d = designfilt('bandpassiir','FilterOrder',20, ...
    'StopbandFrequency1',500,'StopbandFrequency2',560, ...
    'StopbandAttenuation',40,'SampleRate',1500);

状態空間表現を 2 次セクション型に変換します。fvtool を使用して周波数応答を可視化します。

sos = ss2sos(A,B,C,D);
fvt = fvtool(sos,d,'Fs',1500);
legend(fvt,'cheby2','designfilt')

アナログの IIR ローパス フィルターの比較

カットオフ周波数 2 GHz をもつ 5 次のアナログ バタワース フィルターを設計します。 倍にして周波数を秒あたりのラジアン単位に変換します。4096 点でのフィルターの周波数応答を計算します。

n = 5;
f = 2e9;

[zb,pb,kb] = butter(n,2*pi*f,'s');
[bb,ab] = zp2tf(zb,pb,kb);
[hb,wb] = freqs(bb,ab,4096);

同じエッジ周波数と通過帯域リップル 3 dB をもつ 5 次のチェビシェフ I 型フィルターを設計します。その周波数応答を計算します。

[z1,p1,k1] = cheby1(n,3,2*pi*f,'s');
[b1,a1] = zp2tf(z1,p1,k1);
[h1,w1] = freqs(b1,a1,4096);

同じエッジ周波数と阻止帯域の減衰量 30 dB をもつ 5 次のチェビシェフ II 型フィルターを設計します。その周波数応答を計算します。

[z2,p2,k2] = cheby2(n,30,2*pi*f,'s');
[b2,a2] = zp2tf(z2,p2,k2);
[h2,w2] = freqs(b2,a2,4096);

同じエッジ周波数、通過帯域リップル 3 dB および阻止帯域の減衰量 30 dB をもつ 5 次の楕円フィルターを設計します。その周波数応答を計算します。

[ze,pe,ke] = ellip(n,3,30,2*pi*f,'s');
[be,ae] = zp2tf(ze,pe,ke);
[he,we] = freqs(be,ae,4096);

減衰をデシベルでプロットします。周波数をギガヘルツで表します。フィルターを比較します。

plot(wb/(2e9*pi),mag2db(abs(hb)))
hold on
plot(w1/(2e9*pi),mag2db(abs(h1)))
plot(w2/(2e9*pi),mag2db(abs(h2)))
plot(we/(2e9*pi),mag2db(abs(he)))
axis([0 4 -40 5])
grid
xlabel('Frequency (GHz)')
ylabel('Attenuation (dB)')
legend('butter','cheby1','cheby2','ellip')

バタワース フィルターおよびチェビシェフ II 型フィルターには平坦な通過帯域と広い遷移帯域幅があります。チェビシェフ I 型フィルターおよび楕円フィルターは速くロールオフしますが、通過帯域リップルがあります。チェビシェフ II 型設計関数に対する周波数入力は、通過帯域の末尾ではなく 阻止帯域の始点を設定します。

入力引数

n — フィルター次数

整数値スカラー

フィルター次数。整数スカラーで指定します。

データ型: double

Rs — 阻止帯域の減衰量

正のスカラー

通過帯域のピーク値から低下する阻止帯域減衰量。デシベル単位の正のスカラーとして指定します。

仕様の中で、ℓ が線形単位で指定されている場合、Rs = –20 log₁₀ℓ を使用するとデシベルに変換できます。

データ型: double

Ws — 阻止帯域エッジ周波数

スカラー | 2 要素ベクトル

阻止帯域エッジ周波数。スカラーまたは 2 要素ベクトルとして指定します。阻止帯域エッジ周波数とは、フィルターの振幅応答が Rs デシベルとなる場合の周波数です。阻止帯域の減衰量 Rs を大きくすると、遷移幅が広くなります。

• Ws がスカラーの場合、cheby2 はエッジ周波数 Ws をもつローパス フィルターまたはハイパス フィルターを設計します。

  Ws が 2 要素ベクトル [w1 w2] (ここで、w1 < w2) の場合、cheby2 は低域エッジ周波数 w1 および高域エッジ周波数 w2 をもつバンドパスまたはバンドストップ フィルターを設計します。

• デジタル フィルターの場合、阻止帯域のエッジ周波数は 0 ～ 1 の間でなければなりません。ここで 1 はナイキスト レート—サンプルレートの 1/2 つまり π ラジアン/サンプルに相当します。

  アナログ フィルターの場合、阻止帯域のエッジ周波数は必ずラジアン/秒で表示する必要があり、任意の正の値をとることができます。

データ型: double

ftype — フィルター タイプ

'low' | 'bandpass' | 'high' | 'stop'

フィルターの種類。次のいずれかとして指定します。

• 'low' は、阻止帯域エッジ周波数 Ws をもつローパス フィルターを指定します。'low' はスカラー Ws の既定値です。

• 'high' は阻止帯域エッジ周波数 Ws のハイパス フィルターを指定します。

• Ws が 2 要素ベクトルの場合、'bandpass' は次数 2n のバンドパス フィルターを指定します。'bandpass' は、Ws が 2 要素をもつときの既定値です。

• Ws が 2 要素ベクトルの場合、'stop' は次数 2n のバンドストップ フィルターを指定します。

データ型: char

出力引数

b,a — 伝達関数の係数

行ベクトル

フィルターの伝達関数の係数。ローパス フィルターおよびハイパス フィルターの場合は長さ n + 1 の行ベクトルとして、バンドパス フィルターおよびバンドストップ フィルターの場合は長さ 2n + 1 の行ベクトルとして返されます。

• デジタル フィルターの場合、伝達関数は b および a で以下のように表されます。

  $$H(z)=\frac{B(z)}{A(z)}=\frac{\text{b(1)}+\text{b(2)}{z}^{-1}+\cdots +\text{b(n+1)}{z}^{-n}}{\text{a(1)}+\text{a(2)}{z}^{-1}+\cdots +\text{a(n+1)}{z}^{-n}}.$$

• アナログ フィルターの場合、伝達関数は b および a で以下のように表されます。

  $$H(s)=\frac{B(s)}{A(s)}=\frac{\text{b(1)}{s}^n+\text{b(2)}{s}^{n-1}+\cdots +\text{b(n+1)}}{\text{a(1)}{s}^n+\text{a(2)}{s}^{n-1}+\cdots +\text{a(n+1)}}.$$

データ型: double

z,p,k — ゼロ、極およびゲイン

列ベクトル、スカラー

フィルターのゼロ、極、ゲイン。長さ n (バンドパス設計とバンドストップ設計の場合は 2n) およびスカラーの 2 つの列ベクトルとして返されます。

• デジタル フィルターの場合、伝達関数は z、p および k で以下のように表されます。

  $$H(z)=\text{k}\frac{(1-\text{z(1)}{z}^{-1})(1-\text{z(2)}{z}^{-1})\cdots (1-\text{z(n)}{z}^{-1})}{(1-\text{p(1)}{z}^{-1})(1-\text{p(2)}{z}^{-1})\cdots (1-\text{p(n)}{z}^{-1})}.$$

• アナログ フィルターの場合、伝達関数は z、p および k で以下のように表されます。

  $$H(s)=\text{k}\frac{(s-\text{z(1)})(s-\text{z(2)})\cdots (s-\text{z(n)})}{(s-\text{p(1)})(s-\text{p(2)})\cdots (s-\text{p(n)})}.$$

データ型: double

A,B,C,D — 状態空間行列

行列

フィルターの状態空間表現。行列として返されます。ローパス設計とハイパス設計の場合、m = n で、バンドパス フィルターとバンドストップ フィルターの場合に m = 2n ならば、A は m × m で、B は m × 1、C は 1 × m、D は 1 × 1 となります。

• デジタル フィルターの場合、状態空間の行列は状態ベクトル x、入力 u および出力 y を以下の式により表します。

  $$\begin{array}{c}x(k+1)=\text{A}x(k)+\text{B}u(k)\\ y(k)=\text{C}x(k)+\text{D}u(k).\end{array}$$

• アナログ フィルターの場合、状態空間の行列は状態ベクトル x、入力 u、出力 y を以下の式により表します。

  $$\begin{array}{l}\dot{x}=\text{A}x+\text{B}u\\ y=\text{C}x+\text{D}u.\end{array}$$

データ型: double

詳細

制限

伝達関数構文の数値的不安定性

一般に、IIR フィルターを設計する場合は、[z,p,k] 構文を使用します。フィルターを解析または実装する場合は、[z,p,k] の出力を zp2sos で使用します。[b,a] 構文を使用するフィルターを設計する場合、数値の問題が発生することがあります。これらの問題は、丸め誤差によるものであり、n が 4 の低さの場合に発生することがあります。以下の例はこの限界を示しています。

n = 6; 
Rs = 80; 
Wn = [2.5e6 29e6]/500e6;
ftype = 'bandpass';

% Transfer function design
[b,a] = cheby2(n,Rs,Wn,ftype);      % This filter is unstable

% Zero-pole-gain design
[z,p,k] = cheby2(n,Rs,Wn,ftype);
sos = zp2sos(z,p,k);

% Plot and compare the results
hfvt = fvtool(b,a,sos,'FrequencyScale','log');
legend(hfvt,'TF Design','ZPK Design')

アルゴリズム

チェビシェフ II 型フィルターは、通過帯域では単調で、阻止帯域では等リップルになります。II 型フィルターは、I 型フィルターほど速くロールオフしませんが、通過帯域にリップルをもちません。

cheby2 は、以下の 5 つのステップのアルゴリズムを使用します。

1. 関数 cheb2ap を使用して、ローパス アナログ プロトタイプの極、零点およびゲインを求めます。

2. 極、零点、およびゲインを状態空間型に変換します。

3. 必要に応じて、状態空間変換を使ってローパス フィルターを、望ましい周波数制約をもつバンドパス、ハイパス、または、バンドストップのフィルターに変換します。

4. デジタル フィルター設計の場合、bilinear を使用して、プリワーピング周波数をもつ双一次変換によりアナログ フィルターをデジタル フィルターに変換します。周波数を慎重に調整することで、アナログ フィルターとデジタル フィルターが Ws、あるいは w1 と w2 で同じ周波数応答の振幅をもつようになります。

5. 必要に応じて、状態空間フィルターを伝達関数、または、零点-極-ゲイン型に逆変換します。

拡張機能

C/C++ コード生成

MATLAB® Coder™ を使用して C および C++ コードを生成します。

使用上の注意と制限:

すべての入力は定数でなければなりません。式や変数は、その値が変化しない限りは使用できます。

参考

besself | butter | cheb1ord | cheb2ap | cheby1 | designfilt | ellip | filter | sosfilt

R2006a より前に導入