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cheby2

チェビシェフ II 型フィルターの設計

構文

[b,a] = cheby2(n,Rs,Ws)

[b,a] = cheby2(n,Rs,Ws,ftype)

[z,p,k] = cheby2(___)

[A,B,C,D] = cheby2(___)

[___] = cheby2(___,'s')

説明

[b,a] = cheby2(n,Rs,Ws) は、正規化された阻止帯域エッジ周波数 Ws および Rs デシベルの通過帯域ピーク値からの阻止帯域の減衰量をもつ n 次のローパス デジタル チェビシェフ II 型フィルターの伝達関数係数を返します。

[b,a] = cheby2(n,Rs,Ws,ftype) は、ftype の値および Ws の要素数に応じて、ローパス、ハイパス、バンドパス、または、バンドストップのチェビシェフ II 型フィルターを設計します。得られるバンドパスおよびバンドストップの設計は次数が 2n です。

メモ: 伝達関数形式の作成に影響する数値的問題の詳細については、制限を参照してください。

[z,p,k] = cheby2(___) はローパス、ハイパス、バンドパス、または、バンドストップのデジタル チェビシェフ II 型フィルターを設計し、零点、極およびゲインを返します。この構文には、前の構文の任意の入力引数を含めることができます。

[A,B,C,D] = cheby2(___) はローパス、ハイパス、バンドパス、または、バンドストップのデジタル チェビシェフ II 型フィルターを設計し、その状態空間表現を指定する行列を返します。

[___] = cheby2(___,'s') は阻止帯域エッジ角周波数 Ws と阻止帯域の減衰量 Rs デシベルをもつローパス、ハイパス、バンドパスまたはバンドストップのアナログ チェビシェフ II 型フィルターを設計します。

例

ローパス チェビシェフ II 型の伝達関数

1000 Hz でサンプリングされたデータに対し、50 dB の阻止帯域の減衰量および 300 Hz の阻止帯域エッジ周波数 ($$0.6\pi$$ ラジアン/サンプルに相当) をもつ 6 次のローパス チェビシェフ II 型フィルターを設計します。その振幅応答と位相応答をプロットします。これを使用して、1,000 サンプルのランダム信号をフィルター処理します。

fc = 300;
fs = 1000;

[b,a] = cheby2(6,50,fc/(fs/2));

freqz(b,a,[],fs)

subplot(2,1,1)
ylim([-100 20])

dataIn = randn(1000,1);
dataOut = filter(b,a,dataIn);

バンドストップ チェビシェフ II 型フィルター

$$0.2\pi$$ および $$0.6\pi$$ ラジアン/サンプルの正規化されたエッジ周波数および 50 dB の阻止帯域の減衰量をもつ 6 次のチェビシェフ II 型バンドストップ フィルターを設計します。その振幅応答と位相応答をプロットします。これを使用してランダム データをフィルター処理します。

[b,a] = cheby2(3,50,[0.2 0.6],'stop');
freqz(b,a)

dataIn = randn(1000,1);
dataOut = filter(b,a,dataIn);

ハイパス チェビシェフ II 型フィルター

1000 Hz でサンプリングされたデータに対し、20 dB の阻止帯域の減衰量および 300 Hz の阻止帯域エッジ周波数 ($$0.6\pi$$ ラジアン/サンプルに相当) をもつ 9 次のハイパス チェビシェフ II 型フィルターを設計します。零点、極、およびゲインを 2 次セクションに変換します。その振幅応答と位相応答を表示します。

[z,p,k] = cheby2(9,20,300/500,"high");
sos = zp2sos(z,p,k);

freqz(sos)
subplot(2,1,1)
ylim([-60 10])

バンドパス チェビシェフ II 型フィルター

500 Hz の低域阻止帯域周波数および 560 Hz の高域阻止帯域周波数をもつ 20 次のチェビシェフ II 型バンドパス フィルターを設計します。40 dB の阻止帯域の減衰量および 1500 Hz のサンプル レートを指定します。状態空間表現を使用します。

fs = 1500;
[A,B,C,D] = cheby2(10,40,[500 560]/(fs/2));

状態空間表現を 2 次セクションに変換します。周波数応答を可視化します。

sos = ss2sos(A,B,C,D);
freqz(sos,[],fs)

designfilt を使用して同じフィルターを設計します。周波数応答を可視化します。

d = designfilt("bandpassiir",FilterOrder=20, ...
    StopbandFrequency1=500,StopbandFrequency2=560, ...
    StopbandAttenuation=40,SampleRate=fs);
freqz(d,[],fs)

アナログの IIR ローパス フィルターの比較

カットオフ周波数 2 GHz をもつ 5 次のアナログ バタワース ローパス フィルターを設計します。$$2\pi$$ 倍にして周波数を秒あたりのラジアン単位に変換します。4096 点でのフィルターの周波数応答を計算します。

n = 5;
fc = 2e9;

[zb,pb,kb] = butter(n,2*pi*fc,"s");
[bb,ab] = zp2tf(zb,pb,kb);
[hb,wb] = freqs(bb,ab,4096);

同じエッジ周波数と通過帯域リップル 3 dB をもつ 5 次のチェビシェフ I 型フィルターを設計します。その周波数応答を計算します。

[z1,p1,k1] = cheby1(n,3,2*pi*fc,"s");
[b1,a1] = zp2tf(z1,p1,k1);
[h1,w1] = freqs(b1,a1,4096);

同じエッジ周波数と阻止帯域の減衰量 30 dB をもつ 5 次のチェビシェフ II 型フィルターを設計します。その周波数応答を計算します。

[z2,p2,k2] = cheby2(n,30,2*pi*fc,"s");
[b2,a2] = zp2tf(z2,p2,k2);
[h2,w2] = freqs(b2,a2,4096);

同じエッジ周波数、通過帯域リップル 3 dB および阻止帯域の減衰量 30 dB をもつ 5 次の楕円フィルターを設計します。その周波数応答を計算します。

[ze,pe,ke] = ellip(n,3,30,2*pi*fc,"s");
[be,ae] = zp2tf(ze,pe,ke);
[he,we] = freqs(be,ae,4096);

同じエッジ周波数をもつ 5 次のベッセル フィルターを設計します。その周波数応答を計算します。

[zf,pf,kf] = besself(n,2*pi*fc);
[bf,af] = zp2tf(zf,pf,kf);
[hf,wf] = freqs(bf,af,4096);

減衰をデシベルでプロットします。周波数をギガヘルツで表します。フィルターを比較します。

plot([wb w1 w2 we wf]/(2e9*pi), ...
    mag2db(abs([hb h1 h2 he hf])))
axis([0 5 -45 5])
grid
xlabel("Frequency (GHz)")
ylabel("Attenuation (dB)")
legend(["butter" "cheby1" "cheby2" "ellip" "besself"])

バタワース フィルターおよびチェビシェフ II 型フィルターには平坦な通過帯域と広い遷移帯域幅があります。チェビシェフ I 型フィルターおよび楕円フィルターは速くロールオフしますが、通過帯域リップルがあります。チェビシェフ II 型設計関数に対する周波数入力は、通過帯域の末尾ではなく阻止帯域の始点を設定します。ベッセル フィルターは、通過帯域に沿って定数近似群遅延をもちます。

入力引数

n — フィルター次数

整数スカラー

フィルター次数。整数スカラーで指定します。バンドパスおよびバンドストップの設計では、n がフィルター次数の 1/2 を表します。

データ型: double

Rs — 阻止帯域の減衰量

正のスカラー

通過帯域のピーク値から低下する阻止帯域減衰量。デシベル単位の正のスカラーとして指定します。

仕様の中で、ℓ が線形単位で指定されている場合、Rs = –20 log₁₀ℓ を使用するとデシベルに変換できます。

データ型: double

Ws — 阻止帯域エッジ周波数

スカラー | 2 要素ベクトル

阻止帯域エッジ周波数。スカラーまたは 2 要素ベクトルとして指定します。阻止帯域エッジ周波数とは、フィルターの振幅応答が –Rs dB となる場合の周波数です。阻止帯域の減衰量 Rs を大きくすると、遷移幅が広くなります。

• Ws がスカラーの場合、cheby2 はエッジ周波数 Ws をもつローパス フィルターまたはハイパス フィルターを設計します。

  Ws が 2 要素ベクトル [w1 w2] (ここで、w1 < w2) の場合、cheby2 は低域エッジ周波数 w1 および高域エッジ周波数 w2 をもつバンドパスまたはバンドストップ フィルターを設計します。

• デジタル フィルターの場合、阻止帯域のエッジ周波数は 0 ～ 1 の間でなければなりません。ここで 1 はナイキスト レート — サンプル レートの 1/2 つまり π ラジアン/サンプルに相当します。

  アナログ フィルターの場合、阻止帯域のエッジ周波数は必ずラジアン/秒で表示する必要があり、任意の正の値をとることができます。

データ型: double

ftype — フィルター タイプ

'low' | 'bandpass' | 'high' | 'stop'

フィルターの種類。次のいずれかとして指定します。

• 'low' は、阻止帯域エッジ周波数 Ws をもつローパス フィルターを指定します。'low' はスカラー Ws の既定値です。

• 'high' は阻止帯域エッジ周波数 Ws のハイパス フィルターを指定します。

• Ws が 2 要素ベクトルの場合、'bandpass' は次数 2n のバンドパス フィルターを指定します。'bandpass' は、Ws が 2 要素をもつときの既定値です。

• Ws が 2 要素ベクトルの場合、'stop' は次数 2n のバンドストップ フィルターを指定します。

出力引数

b,a — 伝達関数の係数

行ベクトル

フィルターの伝達関数の係数。ローパス フィルターおよびハイパス フィルターの場合は長さ n + 1 の行ベクトルとして、バンドパス フィルターおよびバンドストップ フィルターの場合は長さ 2n + 1 の行ベクトルとして返されます。

• デジタル フィルターの場合、伝達関数は b および a で以下のように表されます。

  $$H(z)=\frac{b_1+b_2{z}^{-1}+\cdots +b_r{z}^{-(r-1)}}{a_1+a_2{z}^{-1}+\cdots +a_r{z}^{-(r-1)}}$$

• アナログ フィルターの場合、伝達関数は b および a で以下のように表されます。

  $$H(s)=\frac{b_1{s}^{r-1}+b_2{s}^{r-2}+\cdots +b_r}{a_1{s}^{r-1}+a_2{s}^{r-2}+\cdots +a_r}$$

データ型: double

z,p,k — ゼロ、極およびゲイン

列ベクトル、スカラー

フィルターのゼロ、極、ゲイン。長さ n (バンドパス設計とバンドストップ設計の場合は 2n) およびスカラーの 2 つの列ベクトルとして返されます。

• デジタル フィルターの場合、伝達関数は z、p および k で以下のように表されます。

  $$H(z)=k\frac{(1-z_1{z}^{-1})(1-z_2{z}^{-1})\cdots (1-z_r{z}^{-1})}{(1-p_1{z}^{-1})(1-p_2{z}^{-1})\cdots (1-p_r{z}^{-1})}$$

• アナログ フィルターの場合、伝達関数は z、p および k で以下のように表されます。

  $$H(s)=k\frac{(s-z_1)(s-z_2)\cdots (s-z_r)}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots (s-p_r)}$$

データ型: double

A,B,C,D — 状態空間行列

行列

フィルターの状態空間表現。行列として返されます。ローパス設計とハイパス設計の場合、m = n で、バンドパス フィルターとバンドストップ フィルターの場合に m = 2n ならば、A は m × m で、B は m × 1、C は 1 × m、D は 1 × 1 となります。

• デジタル フィルターの場合、状態空間の行列は状態ベクトル x、入力 u および出力 y を以下の式により表します。

  $$\begin{array}{c}x(k+1)=\text{A}x(k)+\text{B}u(k)\\ y(k)=\text{C}x(k)+\text{D}u(k).\end{array}$$

• アナログ フィルターの場合、状態空間の行列は状態ベクトル x、入力 u および出力 y を以下の式により表します。

  $$\begin{array}{l}\dot{x}=\text{A}x+\text{B}u\\ y=\text{C}x+\text{D}u.\end{array}$$

データ型: double

詳細

制限

伝達関数構文の数値的不安定性

一般に、IIR フィルターを設計する場合は、[z,p,k] 構文を使用します。フィルターを解析または実装する場合は、[z,p,k] の出力を zp2sos で使用します。[b,a] 構文を使用するフィルターを設計する場合、数値の問題が発生することがあります。これらの問題は、丸め誤差によるものであり、n が 4 の低さの場合に発生することがあります。以下の例はこの制限を示しています。

n = 6; 
Rs = 80; 
Wn = [2.5e6 29e6]/500e6;
ftype = 'bandpass';

% Transfer function design
[b,a] = cheby2(n,Rs,Wn,ftype);      % This filter is unstable

% Zero-pole-gain design
[z,p,k] = cheby2(n,Rs,Wn,ftype);
sos = zp2sos(z,p,k);

% Plot and compare the results
[h,f] = freqz(b,a,8192);
hsos = freqz(sos,8192);

semilogx(f/pi,mag2db(abs([h hsos])))
grid
legend('TF Design','ZPK Design')
xlabel('Normalized Frequency (\times\pi rad/sample)')
ylabel('Magnitude (dB)')

アルゴリズム

チェビシェフ II 型フィルターは、通過帯域では単調で、阻止帯域では等リップルになります。II 型フィルターは、I 型フィルターほど速くロールオフしませんが、通過帯域にリップルをもちません。

cheby2 は、以下の 5 つのステップのアルゴリズムを使用します。

1. 関数 cheb2ap を使用して、ローパス アナログ プロトタイプの極、零点およびゲインを求めます。

2. 極、零点、およびゲインを状態空間形式に変換します。

3. 必要に応じて、状態空間変換を使ってローパス フィルターを、望ましい周波数制約をもつバンドパス、ハイパス、または、バンドストップのフィルターに変換します。

4. デジタル フィルター設計の場合、bilinear を使用して、プリワーピング周波数をもつ双一次変換によりアナログ フィルターをデジタル フィルターに変換します。周波数を慎重に調整することで、アナログ フィルターとデジタル フィルターが Ws、あるいは w1 と w2 で同じ周波数応答の振幅をもつようになります。

5. 必要に応じて、状態空間フィルターを伝達関数、または、零点-極-ゲイン形式に逆変換します。

拡張機能

C/C++ コード生成

MATLAB® Coder™ を使用して C および C++ コードを生成します。

使用上の注意および制限:

すべての入力は定数でなければなりません。式や変数は、その値が変化しない限りは使用できます。

バージョン履歴

R2006a より前に導入

参考

アプリ

• フィルター アナライザー | フィルター デザイナー

関数

• besself | butter | cheb2ap | cheb1ord | cheby1 | designfilt | ellip | filter | sosfilt