zplane

離散時間システムの極-零点プロット

構文

zplane(z,p)

zplane(b,a)

zplane(B,A,"ctf")

[hz,hp,ht] = zplane(___)

zplane(d)

[vz,vp,vk] = zplane(d)

説明

zplane(z,p) は、現在の Figure ウィンドウに離散時間システムの零点と極をプロットします。列ベクトル z で零点を指定し、列ベクトル p で極を指定します。記号 'o' は零点を、記号 'x' は極をそれぞれ表します。このプロットには、参考のための単位円が重ねられています。

z と p が行列の場合、zplane では、零点と極が z と p の列で別の色でプロットされます。

zplane(b,a) は、まず、roots を使用して、分子係数 b と分母係数 a によって表される伝達関数の零点と極を求めます。次に、zplane は、現在の Figure ウィンドウに零点と極をプロットします。b と a を行ベクトルとして指定します。

zplane(B,A,"ctf") は、分子係数 B と分母係数 A をもつCascaded Transfer Functions (CTF) として表されるデジタル フィルターの零点と極を求めてプロットします。 (R2024b 以降)

[hz,hp,ht] = zplane(___) では、零点のラインのハンドル番号 hz と極のラインのハンドル番号 hp のベクトルが返されます。ht は、複数の零点または極があるときに表示される軸/単位円ラインやテキスト オブジェクトへのハンドル番号のベクトルです。

zplane(d) は、デジタル フィルター d により示される伝達関数の零点と極を求めます。d を周波数応答仕様に基づいて生成するには、関数 designfilt を使用します。

[vz,vp,vk] = zplane(d) は、デジタル フィルター d に対応する零点 vz、極 vp、およびゲイン vk を返します。

例

楕円ローパス フィルターの極と零点

1,000 Hz でサンプリングしたデータに対して、カットオフ周波数が 200 Hz、通過帯域リップルが 3 dB、阻止帯域の減衰量が 30 dB の 4 次楕円ローパス デジタル フィルターの極と零点をプロットします。

[z,p,k] = ellip(4,3,30,200/500);
zplane(z,p)
grid
title('4th-Order Elliptic Lowpass Digital Filter')

designfilt を使用して同じフィルターを作成します。zplane を使用して極と零点をプロットします。

d = designfilt('lowpassiir','FilterOrder',4,'PassbandFrequency',200, ...
               'PassbandRipple',3,'StopbandAttenuation',30, ...
               'DesignMethod','ellip','SampleRate',1000);
zplane(d)

伝達関数の零点と極

20 dB の阻止帯域の減衰量をもつ 8 次のチェビシェフ II 型バンドパス フィルターを設計します。阻止帯域のエッジ周波数を $$\pi /8$$ ラジアン/サンプルおよび $$5\pi /8$$ ラジアン/サンプルとして指定します。

[b,a] = cheby2(8/2,20,[1 5]/8);

zplane を使用して伝達関数の極と零点をプロットします。

zplane(b,a)

フィルターのゼロ位相応答を可視化します。単位円と極および零点の位置を重ね合わせます。

[hw,fw] = zerophase(b,a,1024,"whole");

z = roots(b);
p = roots(a);

plot3(cos(fw),sin(fw),hw)
hold on
plot3(cos(fw),sin(fw),zeros(size(fw)),'--')
plot3(real(z),imag(z),zeros(size(z)),'o')
plot3(real(p),imag(p),zeros(size(p)),'x')
hold off
xlabel("Real")
ylabel("Imaginary")
view(35,40)
grid

カスケード伝達関数の零点-極のプロット

R2024b 以降

阻止帯域エッジ周波数が 0.4、阻止帯域の減衰量が 50 dB の 40 次ローパス チェビシェフ II 型デジタル フィルターを設計します。CTF 形式のフィルター係数を使用して、フィルターの零点と極を z 平面にプロットします。

[B,A] = cheby2(40,50,0.4,"ctf");

zplane(B,A,"ctf")

入力引数

z, p — 零点と極

列ベクトル | 行列

零点と極。列ベクトルまたは行列として指定します。z と p が行列の場合、zplane では、零点と極が z と p の列で別の色でプロットされます。

データ型: single | double
複素数のサポート: あり

b, a — 伝達関数の係数

行ベクトル

伝達関数の係数。行ベクトルで指定します。伝達関数は、z^–1 に関して定義されます。

$$H(z)=\frac{B(z)}{A(z)}=\frac{b(1)+b(2)z^{-1}+\cdots +b(n+1)z^{-n}}{a(1)+a(2)z^{-1}+\cdots +a(m+1)z^{-m}}$$

例: b = [1 3 3 1]/6 と a = [3 0 1 0]/3 は、正規化された 3 dB の周波数 0.5π ラジアン/サンプルをもつ 3 次のバタワース フィルターを指定します。

データ型: single | double
複素数のサポート: あり

B,A — カスケード伝達関数 (CTF) 係数

スカラー | ベクトル | 行列

R2024b 以降

カスケード伝達関数 (CTF) 係数。スカラー、ベクトル、または行列として指定します。B と A は、それぞれカスケード伝達関数の分子係数と分母係数をリストします。

B のサイズは L 行 (m + 1) 列、A のサイズは L 行 (n + 1) でなければなりません。ここで、

• L はフィルター セクションの数を表します。

• m はフィルターの分子の次数を表します。

• n はフィルターの分母の次数を表します。

カスケード伝達関数の形式と係数行列の詳細については、CTF 形式によるデジタル フィルターの指定を参照してください。

メモ

A(:,1) のいずれかの要素が 1 と等しくない場合、zplane はフィルター係数を A(:,1) で正規化します。この場合、A(:,1) はゼロ以外でなければなりません。

データ型: double | single
複素数のサポート: あり

d — デジタル フィルター

digitalFilter オブジェクト

デジタル フィルター。digitalFilter オブジェクトで指定します。デジタル フィルターを周波数応答仕様に基づいて生成するには、関数 designfilt を使用します。

例: d = designfilt('lowpassiir','FilterOrder',3,'HalfPowerFrequency',0.5) は、正規化された 3 dB の周波数 0.5π ラジアン/サンプルをもつ 3 次のバタワース フィルターを指定します。

出力引数

hz, hp, ht — ハンドルのベクトル

ベクトル

極-零点プロットの、0 のライン hz と極のライン hp までのハンドル番号のベクトル。ht は、複数の零点または極があるときに表示される軸/単位円ラインやテキスト オブジェクトへのハンドル番号のベクトルです。零点と極がいずれも存在しない場合は、hz と hp が両方とも空行列 [] に設定されます。

vz, vp, vk — ゼロ、極およびゲイン

列ベクトルとスカラー

デジタル フィルター d の零点、極、およびゲイン。列ベクトルおよびスカラーとして返されます。

詳細

カスケード伝達関数

IIR デジタル フィルターをカスケード セクションに分割すると、数値安定性が向上し、係数の量子化誤差の影響を受けにくくなります。L 個の伝達関数 H₁(z)、H₂(z)、…、H_L(z) による伝達関数 H(z) のカスケード形式は次のとおりです。

$$H(z)={\displaystyle \prod _{l=1}^L{H}_l(z)}=H_1(z)\times H_2(z)\times \cdots \times H_L(z).$$

CTF 形式によるデジタル フィルターの指定

解析、可視化、信号フィルター処理で使用するため、CTF 形式でデジタル フィルターを指定できます。係数 B と A をリストしてフィルターを指定します。スカラーまたはベクトルの g を指定することで、セクション全体にフィルターのスケーリング ゲインを含めることもできます。

フィルター係数

係数を L 行の行列

$$B=\left[\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1,m+1}\\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2,m+1}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{L1}& b_{L2}& \cdots & b_{L,m+1}\end{array}\right],A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1,n+1}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2,n+1}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{L1}& a_{L2}& \cdots & a_{L,n+1}\end{array}\right],$$

として指定した場合、L 個のカスケード伝達関数のシーケンスとしてフィルターを指定したものとみなされます。このとき、フィルターの完全な伝達関数は次のようになります。

$$H\left(z\right)=\frac{b_{11}+b_{12}{z}^{-1}+\cdots +b_{1,m+1}{z}^{-m}}{a_{11}+a_{12}{z}^{-1}+\cdots +a_{1,n+1}{z}^{-n}}\times \frac{b_{21}+b_{22}{z}^{-1}+\cdots +b_{2,m+1}{z}^{-m}}{a_{21}+a_{22}{z}^{-1}+\cdots +a_{2,n+1}{z}^{-n}}\times \cdots \times \frac{b_{L1}+b_{L2}{z}^{-1}+\cdots +b_{L,m+1}{z}^{-m}}{a_{L1}+a_{L2}{z}^{-1}+\cdots +a_{L,n+1}{z}^{-n}},$$

ここで、m ≥ 0 はフィルターの "分子次数"、n ≥ 0 は "分母次数" です。

• B と A の両方をベクトルとして指定した場合、基になるシステムは 1 つのセクションから成る IIR フィルター (L = 1) であるとみなされます。このとき、B は伝達関数の分子を表し、A はその分母を表します。

• B がスカラーの場合、フィルターは全極 IIR フィルターのカスケードであるとみなされます。このとき、各セクションの全体的なシステム ゲインは B に等しくなります。

• A がスカラーの場合、フィルターは FIR フィルターのカスケードであるとみなされます。このとき、各セクションの全体的なシステム ゲインは 1/A に等しくなります。

メモ

• 2 次セクションの行列をカスケード伝達関数に変換するには、sos2ctf 関数を使用します。

• 零点-極-ゲイン フィルター表現をカスケード伝達関数に変換するには、zp2ctf 関数を使用します。

係数とゲイン

全体的なスケーリング ゲイン、または係数値から共通因数としてくくりだされた複数のスケーリング ゲインがある場合、係数とゲインを {B,A,g} 形式の cell 配列として指定できます。フィルター セクションのスケーリングは、固定小数点演算を使用して各フィルター セクションの出力の振幅レベルを確実に同等にする場合に特に重要であり、数値精度の制限によるフィルター応答の不正確さを回避するのに役立ちます。

ゲインは、全体的なゲインを表すスカラー、またはセクションのゲインを表すベクトルとして指定できます。

• ゲインがスカラーの場合、その値はすべてのカスケード フィルター セクションに均一に適用されます。

• ゲインがベクトルの場合、カスケード内のフィルター セクションの数 L よりも 1 つ多い要素をもたなければなりません。最初の L 個のスケール値はそれぞれ対応するフィルター セクションに適用され、最後の値はすべてのカスケード フィルター セクションに均一に適用されます。

係数行列とゲイン ベクトルを

$$B=\left[\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1,m+1}\\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2,m+1}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{L1}& b_{L2}& \cdots & b_{L,m+1}\end{array}\right],A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1,n+1}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2,n+1}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{L1}& a_{L2}& \cdots & a_{L,n+1}\end{array}\right],g=\left[\begin{array}{ccccc}{g}_1& g_2& \cdots & g_L& g_{\text{S}}\end{array}\right],$$

として指定した場合、フィルター システムの伝達関数は次であるとみなされます。

$$H\left(z\right)=g_{\text{S}}\left(g_1\frac{b_{11}+b_{12}{z}^{-1}+\cdots +b_{1,m+1}{z}^{-m}}{a_{11}+a_{12}{z}^{-1}+\cdots +a_{1,n+1}{z}^{-n}}\times g_2\frac{b_{21}+b_{22}{z}^{-1}+\cdots +b_{2,m+1}{z}^{-m}}{a_{21}+a_{22}{z}^{-1}+\cdots +a_{2,n+1}{z}^{-n}}\times \cdots \times g_L\frac{b_{L1}+b_{L2}{z}^{-1}+\cdots +b_{L,m+1}{z}^{-m}}{a_{L1}+a_{L2}{z}^{-1}+\cdots +a_{L,n+1}{z}^{-n}}\right).$$

ヒント

• zplane の自動スケーリングをオーバーライドするには、

  axis([xmin xmax ymin ymax])

  zplane を呼び出した後に、以下のステートメントのいずれかを使用します。このスケーリングは、零点や極に、他のものと比べて極端に大きさが異なるものが 1 つ以上存在する場合に、他と区別するのに有効な方法です。

参照

[1] Lyons, Richard G. Understanding Digital Signal Processing. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2004.

バージョン履歴

R2006a より前に導入

R2025a: [プロットの作成] ライブ エディター タスクを使用したカスケード伝達関数の可視化

[プロットの作成] ライブ エディター タスクでカスケード伝達関数 (CTF) を使用して、zplane の出力を対話的に可視化できます。

R2024b: カスケード伝達関数を使用したフィルターの解析

zplane 関数は、カスケード伝達関数 (CTF) 形式の入力をサポートします。

R2023a: [プロットの作成] ライブ エディター タスクを使用した関数出力の可視化

[プロットの作成] ライブ エディター タスクを使用して、zplane の出力を対話的に可視化することができるようになりました。さまざまなグラフ タイプを選択し、オプションのパラメーターを設定できます。タスクは、ライブ スクリプトの一部となるコードも自動的に生成します。

参考

アプリ

• フィルター アナライザー | フィルター デザイナー

関数

• ctffilt | designfilt | digitalFilter | freqz

トピック

• スピーカーの交差フィルター