cheby1

チェビシェフ I 型フィルターの設計

構文

[b,a] = cheby1(n,Rp,Wp)

[b,a] = cheby1(n,Rp,Wp,fType)

[z,p,k] = cheby1(___)

[A,B,C,D] = cheby1(___)

[___] = cheby1(___,"s")

[B,A] = cheby1(n,Rp,Wp,"ctf")

[___] = cheby1(n,Rp,Wp,fType,"ctf")

[___,gS] = cheby1(___)

説明

[b,a] = cheby1(n,Rp,Wp) は、正規化された通過帯域エッジ周波数が Wp で、ピークツーピークの通過帯域リップルが Rp デシベルである n 次のローパス デジタル チェビシェフ I 型フィルターを設計します。cheby1 関数は、フィルター伝達関数の分子係数と分母係数を返します。

[b,a] = cheby1(n,Rp,Wp,fType) は、fType の値および Wp の要素数に応じて、ローパス、ハイパス、バンドパス、またはバンドストップのデジタル チェビシェフ I 型フィルターを設計します。得られるバンドパスおよびバンドストップの設計は次数が 2n です。

メモ

伝達関数の次数を 4 次まで減らして IIR フィルターを設計すると、数値的に不安定となる可能性があります。伝達関数の形式に影響する数値的問題の詳細については、伝達関数と CTFを参照してください。

[z,p,k] = cheby1(___) は、デジタル チェビシェフ I 型フィルターを設計し、零点、極、およびゲインを返します。この構文には、前の構文の任意の入力引数を含めることができます。

[A,B,C,D] = cheby1(___) は、デジタル チェビシェフ I 型フィルターを設計し、その状態空間表現を指定する行列を返します。

[___] = cheby1(___,"s") は、前の構文のいずれかの入力引数または出力引数を使用して、アナログ チェビシェフ I 型フィルターを設計します。

[B,A] = cheby1(n,Rp,Wp,"ctf") は、2 次のカスケード伝達関数 (CTF) を使用して、ローパス デジタル チェビシェフ I 型フィルターを設計します。この関数は、フィルター セクションのカスケードとして表されるフィルター伝達関数の分母と分子の多項式係数をリストする行列を返します。この方法により、単一セクションの伝達関数と比べて数値安定性が向上した IIR フィルターが生成されます。 (R2024b 以降)

[___] = cheby1(n,Rp,Wp,fType,"ctf") は、ローパス、ハイパス、バンドパス、またはバンドストップのデジタル チェビシェフ I 型フィルターを設計し、CTF 形式を使用してフィルター表現を返します。得られる設計セクションは、2 次 (ローパス フィルターとハイパス フィルター) または 4 次 (バンドパス フィルターとバンドストップ フィルター) になります。 (R2024b 以降)

[___,gS] = cheby1(___) は、システムの全体的なゲインも返します。gS を返すには、"ctf" を指定しなければなりません。 (R2024b 以降)

例

ローパス チェビシェフ I 型の伝達関数

1000 Hz でサンプリングされたデータに対し、10 dB の通過帯域リップルおよび 300 Hz の通過帯域エッジ周波数 ($$0.6\pi$$ ラジアン/サンプルに相当) をもつ 6 次のローパス チェビシェフ I 型フィルターを設計します。その振幅応答と位相応答をプロットします。これを使用して、1,000 サンプルのランダム信号をフィルター処理します。

fc = 300;
fs = 1000;

[b,a] = cheby1(6,10,fc/(fs/2));

freqz(b,a,[],fs)

subplot(2,1,1)
ylim([-100 20])

dataIn = randn(1000,1);
dataOut = filter(b,a,dataIn);

バンドストップ チェビシェフ I 型フィルター

$$0.2\pi$$ および $$0.6\pi$$ ラジアン/サンプルの正規化されたエッジ周波数および 5 dB の通過帯域リップルをもつ 6 次のチェビシェフ I 型バンドストップ フィルターを設計します。その振幅応答と位相応答をプロットします。これを使用してランダム データをフィルター処理します。

[b,a] = cheby1(3,5,[0.2 0.6],'stop');
freqz(b,a)

dataIn = randn(1000,1);
dataOut = filter(b,a,dataIn);

ハイパス チェビシェフ I 型フィルター

1000 Hz でサンプリングされたデータに対し、通過帯域リップル 0.5 dB および通過帯域エッジ周波数 300 Hz ($$0.6\pi$$ ラジアン/サンプルに相当) をもつ 9 次のハイパス チェビシェフ I 型フィルターを設計します。零点、極、およびゲインを 2 次セクションに変換します。フィルターの振幅応答および位相応答をプロットします。

[z,p,k] = cheby1(9,0.5,300/500,'high');
sos = zp2sos(z,p,k);
freqz(sos)

バンドパス チェビシェフ I 型フィルター

低域通過帯域周波数が 400 Hz、高域通過帯域周波数が 560 Hz の 20 次チェビシェフ I 型バンドパス フィルターを設計します。通過帯域リップル 3 dB、サンプル レート 1500 Hz を指定します。状態空間表現を使用します。

fs = 1500;

[A,B,C,D] = cheby1(10,3,[400 560]/(fs/2));

状態空間表現を 2 次セクションに変換し、フィルター応答を可視化します。

sos = ss2sos(A,B,C,D);
freqz(sos,[],fs)

designfilt を使用して同じフィルターを設計します。フィルター応答を可視化します。

d = designfilt("bandpassiir",FilterOrder=20, ...
    PassbandFrequency1=400,PassbandFrequency2=560, ...
    PassbandRipple=3,SampleRate=fs);
freqz(d,[],fs)

アナログの IIR ローパス フィルターの比較

カットオフ周波数が 2 GHz である 5 次のアナログ バタワース ローパス フィルターを設計します。$$2\pi$$ 倍にして周波数を秒あたりのラジアン単位に変換します。4096 点でのフィルターの周波数応答を計算します。

n = 5;
wc = 2*pi*2e9;
w = 2*pi*1e9*logspace(-2,1,4096)';

[zb,pb,kb] = butter(n,wc,"s");
[bb,ab] = zp2tf(zb,pb,kb);
[hb,wb] = freqs(bb,ab,w);
gdb = -diff(unwrap(angle(hb)))./diff(wb);

エッジ周波数が同じで、通過帯域リップルが 3 dB である 5 次のチェビシェフ I 型フィルターを設計します。その周波数応答を計算します。

[z1,p1,k1] = cheby1(n,3,wc,"s");
[b1,a1] = zp2tf(z1,p1,k1);
[h1,w1] = freqs(b1,a1,w);
gd1 = -diff(unwrap(angle(h1)))./diff(w1);

エッジ周波数が同じで、阻止帯域の減衰量が 30 dB である 5 次のチェビシェフ II 型フィルターを設計します。その周波数応答を計算します。

[z2,p2,k2] = cheby2(n,30,wc,"s");
[b2,a2] = zp2tf(z2,p2,k2);
[h2,w2] = freqs(b2,a2,w);
gd2 = -diff(unwrap(angle(h2)))./diff(w2);

エッジ周波数が同じで、通過帯域リップルが 3 dB、阻止帯域の減衰量が 30 dB である 5 次の楕円フィルターを設計します。その周波数応答を計算します。

[ze,pe,ke] = ellip(n,3,30,wc,"s");
[be,ae] = zp2tf(ze,pe,ke);
[he,we] = freqs(be,ae,w);
gde = -diff(unwrap(angle(he)))./diff(we);

エッジ周波数が同じである 5 次のベッセル フィルターを設計します。その周波数応答を計算します。

[zf,pf,kf] = besself(n,wc);
[bf,af] = zp2tf(zf,pf,kf);
[hf,wf] = freqs(bf,af,w);
gdf = -diff(unwrap(angle(hf)))./diff(wf);

減衰をデシベルでプロットします。周波数をギガヘルツで表します。フィルターを比較します。

fGHz = [wb w1 w2 we wf]/(2e9*pi);
plot(fGHz,mag2db(abs([hb h1 h2 he hf])))
axis([0 5 -45 5])
grid on
xlabel("Frequency (GHz)")
ylabel("Attenuation (dB)")
legend(["butter" "cheby1" "cheby2" "ellip" "besself"])

サンプル単位で群遅延をプロットします。周波数をギガヘルツで、群遅延をナノ秒で表します。フィルターを比較します。

gdns = [gdb gd1 gd2 gde gdf]*1e9;
gdns(gdns<0) = NaN;
loglog(fGHz(2:end,:),gdns)
grid on
xlabel("Frequency (GHz)")
ylabel("Group delay (ns)")
legend(["butter" "cheby1" "cheby2" "ellip" "besself"])

バタワース フィルターおよびチェビシェフ II 型フィルターには平坦な通過帯域と広い遷移帯域幅があります。チェビシェフ I 型フィルターおよび楕円フィルターは速くロールオフしますが、通過帯域リップルがあります。チェビシェフ II 型設計関数に対する周波数入力は、通過帯域の末尾ではなく阻止帯域の始点を設定します。ベッセル フィルターは、通過帯域に沿って定数近似群遅延をもちます。

カスケード型ハイパス チェビシェフ I 型フィルター

カットオフ周波数が 300 Hz、サンプル レートが 1000 Hz である 9 次のハイパス チェビシェフ I 型フィルターを設計します。通過帯域リップルは 5 dB です。フィルター システムの係数を、2 次セクションのカスケードとして返します。

Wn = 300/(1000/2);
[B,A] = cheby1(9,5,Wn,"high","ctf")

B = 5×3

    0.1336   -0.1336         0
    0.1336   -0.2671    0.1336
    0.1336   -0.2671    0.1336
    0.1336   -0.2671    0.1336
    0.1336   -0.2671    0.1336

A = 5×3

    1.0000    0.9022         0
    1.0000    1.6117    0.8336
    1.0000    1.1993    0.8788
    1.0000    0.8296    0.9291
    1.0000    0.6335    0.9767

フィルターの振幅応答をプロットします。

filterAnalyzer(B,A)

入力引数

n — フィルター次数

500 以下の整数スカラー

フィルター次数。500 以下の整数スカラーとして指定します。バンドパスおよびバンドストップの設計では、n がフィルター次数の 1/2 を表します。

データ型: double

Rp — ピークツーピークの通過帯域リップル (dB 単位)

正のスカラー

ピークツーピークの通過帯域リップル。正のスカラーをデシベル単位で指定します。

仕様の中で、ℓ が線形単位で指定されている場合、Rp = 40 log₁₀((1+ℓ)/(1–ℓ)) を使用するとデシベルに変換できます。

データ型: double

Wp — 通過帯域エッジ周波数

スカラー | 2 要素ベクトル

通過帯域エッジ周波数。スカラーまたは 2 要素ベクトルとして指定します。通過帯域エッジ周波数は、フィルターの振幅応答が –Rp デシベルとなる場合の周波数です。通過帯域リップルの値 Rp を小さくすると、遷移幅が広くなります。

• Wp がスカラーの場合、cheby1 はエッジ周波数 Wp をもつローパス フィルターまたはハイパス フィルターを設計します。

  Wp が 2 要素ベクトル [w1 w2] (ここで、w1 < w2) の場合、cheby1 は低域エッジ周波数 w1 および高域エッジ周波数 w2 をもつバンドパスまたはバンドストップ フィルターを設計します。

• デジタル フィルターの場合、通過帯域のエッジ周波数は 0 ～ 1 の間でなければなりません。ここで 1 はナイキスト レート — サンプル レートの 1/2 つまり π ラジアン/サンプルに相当します。

  アナログ フィルターの場合、通過帯域のエッジ周波数は必ずラジアン/秒で表示され、任意の正の値をとることができます。

データ型: double

fType — フィルター タイプ

"low" | "bandpass" | "high" | "stop"

フィルターの種類。次のいずれかとして指定します。

• "low" は通過帯域エッジ周波数 Wp をもつローパス フィルターを指定します。"low" はスカラーの Wp の既定値です。

• "high" は通過帯域エッジ周波数 Wp をもつハイパス フィルターを指定します。

• Wp が 2 要素ベクトルの場合、"bandpass" は次数 2n のバンドパス フィルターを指定します。"bandpass" は、Wp が 2 要素をもつときの既定値です。

• Wp が 2 要素ベクトルの場合、"stop" は次数 2n のバンドストップ フィルターを指定します。

出力引数

b,a — 伝達関数の係数

行ベクトル

フィルターの伝達関数の係数。行ベクトルとして返されます。フィルターの次数が n の場合、この関数は、r 個のサンプルの b と a を返します。ここで、ローパス フィルターとハイパス フィルターの場合は r = n+1、バンドパス フィルターとバンドストップ フィルターの場合は r = 2*n+1 です。

伝達関数は、b = [b₁ b₂ ⋯ b_r] と a = [a₁ a₂ ⋯ a_r] を使用し、次のいずれかとして表されます。

• デジタル フィルターの場合: $$H(z)=\frac{b_1+b_2{z}^{-1}+\cdots +b_r{z}^{-(r-1)}}{a_1+a_2{z}^{-1}+\cdots +a_r{z}^{-(r-1)}}$$。

• アナログ フィルターの場合: $$H(s)=\frac{b_1{s}^{r-1}+b_2{s}^{r-2}+\cdots +b_r}{a_1{s}^{r-1}+a_2{s}^{r-2}+\cdots +a_r}$$。

データ型: double

z,p,k — ゼロ、極およびゲイン

列ベクトル、スカラー

フィルターの零点、極、およびゲイン。2 つの列ベクトルと 1 つのスカラーとして返されます。フィルターの次数が n の場合、この関数は、r 個のサンプルの z と p を返します。ここで、ローパス フィルターとハイパス フィルターの場合は r = n、バンドパス フィルターとバンドストップ フィルターの場合は r = 2*n です。

伝達関数は、z = [z₁ z₂ ⋯ z_r]、p = [p₁ p₂ ⋯ p_r]、および k を使用し、次のいずれかとして表されます。

• デジタル フィルターの場合: $$H(z)=k\frac{(1-z_1{z}^{-1})(1-z_2{z}^{-1})\cdots (1-z_r{z}^{-1})}{(1-p_1{z}^{-1})(1-p_2{z}^{-1})\cdots (1-p_r{z}^{-1})}$$。

• アナログ フィルターの場合: $$H(s)=k\frac{(s-z_1)(s-z_2)\cdots (s-z_r)}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots (s-p_r)}$$。

データ型: double

A,B,C,D — 状態空間表現

行列

フィルターの状態空間表現。行列として返されます。ローパス設計とハイパス設計の場合、r = n で、バンドパス フィルターとバンドストップ フィルターの場合に r = 2n ならば、A は r 行 r 列で、B は r 行 1 列、C は 1 行 r 列、D は 1 行 1 列となります。

状態空間行列は、状態ベクトル x、入力 u、出力 y の関係を以下のいずれかの連立方程式で表します。

• デジタル フィルターの場合:

  $$\begin{array}{c}x(k+1)=\text{A}x(k)+\text{B}u(k)\\ y(k)=\text{C}x(k)+\text{D}u(k).\end{array}$$

• アナログ フィルターの場合:

  $$\begin{array}{l}\dot{x}=\text{A}x+\text{B}u\\ y=\text{C}x+\text{D}u.\end{array}$$

データ型: double

B,A — カスケード伝達関数 (CTF) 係数

行ベクトル | 行列

R2024b 以降

カスケード伝達関数 (CTF) 係数。行ベクトルまたは行列として返されます。B と A は、それぞれカスケード伝達関数の分子係数と分母係数をリストします。

B と A のサイズは、それぞれ L 行 (m+1) 列と L 行 (n+1) 列です。この関数は、A の最初の列を 1 として返すため、A が行ベクトルの場合、A(1)=1 となります。

• L はフィルター セクションの数を表します。

• m はフィルターの分子の次数を表します。

• n はフィルターの分母の次数を表します。

cheby1 関数は、次のように次数を指定して CTF 係数を返します。

• ローパス フィルターとハイパス フィルターの場合: m = n = 2。

• バンドパス フィルターとバンドストップ フィルターの場合: m = n = 4。

メモ

CTF 係数の次数の変更やゲインのスケーリングのカスタマイズといった、CTF 係数の計算のカスタマイズを行うには、z,p,k を返すように指定し、zp2ctf を使用して B,A を取得します。

カスケード伝達関数の形式と係数行列の詳細については、CTF 形式でのデジタル フィルターの取得を参照してください。

gS — 全体のシステム ゲイン

実数値のスカラー

R2024b 以降

全体のシステム ゲイン。実数値スカラーとして返されます。

• gS を返すように指定した場合、cheby1 関数は、B の最初の列が 1 となるように分子係数を正規化し、システム全体のゲインを gS で返します。

• gS を返すように指定しない場合、cheby1 関数は、scaleFilterSections 関数を使用してシステム内のすべてのセクションにシステム ゲインを均一に分散します。

詳細

カスケード伝達関数

IIR デジタル フィルターをカスケード セクションに分割すると、数値安定性が向上し、係数の量子化誤差の影響を受けにくくなります。L 個の伝達関数 H₁(z)、H₂(z)、…、H_L(z) による伝達関数 H(z) のカスケード形式は次のとおりです。

$$H(z)={\displaystyle \prod _{l=1}^L{H}_l(z)}=H_1(z)\times H_2(z)\times \cdots \times H_L(z).$$

CTF 形式でのデジタル フィルターの取得

フィルター係数を返すには、B と A を指定します。gS を指定して、フィルターの全体的なシステム ゲインを返すこともできます。これらの出力引数を指定することで、解析、可視化、信号フィルター処理で使用するための CTF 形式のデジタル フィルターを設計できます。

フィルター係数

分子係数と分母係数を CTF 形式で返すように指定した場合、L 行の行列 B と A は次のように返されます。

$$B=\left[\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1,m+1}\\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2,m+1}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{L1}& b_{L2}& \cdots & b_{L,m+1}\end{array}\right],A=\left[\begin{array}{cccc}1& a_{12}& \cdots & a_{1,n+1}\\ 1& a_{22}& \cdots & a_{2,n+1}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& a_{L2}& \cdots & a_{L,n+1}\end{array}\right],$$

フィルターの完全な伝達関数は次のようになります。

$$H\left(z\right)=\frac{b_{11}+b_{12}{z}^{-1}+\cdots +b_{1,m+1}{z}^{-m}}{1+a_{12}{z}^{-1}+\cdots +a_{1,n+1}{z}^{-n}}\times \frac{b_{21}+b_{22}{z}^{-1}+\cdots +b_{2,m+1}{z}^{-m}}{1+a_{22}{z}^{-1}+\cdots +a_{2,n+1}{z}^{-n}}\times \cdots \times \frac{b_{L1}+b_{L2}{z}^{-1}+\cdots +b_{L,m+1}{z}^{-m}}{1+a_{L2}{z}^{-1}+\cdots +a_{L,n+1}{z}^{-n}},$$

ここで、m ≥ 0 はフィルターの "分子次数"、n ≥ 0 は "分母次数" です。

メモ

• カスケード伝達関数を使用して信号をフィルター処理するには、ctffilt 関数を使用します。

• カスケード伝達関数として表されるフィルターを解析するには、フィルター アナライザー アプリを使用します。次の Signal Processing Toolbox™ 関数を使用して、フィルターを CTF 形式で可視化および解析することもできます。

  • 時間領域応答 — impzlength、impz、および stepz

  • 周波数領域応答 — freqz、grpdelay、phasedelay、phasez、zerophase、および zplane

  • フィルターの調査 — filtord、islinphase、ismaxphase、isminphase、および isstable

係数とゲイン

出力引数の 3 成分 [B,A,gS] を使用して、係数とシステム全体のゲインを返すように指定できます。この場合、分子係数は正規化され、フィルター係数行列とゲインが

$$B=\left[\begin{array}{cccc}1& {\beta }_{12}& \cdots & {\beta }_{1,m+1}\\ 1& {\beta }_{22}& \cdots & {\beta }_{2,m+1}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& {\beta }_{L2}& \cdots & {\beta }_{L,m+1}\end{array}\right],A=\left[\begin{array}{cccc}1& a_{12}& \cdots & a_{1,n+1}\\ 1& a_{22}& \cdots & a_{2,n+1}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& a_{L2}& \cdots & a_{L,n+1}\end{array}\right],g_{\text{S}},$$

として返されるため、伝達関数は次のようになります。

$$H\left(z\right)=g_{\text{S}}\left(\frac{1+{\beta }_{12}{z}^{-1}+\cdots +{\beta }_{1,m+1}{z}^{-m}}{1+a_{12}{z}^{-1}+\cdots +a_{1,n+1}{z}^{-n}}\times \frac{1+{\beta }_{22}{z}^{-1}+\cdots +{\beta }_{2,m+1}{z}^{-m}}{1+a_{22}{z}^{-1}+\cdots +a_{2,n+1}{z}^{-n}}\times \cdots \times \frac{1+{\beta }_{L2}{z}^{-1}+\cdots +{\beta }_{L,m+1}{z}^{-m}}{1+a_{L2}{z}^{-1}+\cdots +a_{L,n+1}{z}^{-n}}\right).$$

この伝達関数は、フィルター係数のセクションで定義されているものと同等です。ここで、g_S = b₁₁×b₂₁×...×b_L1 で、β_li = b_li/b_l1 (i = 1,2,…,m および l = 1,2,…,L) です。

伝達関数と CTF

伝達関数構文の数値的不安定性

一般に、IIR デジタル フィルターを設計するには、カスケード伝達関数 ("ctf" 構文) を使用します。伝達関数 ([b,a] 構文のいずれか) を使用してフィルターを設計すると、数値的に不安定となる可能性があります。この不安定性は丸め誤差によるもので、次数 n を 4 まで減らすと発生する可能性があります。次の例はこの制限を示しています。

n = 6;
Rp = 0.6;
Fs = 200e6;
Wn = [0.5e6 6e6]/(Fs/2);
ftype = "bandpass";

% Transfer Function (TF) design
[b,a] = cheby1(n,Rp,Wn,ftype); % This is an unstable filter

% CTF design
[B,A] = cheby1(n,Rp,Wn,ftype,"ctf");

% Compare frequency responses
[hTF,f] = freqz(b,a,8192,Fs);
hCTF = freqz(B,A,8192,Fs);

semilogx(f/1e6,db(hTF),".-",f/1e6,db(hCTF))
grid on
legend(["TF Design" "CTF Design"])
xlabel("Frequency (MHz)")
ylabel("Magnitude (dB)")

アルゴリズム

チェビシェフ I 型フィルターは、通過帯域では等リップルで、阻止帯域では単調です。I 型フィルターは、II 型フィルターより速くロールオフしますが、通過帯域において、1 からの逸脱が大きくなるという欠点があります。

cheby1 は、以下の 5 つのステップのアルゴリズムを使用します。

1. 関数 cheb1ap を使用して、ローパス アナログ プロトタイプの極、零点およびゲインを求めます。

2. 極、零点、およびゲインを状態空間形式に変換します。

3. 必要に応じて、状態空間変換を使ってローパス フィルターを、望ましい周波数制約をもつハイパス、バンドパス、または、バンドストップのフィルターに変換します。

4. デジタル フィルター設計の場合、bilinear を使用して、プリワーピング周波数をもつ双一次変換によりアナログ フィルターをデジタル フィルターに変換します。周波数を慎重に調整することで、アナログ フィルターとデジタル フィルターが Wp、あるいは w1 と w2 で同じ周波数応答の振幅をもつことができるようになります。

5. 必要に応じて、状態空間フィルターを伝達関数、または、零点-極-ゲイン形式に逆変換します。

参照

[1] Lyons, Richard G. Understanding Digital Signal Processing. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2004.

拡張機能

C/C++ コード生成

MATLAB® Coder™ を使用して C および C++ コードを生成します。

使用上の注意および制限:

すべての入力は定数でなければなりません。式や変数は、その値が変化しない限りは使用できます。

バージョン履歴

R2006a より前に導入

R2024b: カスケード伝達関数を使用したデジタル フィルターの設計

cheby1 関数は、カスケード伝達関数 (CTF) 形式の出力をサポートします。

参考

アプリ

• フィルター アナライザー | フィルター デザイナー

関数

• besself | butter | cheb1ap | cheb1ord | cheby2 | ctffilt | designfilt | ellip | filter | freqz | sosfilt | zp2ctf