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zp2sos

零点-極-ゲイン フィルター パラメーターの 2 次セクション型への変換

構文

[sos,g] = zp2sos(z,p,k)
[sos,g] = zp2sos(z,p,k,'order')
[sos,g] = zp2sos(z,p,k,'order','scale')
[sos,g] = zp2sos(z,p,k,'order','scale',zeroflag)
sos = zp2sos(...)

説明

zp2sos では、与えられたデジタル フィルターの離散時間の零点-極-ゲイン表現が、等価な 2 次セクション型構造に変換されます。

[sos,g] = zp2sos(z,p,k) は、入力引数 zp および k で表現される離散時間零点-極-ゲイン フィルターと等価なゲイン g をもつ、2 次セクション型の行列 sos を作成します。ベクトル zp には、フィルター伝達関数 H(z) の零点と極が含まれますが、どのような順序でもかまいません。

H(z)=k(zz1)(zz2)(zzn)(zp1)(zp2)(zpm)

ここで n と m は、それぞれ zp の長さで、k は、スカラー ゲインです。零点と極は、実数かまたは共役複素の組でなければなりません。sos は、以下のような L 行 6 列の行列となります。

sos=[b01b11b211a11a21b02b12b221a12a22b0Lb1Lb2L1a1La2L]

この行列の行には、2 次セクション型 H(z) の分子と分母の係数 bik および aik が含まれます。

H(z)=gk=1LHk(z)=gk=1Lb0k+b1kz1+b2kz21+a1kz1+a2kz2

行列 sos の行数 L は、n/2 と m/2 の最大値以上の整数です。

[sos,g] = zp2sos(z,p,k,'order') では、sos の行の順序が指定されます。ここで、'order' には以下を設定できます。

  • 'down': sos の最初の行が単位円に最も近い極を含むようにセクションが並べられます。

  • 'up': sos の最初の行が単位円から最も離れた極を含むようにセクションが並ベられます (既定の設定)。

[sos,g] = zp2sos(z,p,k,'order','scale') では、すべての 2 次セクション型のゲインと分子の係数に対し希望するスケーリングが行われます。ここで、'scale' には、以下のいずれかのように設定できます。

  • 'none': スケーリングを適用しない (既定の設定)

  • 'inf': 無限大ノルム スケーリングを適用

  • 'two': 2 ノルム スケーリングを適用

up の順序で無限大ノルム スケーリングを使用すると、固定小数点での表現において、オーバーフローの可能性が最小になります。down の順序で 2 ノルム スケーリングを使用すると、ピークの丸めノイズが最小化されます。

メモ:

無限大ノルムと 2 ノルムのスケーリングは、直接型 II の実装に対してのみ適切です。

[sos,g] = zp2sos(z,p,k,'order','scale',zeroflag) では、互いに反対の符号が付く実数零点を、極との近さに応じた順序に並べ替えずにまとめておくかどうかを指定します。zeroflagtrue に設定すると、零点がまとめられ、ゼロと等価の中間の係数をもつ分子が得られます。zeroflag の既定値は false です。

sos = zp2sos(...) は、システム ゲイン全体 g を最初のセクション H1(z) に組み込みます。したがって次になります。

H(z)=k=1LHk(z)

メモ:

直接型 II 構造をスケーリングする際に、最初の構造のゲインを組み込むことは推奨しません。異常なスケーリングになる可能性があります。ゲインの組み込みを避けるために、2 つの出力をもつ ss2sos を使用します。

すべて折りたたむ

関数 butter を、出力を零点-極-ゲイン形式で表して使用し、5 次のバタワース ローパス フィルターを設計します。カットオフ周波数をナイキスト周波数の 1/5 に指定します。結果を 2 次セクション型に変換します。振幅応答を可視化します。

[z,p,k] = butter(5,0.2);
sos = zp2sos(z,p,k)
sos = 3×6

    0.0013    0.0013         0    1.0000   -0.5095         0
    1.0000    2.0000    1.0000    1.0000   -1.0966    0.3554
    1.0000    2.0000    1.0000    1.0000   -1.3693    0.6926

fvtool(sos)

アルゴリズム

zp2sos では、以下の 4 つのステップのアルゴリズムを使用して、入力された零点-極-ゲイン システムの 2 次セクション型構造が求められます。

  1. 関数 cplxpair を使用して、零点と極が共役複素数の組に分類されます。

  2. 次の規則に基づいて、極と零点の組み合わせを作ることにより、2 次セクション型を作成します。

    1. 単位円に最も近い極を、それらの極に最も近い零点と組み合わせます。

    2. 次に単位円に近い極を、それらの極に最も近い零点と組み合わせます。

    3. 同様にして、極と零点をすべて組み合わせます。

    zp2sos では、実極についても、絶対値が最も近いものをグループ化してセクションにまとめます。実数零点についても同じルールが適用されます。

  3. 極の組み合わせを単位円に近付く順に並べ替えます。zp2sos では通常、単位円に最も近い極をもつセクションがカスケードの最後に配置されます。zp2sosdown フラグを設定することで、逆の順序に並べることができます。

  4. zp2sos によって、'scale' 引数に設定されたノルムでセクションがスケーリングされます。任意の H(ω) に対するスケーリングは、以下のように定義されます。

    Hp=[12π02π|H(ω)|pdω]1/p

    ここで、p は、∞ または 2 のどちらかです。スケーリングの詳細は、参考文献を参照してください。このスケーリングは、フィルター処理で固定小数点の実装によるオーバーフローを最小限に抑えようとするものです。

参考文献

[1] Jackson, L. B. Digital Filters and Signal Processing, 3rd Ed. Boston: Kluwer Academic Publishers, 1996, chap. 11.

[2] Mitra, S. K. Digital Signal Processing: A Computer-Based Approach. New York: McGraw-Hill, 1998, chap. 9.

[3] Vaidyanathan, P. P. “Robust Digital Filter Structures.” Handbook for Digital Signal Processing (S. K. Mitra and J. F. Kaiser, eds.). New York: John Wiley & Sons, 1993, chap. 7.

R2006a より前に導入