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ローパス アナログ フィルターからバンドパス アナログ フィルターへの変換
[bt,at] = lp2bp(b,a,Wo,Bw)
[At,Bt,Ct,Dt] = lp2bp(A,B,C,D,Wo,Bw)
lp2bp
では、1 rad/s のカットオフ角周波数をもつアナログ ローパス フィルターのプロトタイプが、望ましい帯域幅と中心周波数をもつバンドパス フィルターに変換されます。この変換は、関数 butter
、cheby1
、cheby2
、および ellip
のデジタル フィルター設計の 1 ステップです。
lp2bp
では、次の 2 つの異なる線形システム表現で 変換を行えます。伝達関数型および状態空間型。いずれの場合も、入力システムはアナログ フィルターのプロトタイプでなければなりません。
[bt,at] = lp2bp(b,a,Wo,Bw)
では、多項式係数によって与えられるアナログ ローパス フィルターのプロトタイプが、中心周波数 Wo
と帯域幅 Bw
をもつバンドパス フィルターに変換されます。行ベクトル b
と a
は、プロトタイプの分子と分母の係数を s の次数の降順に指定します。
スカラー Wo
および Bw
では、中心周波数と帯域幅を rad/s 単位で指定します。低い方の帯域エッジ w1
と高い方の帯域エッジ w2
をもつフィルターでは、Wo
= sqrt(w1*w2)
と Bw
= w2-w1
が使用されます。
lp2bp
では、周波数変換されたフィルターが行ベクトル bt
と at
に返されます。
[At,Bt,Ct,Dt] = lp2bp(A,B,C,D,Wo,Bw)
では、次に示す行列 A
、B
、C
、および D
による連続時間状態空間ローパス フィルターのプロトタイプ
が、中心周波数 Wo
と帯域幅 Bw
をもつバンドパス フィルターに変換されます。低い方の帯域エッジ w1
と高い方の帯域エッジ w2
をもつフィルターでは、Wo
= sqrt(w1*w2)
と Bw
= w2-w1
が使用されます。
このバンドパス フィルターは、行列 At
、Bt
、Ct
、Dt
に返されます。
lp2bp
は、標準的なアナログ フィルター周波数変換の高精度な状態空間型の公式です。次の状態空間システムを考えます。
ここで、u は入力、x は状態ベクトル、y は出力です。最初の方程式 (初期条件を 0 と仮定) のラプラス変換は、次のようになります。
このとき、バンドパス フィルターが中心周波数 ω0 と帯域幅 Bw をもつ場合、標準の s 領域の変換は、以下のようになります。
ここでは Q = ω0/Bw および p = s/ω0 です。これをラプラス変換した状態空間方程式の s に代入し、演算子p を d/dt と考えます。
または
次に、以下のように定義します。
これを代入すると次式が導かれます。
最後の 2 つの方程式により、状態方程式が得られます。これらを標準型で記述し、p で表される時間/周波数スケーリングを回復するために ω0 微分方程式に乗算して、バンドパス フィルターの状態行列が求められます。
Q = Wo/Bw; [ma,m] = size(A); At = Wo*[A/Q eye(ma,m);-eye(ma,m) zeros(ma,m)]; Bt = Wo*[B/Q; zeros(ma,n)]; Ct = [C zeros(mc,ma)]; Dt = d;
lp2bp
への入力が伝達関数型の場合は、このアルゴリズムを適用する前に状態空間型に変換されます。