lp2bp

ローパス アナログ フィルターからバンドパス アナログ フィルターへの変換

構文

[bt,at] = lp2bp(b,a,Wo,Bw)

[At,Bt,Ct,Dt] = lp2bp(A,B,C,D,Wo,Bw)

説明

[bt,at] = lp2bp(b,a,Wo,Bw) では、(行ベクトル b および a により指定された) 多項式係数によって与えられるアナログ ローパス フィルターのプロトタイプが、中心周波数 Wo と帯域幅 Bw をもつバンドパス フィルターに変換されます。入力システムはアナログ フィルターのプロトタイプでなければなりません。

[At,Bt,Ct,Dt] = lp2bp(A,B,C,D,Wo,Bw) は、(行列 A、B、C、および D により指定された) 連続時間状態空間ローパス フィルターのプロトタイプを、中心周波数 Wo、帯域幅 Bw のバンドパス フィルターに変換します。入力システムはアナログ フィルターのプロトタイプでなければなりません。

例

ローパスからバンドパスへの変換

14 次のローパス バタワース アナログ フィルターのプロトタイプを設計します。

n = 14;
[z,p,k] = buttap(n);

プロトタイプを伝達関数形式に変換します。その振幅応答と周波数応答を表示します。

[b,a] = zp2tf(z,p,k);
freqs(b,a)

プロトタイプを 30 ～ 100 Hz の通過帯域をもつバンドパス フィルターに変換します。中心周波数と帯域幅を rad/s 単位で指定します。

fl = 30;
fh = 100;

Wo = 2*pi*sqrt(fl*fh); % center frequency
Bw = 2*pi*(fh-fl); % bandwidth

[bt,at] = lp2bp(b,a,Wo,Bw);

変換後のフィルターの振幅応答と周波数応答を表示します。

freqs(bt,at)

入力引数

b, a — プロトタイプの分子と分母の係数

行ベクトル

プロトタイプの分子と分母の係数。行ベクトルとして指定します。b と a は、プロトタイプの分子と分母の係数を s の次数の降べきの順に指定します。

$$\frac{B(s)}{A(s)}=\frac{b(1)s^n+\cdots +b(n)s+b(n+1)}{a(1)s^m+\cdots +a(m)s+a(m+1)}$$

データ型: single | double

A, B, C, D — プロトタイプの状態空間表現

行列

プロトタイプの状態空間表現。行列として指定します。状態空間の行列は状態ベクトル x、入力 u、出力 y を以下の式により表します。

$$\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du\end{array}$$

データ型: single | double

Wo — 中心周波数

スカラー

中心周波数。スカラーとして指定します。低い方の帯域エッジ w1 と高い方の帯域エッジ w2 をもつフィルターでは、Wo = sqrt(w1*w2) が使用されます。Wo を rad/s 単位で表します。

データ型: single | double

Bw — 帯域幅

スカラー

帯域幅。スカラーとして指定します。低い方の帯域エッジ w1 と高い方の帯域エッジ w2 をもつフィルターでは、Bw = w2–w1 が使用されます。Bw を rad/s 単位で表します。

データ型: single | double

出力引数

bt, at — 変換後の分子と分母の係数

行ベクトル

変換後の分子と分母の係数。行ベクトルとして返されます。

At, Bt, Ct, Dt — 変換後の状態空間表現

行列

変換後の状態空間表現。行列として返されます。

アルゴリズム

lp2bp では、1 rad/s のカットオフ角周波数をもつアナログ ローパス フィルターのプロトタイプが、望ましい帯域幅と中心周波数をもつバンドパス フィルターに変換されます。この変換は、関数 butter、cheby1、cheby2、および ellip のデジタル フィルター設計の 1 ステップです。

lp2bp は、標準的なアナログ フィルター周波数変換の高精度な状態空間型の公式です。次の状態空間システムを考えます。

$$\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du\end{array}$$

ここで、u は入力、x は状態ベクトル、y は出力です。最初の方程式 (初期条件を 0 と仮定) のラプラス変換は、次のようになります。

$$sX(s)=AX(s)+BU(s)$$

このとき、バンドパス フィルターが中心周波数 ω₀ と帯域幅 B_w をもつ場合、標準の s 領域の変換は、以下のようになります。

$$s=Q(p^2+1)/p$$

ここでは Q = ω₀/B_w および p = s/ω₀ です。これをラプラス変換した状態空間方程式の s に代入し、演算子 p を d/dt と考えます。

$$Q\ddot{x}+Qx=\dot{A}x+B\dot{u}$$

または

$$Q\ddot{x}-\dot{A}x-B\dot{u}=-Qx$$

次に、以下のように定義します。

$$Q\dot{\omega }=-Qx$$

これを代入すると次式が導かれます。

$$Q\dot{x}=Ax+Q\omega +Bu$$

最後の 2 つの方程式により、状態方程式が得られます。これらを標準型で記述し、p で表される時間または周波数スケーリングを回復するために ω₀ 微分方程式に乗算して、バンドパス フィルターの状態行列が求められます。

$$Q=\frac{{\omega }_0}{B_w}$$

$$At={\omega }_0\left[\frac{A}{Q}\mathrm{eye}(ma,m);-\mathrm{eye}(ma,m)\mathrm{zeros}(ma,m)\right]$$

$$Bt={\omega }_0\left[\frac{B}{Q};\mathrm{zeros}(ma,n)\right]$$

$$Ct=\left[C\mathrm{zeros}(mc,ma)\right]$$

$$Dt=D$$

ここで、$$\left[ma,m\right]=\mathrm{size}(A)$$ です。

lp2bp では、次の 2 つの異なる線形システム表現で変換を行えます。伝達関数型および状態空間型。lp2bp への入力が伝達関数型の場合は、このアルゴリズムを適用する前に状態空間型に変換されます。

拡張機能

C/C++ コード生成

MATLAB® Coder™ を使用して C および C++ コードを生成します。

使用上の注意および制限:

入力の伝達関数の係数 num と den は実数でなければなりません。

バージョン履歴

R2006a より前に導入

参考

bilinear | impinvar | lp2bs | lp2hp | lp2lp

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