ピアソン分布

ピアソン分布は 4 パラメーターの分布です。任意の平均、標準偏差、歪度、および尖度をもちます。この分布は、外れ値になりやすい非対称データのモデル化によく使用されます。

Statistics and Machine Learning Toolbox™ には、ピアソン分布を処理する方法がいくつか用意されています。

makedist を使用してパラメーター値を指定することにより、確率分布オブジェクト PearsonDistribution を作成します。そして、オブジェクト関数を使用して、分布の評価や乱数の生成などを行います。
分布パラメーターを指定して、分布特有の関数 (pearspdf、pearscdf、pearsrnd、pearsinv) を使用します。分布特有の関数では、複数のピアソン分布についてのパラメーターを受け入れることができます。
分布名 "Pearson" と分布パラメーターを指定するか、分布オブジェクト PearsonDistribution を使用して、汎用の分布関数 (cdf、pdf、random、icdf) を使用します。

タイプ

ピアソン分布には 8 つのタイプがあり、そのほとんどは既知の他の分布に対応します。

ピアソン分布のタイプ	説明
`0`	正規
`1`	4 パラメーターベータ
`2`	対称 4 パラメーターベータ
`3`	3 パラメーターガンマ
`4`	pdf が ${(1 + {(\frac{x - μ}{σ})}^{2})}^{- a} \exp (- b \arctan (\frac{x - μ}{σ}))$ に比例するピアソンシステム特有の分布 (a と b はピアソン分布を定義する微分方程式に関係する量)
`5`	逆 3 パラメーターガンマ
`6`	"F" 位置-スケール
`7`	スチューデントの "F" 位置-スケール

パラメーター

ピアソン分布では、次のパラメーターを使用します。

パラメーター	説明
μ	平均
σ	標準偏差
γ	歪度。γ は標本の平均値周りのデータの非対称性を示す尺度です。歪度が負である場合、データは平均値の右側よりも左側に大きく広がります。歪度が正である場合、データは右側に大きく広がります。γ² が κ – 1 未満でなければなりません。
κ	尖度。κ は分布が外れ値になる傾向を示す尺度です。正規分布の尖度は 3 です。正規分布より外れ値になりやすい分布では尖度の値が 3 より大きくなり、なりにくい分布では尖度の値が 3 より小さくなります。κ は γ² + 1 より大きくなければなりません。

確率密度関数

ピアソン分布の確率密度関数 (pdf) は次の微分方程式の解です。

$\frac{p' (x)}{p (x)} = - \frac{a + (x - μ)}{b_{0} + b_{1} (x - μ) + b_{2} {(x - μ)}^{2}},$

この方程式は係数 $b_{j}$ (0 ≤ j ≤ 2) で定義されます。ほとんどの分布タイプでは、pdf は閉形式の関数です。次の表に、各分布タイプの pdf を示します。

ピアソン分布のタイプ	pdf p(x)
`0`	$\frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{\frac{- {(x - μ)}^{2}}{2 σ^{2}}}$
`1`	$\frac{{(x - l b)}^{a - 1} {(u b - x)}^{b - 1}}{B (a, b) {(u b - l b)}^{a + b - 1}}$ (B はベータ関数、lb と ub はそれぞれ分布の下限と上限、a > 0 は形状パラメーター、b > 0 はスケールパラメーター)
`2`	$\frac{{(x + u b)}^{a - 1} {(u b - x)}^{b - 1}}{B (a, b) {(2 u b)}^{a + b - 1}}$
`3`	$\frac{1}{b^{a} Γ (a)} {(x - l b)}^{a - 1} e^{- \frac{x - l b}{b}}$ (Γ はガンマ関数)
`4`	$\frac{{\| \frac{Γ (m + \frac{ν}{2} i)}{Γ (m)} \|}^{2}}{σ B (m - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})} {[1 + u^{2}]}^{- m} \exp [- ν \arctan (u)], u = \frac{x - μ}{σ}$ (m > 0 と ν > 0 は形状パラメーター)
`5`	$\frac{b^{a} e^{\frac{- b}{u}}}{σ u^{a + 1} Γ (a)}, u = \frac{x - μ}{σ}$
`6`	$\frac{1}{σ} \frac{Γ [\frac{(ν_{1} + ν_{2})}{2}]}{Γ (\frac{ν_{1}}{2}) Γ (\frac{ν_{2}}{2})} {(\frac{ν_{1}}{ν_{2}})}^{^{\frac{ν_{1}}{2}}} \frac{u^{\frac{ν_{1} - 2}{2}}}{{[1 + (\frac{ν_{1}}{ν_{2}}) u]}^{\frac{(ν_{1} + ν_{2})}{2}}}, u = \frac{x - μ}{σ}$ (ν₁ > 0 と ν₂ > 0 は形状パラメーター)
`7`	$\frac{Γ (\frac{ν + 1}{2})}{σ \sqrt{ν π} Γ (\frac{ν}{2})} {[\frac{ν + u^{2}}{ν}]}^{- (\frac{ν + 1}{2})}, u = \frac{x - μ}{σ}$

累積分布関数

ピアソン分布の累積分布関数 (cdf) は pdf の積分です。次の表に、各分布タイプの cdf を示します。

ピアソン分布のタイプ	cdf c(x)
`0`	$\frac{1}{σ \sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x} e^{\frac{- {(t - μ)}^{2}}{2 σ^{2}}} d t$
`1`	$\frac{1}{B (a, b) {(u b - l b)}^{a + b - 1}} \int_{l b}^{x} {(t - l b)}^{a - 1} {(u b - t)}^{b - 1} d t$ (B はベータ関数、lb と ub はそれぞれ分布の下限と上限、a > 0 は形状パラメーター、b > 0 はスケールパラメーター)
`2`	$\frac{1}{B (a, b) {(2 u b)}^{a + b - 1}} \int_{- u b}^{x} {(t + u b)}^{a - 1} {(u b - t)}^{b - 1} d t$
`3`	$\frac{1}{b Γ (a)} \int_{l b}^{x} {(t - l b)}^{a - 1} e^{- \frac{t - l b}{b}} d t$
`4`	タイプ 4 のピアソン分布には閉形式の cdf はありません。タイプ 4 のピアソン分布の点 x における cdf は、pdf を –∞ から x まで数値的に積分することで評価できます。cdf の評価には `pearscdf` または `cdf` を使用します。
`5`	$Q (a, \frac{b}{u}), u = \frac{x - μ}{σ}$ (Q は不完全ガンマ関数)
`6`	$I_{ν_{1} u / (ν_{1} u + ν_{2})} (\frac{ν_{1}}{2}, \frac{ν_{2}}{2}), u = \frac{x - μ}{σ}$ (I は正則化された不完全ベータ関数、ν₁ > 0 と ν₂ > 0 は形状パラメーター)
`7`	$\int_{- \infty}^{x} \frac{Γ (\frac{ν + 1}{2})}{Γ (\frac{ν}{2})} \frac{1}{σ \sqrt{ν π}} \frac{1}{{(1 + \frac{t^{2}}{ν})}^{\frac{ν + 1}{2}}} d t$ (ν > 0 は形状パラメーター)

サポート

一部のピアソン分布のタイプでは、pdf を定義する微分方程式の係数 $b_{j}$ によって pdf と cdf に対するサポートが与えられます。次の表に、ピアソン分布の pdf と cdf に対する μ = 0 および σ = 1 の場合のサポートを示します。変数 a1 と a2 は方程式 $b_{0} + b_{1} (x - μ) + b_{2} {(x - μ)}^{2} = 0$ の解であり、a1 < a2 です。

ピアソン分布のタイプ	サポート
`0`	`(-Inf,Inf)`
`1`	`(a1,a2)`
`2`	`(-a1,a1)`
`3`	`a>0` の場合は `(a1,Inf)`、`a<0` の場合は `(-Inf,a1)`
`4`	`(-Inf,Inf)`
`5`	`(b1-C1)/b2 <0` の場合は `(-C1,Inf)`、それ以外の場合は `(-Inf,C1)`。`C1 = b1/(2*b2)`。
`6`	`a1` と `a2` が負の場合は `(a2,Inf)`、`a1` と `a2` が正の場合は `(-Inf,a1)`
`7`	`(-Inf,Inf)`

μ ≠ 0 または σ ≠ 1 の分布の場合は、前の表で与えられる範囲からサポートの範囲がシフトします。この場合、下限 lb と上限 ub を次のように計算できます。

lb = σlb^*+μ
ub = σub^*+μ

ここで、lb^* と ub^* は、前の表で同じ分布タイプに対して与えられている下限と上限です。

例

ピアソン分布の比較

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タイプ 0 のピアソン分布のパラメーターを格納する変数 mu0、sigma0、skew0、および kurt0 を作成します。

mu0 = 0;
sigma0 = 1;
skew0 = 0;
kurt0 = 3;

pearspdf関数とpearscdf関数を使用して、タイプ 0 のピアソン分布の –5 から 5 までの範囲の pdf と cdf をそれぞれ評価します。linspace関数を使用して –5 から 5 までの範囲の点のベクトルを作成できます。mu0、sigma0、skew0、および kurt0 によってタイプ 0 のピアソン分布が定義されることを確認します。

x0 = linspace(-5,5,100);
[p0,type0] = pearspdf(x0,mu0,sigma0,skew0,kurt0);
c0 = pearscdf(x0,mu0,sigma0,skew0,kurt0);
type0

type0 = 
0

出力から、p0 にタイプ 0 のピアソン分布 (標準正規分布) の pdf が格納されていることがわかります。

pearsrnd関数を使用して、分布から無作為な点の標本を抽出します。

rng(0,"twister") % For reproducibility
r0 = pearsrnd(mu0,sigma0,skew0,kurt0,[100,1]);

このプロセスをタイプ 4 のピアソン分布について繰り返します。変数 mu4、sigma4、skew4、および kurt4 を定義します。–5 から 15 までの範囲の pdf と cdf を評価し、分布から無作為標本を抽出します。

mu4 = 5;
sigma4 = 1;
skew4 = 1;
kurt4 = 10;
x4 = linspace(-5,15,100);
[p4,type4] = pearspdf(x4,mu4,sigma4,skew4,kurt4);
c4 = pearscdf(x4,mu4,sigma4,skew4,kurt4);
r4 = pearsrnd(mu4,sigma4,skew4,kurt4,[100,1]);

mu4、sigma4、skew4、および kurt4 によってタイプ 4 のピアソン分布が定義されることを確認します。

type4

type4 = 
4

このプロセスをタイプ 6 のピアソン分布について繰り返し、–10 から 10 までの範囲の pdf と cdf を評価します。

mu6 = 0;
sigma6 = 5;
skew6 = 3;
kurt6 = 20;
x6 = linspace(-10,10,100);
[p6,type6] = pearspdf(x6,mu6,sigma6,skew6,kurt6);
c6 = pearscdf(x6,mu6,sigma6,skew6,kurt6);
r6 = pearsrnd(mu6,sigma6,skew6,kurt6,[100,1]);

mu6、sigma6、skew6、および kurt6 によってタイプ 6 のピアソン分布が定義されることを確認します。

type6

type6 = 
6

tiledlayout関数とnexttile関数を使用して、タイプ 0、4、6 のピアソン分布の無作為標本、pdf、および cdf の箱ひげ図を表示します。boxchart関数を使用して無作為標本の箱ひげ図を作成します。

tiledlayout(3,3)
nexttile
boxchart(r0)
title("Random Sample")
ylabel("Type 0",FontWeight="bold")
nexttile
plot(x0,p0)
title("PDF")
nexttile
plot(x0,c0)
title("CDF")
nexttile
boxchart(r4)
ylabel("Type 4",FontWeight="bold")
nexttile
plot(x4,p4)
nexttile
plot(x4,c4)
nexttile
boxchart(r6)
ylabel("Type 6",FontWeight="bold")
nexttile
plot(x6,p6)
nexttile
plot(x6,c6)

Figure の行は、ピアソン分布の 3 つのタイプに対応します。1 列目に各分布の無作為標本の箱ひげ図があります。タイプ 6 のピアソン分布は外れ値の数が最も多く、これは 3 つの分布のうちで尖度が最も大きいことと一致しています。2 列目に各分布の pdf のプロットがあります。タイプ 0 とタイプ 4 のピアソン分布は pdf が非有界であり、タイプ 6 のピアソン分布には下限があります。3 列目は各分布の cdf のプロットを示しています。タイプ 0 とタイプ 4 のピアソン分布は pdf の形状が似ているため、cdf は似たような S 字型になります。タイプ 6 のピアソン分布の cdf は下限よりも大きい値について凹になります。

タイプ 6 のピアソン分布の下限を計算するには、ピアソン分布の pdf を定義する常微分方程式の分母にある多項式の係数を返します。詳細については、確率密度関数およびサポートを参照してください。

[~,~,coefs6] = pearspdf([],mu6,sigma6,skew6,kurt6)

coefs6 = 1×3

    0.7162    0.9324    0.0946

係数は左から右の順に昇順に並んだ項に対応します。

roots関数を使用して多項式関数の根を求めます。fliplr関数を使用して、係数が左から右の順に降順に並んだ項に対応するように coefs6 の形式を設定します。

coefs6 = fliplr(coefs6);
roots6 = roots(coefs6)

roots6 = 2×1

   -9.0175
   -0.8396

多項式の根が負であり、タイプ 6 のピアソン分布の pdf に下限があることを示しています。

下限を計算するには、最も大きい根に sigma6 を乗算し、その結果を mu6 に加算します。

lb6 = sigma6*max(roots6) + mu6

lb6 = 
-4.1982

タイプ 6 のピアソン分布の pdf はサポートの下限が約 –4 で、これは pdf のプロットと一致しています。

参照

[1] Johnson, Norman Lloyd, et al. "Continuous Univariate Distributions." 2nd ed, vol. 1, Wiley, 1994.

[2] Willink, R. "A Closed-Form Expression for the Pearson Type IV Distribution Function." Australian & New Zealand Journal of Statistics, vol. 50, no. 2, June 2008, pp. 199–205. https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/j.1467-842X.2008.00508.x

参考