kurtosis

尖度

構文

k = kurtosis(X)

k = kurtosis(X,flag)

k = kurtosis(X,flag,'all')

k = kurtosis(X,flag,dim)

k = kurtosis(X,flag,vecdim)

説明

k = kurtosis(X) は、X の標本尖度を返します。

• X がベクトルである場合、kurtosis(X) は X 内の要素の尖度であるスカラー値を返します。

• X が行列である場合、kurtosis(X) は X の各列の標本尖度が格納されている行ベクトルを返します。

• X が多次元配列である場合、kurtosis(X) は X の大きさが 1 でない最初の次元に作用します。

k = kurtosis(X,flag) は、バイアスを補正するか (flag は 0) しないか (flag は 1、既定値) を指定します。X が母集団からの標本を表す場合、X の尖度は偏っています。つまり、標本サイズに基づく体系的な量だけ異なる傾向にあります。flag を 0 に設定して、この体系的なバイアスに対して調整できます。

k = kurtosis(X,flag,'all') は、X のすべての要素の尖度を返します。

k = kurtosis(X,flag,dim) は、X の作用次元 dim に沿った尖度を返します。

k = kurtosis(X,flag,vecdim) は、ベクトル vecdim で指定された次元における尖度を返します。たとえば、X が 2 x 3 x 4 の配列である場合、kurtosis(X,1,[1 2]) は 1 x 1 x 4 の配列を返します。出力配列の各要素は、X の対応するページにおける要素の偏った尖度です。

例

行列の尖度の計算

結果の再現性を得るため、乱数シードを設定します。

rng('default')

5 行 4 列の行列を生成します。

X = randn(5,4)

X = 5×4

    0.5377   -1.3077   -1.3499   -0.2050
    1.8339   -0.4336    3.0349   -0.1241
   -2.2588    0.3426    0.7254    1.4897
    0.8622    3.5784   -0.0631    1.4090
    0.3188    2.7694    0.7147    1.4172

X の標本尖度を求めます。

k = kurtosis(X)

k = 1×4

    2.7067    1.4069    2.3783    1.1759

k は、X の各列の標本尖度が含まれている行ベクトルです。

標本尖度のバイアスの補正

入力ベクトルに対して、入力引数 flag を指定することにより、尖度の計算におけるバイアスを補正します。

結果の再現性を得るため、乱数シードを設定します。

rng('default') 

長さ 10 のベクトルを生成します。

x = randn(10,1)

x = 10×1

    0.5377
    1.8339
   -2.2588
    0.8622
    0.3188
   -1.3077
   -0.4336
    0.3426
    3.5784
    2.7694

x の偏った尖度を求めます。既定では、kurtosis は flag の値を 1 に設定して、偏った尖度を計算します。

k1 = kurtosis(x) % flag is 1 by default

k1 = 
2.3121

flag の値を 0 に設定して、バイアスを補正した x の尖度を求めます。

k2 = kurtosis(x,0) 

k2 = 
2.7483

特定の次元に沿った尖度の計算

多次元配列のさまざまな次元に沿った尖度を求めます。

結果の再現性を得るため、乱数シードを設定します。

rng('default') 

4 x 3 x 2 の乱数行列を作成します。

X = randn([4,3,2])

X = 
X(:,:,1) =

    0.5377    0.3188    3.5784
    1.8339   -1.3077    2.7694
   -2.2588   -0.4336   -1.3499
    0.8622    0.3426    3.0349


X(:,:,2) =

    0.7254   -0.1241    0.6715
   -0.0631    1.4897   -1.2075
    0.7147    1.4090    0.7172
   -0.2050    1.4172    1.6302

既定の次元に沿って X の尖度を求めます。

k1 = kurtosis(X)

k1 = 
k1(:,:,1) =

    2.1350    1.7060    2.2789


k1(:,:,2) =

    1.0542    2.3278    2.0996

既定では、kurtosis は、サイズが 1 ではない X の最初の次元に沿って作用します。このケースでは、この次元は X の 1 番目の次元です。したがって、k1 は 1 x 3 x 2 の配列です。

2 番目の次元に沿って X の偏った尖度を求めます。

k2 = kurtosis(X,1,2)

k2 = 
k2(:,:,1) =

    1.5000
    1.5000
    1.5000
    1.5000


k2(:,:,2) =

    1.5000
    1.5000
    1.5000
    1.5000

k2 は 4 x 1 x 2 の配列です。

3 番目の次元に沿って X の偏った尖度を求めます。

k3 = kurtosis(X,1,3)

k3 = 4×3

    1.0000    1.0000    1.0000
    1.0000    1.0000    1.0000
    1.0000    1.0000    1.0000
    1.0000    1.0000    1.0000

k3 は 4 行 3 列の行列です。

次元のベクトルに沿った尖度の計算

入力引数 'all' および vecdim を使用して、複数次元における尖度を求めます。

結果の再現性を得るため、乱数シードを設定します。

rng('default')

4 x 3 x 2 の乱数行列を作成します。

X = randn([4 3 2])

X = 
X(:,:,1) =

    0.5377    0.3188    3.5784
    1.8339   -1.3077    2.7694
   -2.2588   -0.4336   -1.3499
    0.8622    0.3426    3.0349


X(:,:,2) =

    0.7254   -0.1241    0.6715
   -0.0631    1.4897   -1.2075
    0.7147    1.4090    0.7172
   -0.2050    1.4172    1.6302

X の偏った尖度を求めます。

kall = kurtosis(X,1,'all')

kall = 
2.8029

kall は、入力データ セット X 全体の偏った尖度です。

1 番目の次元と 2 番目の次元を指定して、X の各ページの偏った尖度を求めます。

kpage = kurtosis(X,1,[1 2])

kpage = 
kpage(:,:,1) =

    1.9345


kpage(:,:,2) =

    2.5877

たとえば、kpage(1,1,2) は X(:,:,2) 内の要素の偏った尖度です。

2 番目の次元と 3 番目の次元を指定して、X(i,:,:) の各スライスの要素の偏った尖度を求めます。

krow = kurtosis(X,1,[2 3])

krow = 4×1

    3.8457
    1.4306
    1.7094
    2.3378

たとえば、krow(3) は X(3,:,:) 内の要素の偏った尖度です。

入力引数

X — 入力データ

ベクトル | 行列 | 多次元配列

母集団から抽出した標本を表す入力データ。ベクトル、行列または多次元配列を指定します。

• X がベクトルである場合、kurtosis(X) は X 内の要素の尖度であるスカラー値を返します。

• X が行列である場合、kurtosis(X) は X の各列の標本尖度が格納されている行ベクトルを返します。

• X が多次元配列である場合、kurtosis(X) は X の大きさが 1 でない最初の次元に作用します。

X が行列または配列である場合に作用次元を指定するには、入力引数 dim を使用します。

kurtosis は、X 内の NaN 値を欠損値として扱い、削除します。

データ型: single | double

flag — バイアスのインジケーター

1 (既定値) | 0

バイアスのインジケーター。0 または 1 を指定します。

• flag が 1 (既定) である場合、X の尖度は偏っています。つまり、標本サイズに基づく体系的な量だけ異なる傾向にあります。

• flag が 0 である場合、kurtosis は体系的なバイアスを補正します。

データ型: single | double | logical

dim — 次元

正の整数

作用する対象となる次元。正の整数を指定します。dim の値を指定しなかった場合、X のサイズが 1 ではない最初の次元が既定値になります。

行列 X の尖度を考えます。

• dim が 1 に等しい場合、kurtosis は X の各列の標本尖度が格納されている行ベクトルを返します。

• dim が 2 に等しい場合、kurtosis は X の各行の標本尖度が格納されている列ベクトルを返します。

dim が ndims(X) より大きい場合、または size(X,dim) が 1 である場合、kurtosis は X と同じサイズの NaN の配列を返します。

データ型: single | double

vecdim — 次元のベクトル

正の整数ベクトル

次元のベクトル。正の整数ベクトルを指定します。vecdim の各要素は、入力配列 X の次元を表します。出力 k の指定された作用次元における長さは 1 です。他の次元の長さは、X と k で同じになります。

たとえば、X が 2 x 3 x 3 の配列である場合、kurtosis(X,1,[1 2]) は 1 x 1 x 3 の配列を返します。出力の各要素は、X の対応するページにおける要素の偏った尖度です。

データ型: single | double

出力引数

k — 尖度

スカラー | ベクトル | 行列 | 多次元配列

尖度。スカラー、ベクトル、行列または多次元配列として返されます。

アルゴリズム

尖度は、分布の突起傾向を示す尺度です。正規分布の尖度は 3 です。正規分布より外れ値が多い分布では尖度が 3 より大きくなり、外れ値が少ない分布では尖度が 3 より小さくなります。尖度の定義には、正規分布の尖度が 0 になるようにするため計算値から 3 を減算するものもあります。関数 kurtosis では、このような定義は使用しません。

分布の尖度は以下のように定義されます。

$$k=\frac{E{(x-\mu )}^4}{{\sigma }^4},$$

ここで、μ は x の平均値、σ は x の標準偏差であり、E(t) は数量 t の期待値を表します。関数 kurtosis は、この母集団における値が標本ではどのようになるかを計算します。

flag を 1 に設定した場合、尖度は偏り、次の方程式が適用されます。

$$k_1=\frac{\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(x_i-\overline{x}\right)}^4}}{{\left(\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(x_i-\overline{x}\right)}^2}\right)}^2}.$$

flag を 0 に設定した場合、kurtosis は体系的なバイアスを補正し、次の方程式が適用されます。

$$k_0=\frac{n-1}{\left(n-2\right)\left(n-3\right)}\left(\left(n+1\right)k_1-3\left(n-1\right)\right)+3.$$

このバイアス補正式では、4 つ以上の要素が X に含まれている必要があります。

拡張機能

tall 配列

メモリの許容量を超えるような多数の行を含む配列を計算します。

kurtosis 関数は、tall 配列を完全にサポートします。詳細は、tall 配列を参照してください。

C/C++ コード生成

MATLAB® Coder™ を使用して C および C++ コードを生成します。

使用上の注意および制限:

• 入力引数 'all' および vecdim はサポートされません。

• 入力引数 dim はコンパイル時の定数でなければなりません。

• 入力引数 dim を指定しなかった場合、生成されるコードでは作用次元が異なる可能性があります。この結果、ランタイム エラーが発生する可能性があります。詳細は、既定の次元の選択に関する MATLAB との非互換性 (MATLAB Coder)を参照してください。

コード生成の詳細については、コード生成の紹介および一般的なコード生成のワークフローを参照してください。

スレッドベースの環境

MATLAB® の backgroundPool を使用してバックグラウンドでコードを実行するか、Parallel Computing Toolbox™ の ThreadPool を使用してコードを高速化します。

この関数は、スレッドベースの環境を完全にサポートします。詳細については、スレッドベースの環境での MATLAB 関数の実行を参照してください。

GPU 配列

Parallel Computing Toolbox™ を使用してグラフィックス処理装置 (GPU) 上で実行することにより、コードを高速化します。

使用上の注意および制限:

• 入力引数 'all' および vecdim はサポートされません。

詳細は、GPU での MATLAB 関数の実行 (Parallel Computing Toolbox)を参照してください。

バージョン履歴

R2006a より前に導入

参考

mean | moment | skewness | std | var

トピック

• 正規分布