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gammainc

不完全ガンマ関数

構文

Y = gammainc(X,A)

Y = gammainc(X,A,type)

Y = gammainc(X,A,scale)

説明

Y = gammainc(X,A) は、X と A の要素で評価した下側不完全ガンマ関数を返します。X と A の両方が実数でなければならず、A は非負でなければなりません。

Y = gammainc(X,A,type) は、下側または上側の不完全ガンマ関数を返します。type の選択肢は、'lower' (既定) と 'upper' です。

Y = gammainc(X,A,scale) は、得られた下側または上側の不完全ガンマ関数をスケーリングして、ゼロへのアンダーフローまたは正確性の低下を防ぎます。scale の選択肢は 'scaledlower' と 'scaledupper' です。

例

下側不完全ガンマ関数のプロット

区間 $$0\le x\le 10$$、$$a$$ = 0.5, 1, 1.5, 2 について、下側不完全ガンマ関数を計算します。複数の $$a$$ 値にわたってループし、各 a 値で関数を評価し、それぞれの結果を Y の列に代入します。

A = [0.5 1 1.5 2];
X = 0:0.05:10;
Y = zeros(201,4);
for i = 1:4
    Y(:,i) = gammainc(X,A(i));
end

すべての関数を同じ Figure にプロットします。

plot(X,Y)
grid on
legend('$a = 0.5$','$a = 1$','$a = 1.5$','$a = 2$','interpreter','latex')
title('Lower incomplete gamma function for $a = 0.5, 1, 1.5,$ and $2$','interpreter','latex')
xlabel('$x$','interpreter','latex')
ylabel('$P(x,a)$','interpreter','latex')

上側不完全ガンマ関数のプロット

区間 $$0\le x\le 10$$、$$a$$ = 0.5, 1, 1.5, 2 について、上側不完全ガンマ関数を計算します。複数の $$a$$ 値にわたってループし、各 a 値で関数を評価し、それぞれの結果を Y の列に代入します。

A = [0.5 1 1.5 2];
X = 0:0.05:10;
Y = zeros(201,4);
for i = 1:4
    Y(:,i) = gammainc(X,A(i),'upper');
end

すべての関数を同じ Figure にプロットします。

plot(X,Y)
grid on
legend('$a = 0.5$','$a = 1$','$a = 1.5$','$a = 2$','interpreter','latex');
title('Upper incomplete gamma function for $a = 0.5, 1, 1.5,$ and $2$','interpreter','latex')
xlabel('$x$','interpreter','latex')
ylabel('$Q(x,a)$','interpreter','latex')

スケーリングされた不完全ガンマ関数のプロット

スケーリングされていない下側不完全ガンマ関数を計算し、スケーリングされた関数と比較します。

区間 $$0\le x\le 2$$、$$a=1$$ についてスケーリングされていない下側不完全ガンマ関数を計算します。関数をプロットします。

a = 1;
x = 0:0.001:2;
Y = gammainc(x,a);
plot(x,Y);
xlabel('$x$','interpreter','latex');
ylabel('$P(x,1)$','interpreter','latex')
hold on

次に、スケーリングされた下側不完全ガンマ関数を計算します。同じグラフに関数をプロットします。スケーリングされた関数は 0 近傍で異なる漸近的な挙動を示し、これにより $$x$$ が 0 に近いときにアンダーフローを回避します。

Ys = gammainc(x,a,'scaledlower');
plot(x,Ys,'--');
legend('unscaled','scaled')

入力引数

X — 入力配列

スカラー | ベクトル | 行列 | 多次元配列

入力配列。スカラー、ベクトル、行列または多次元配列として指定します。X の要素は実数でなければなりません。X と A は同じサイズであるか、いずれかがスカラーでなければなりません。

データ型: single | double

A — 入力配列

スカラー | ベクトル | 行列 | 多次元配列

入力配列。スカラー、ベクトル、行列または多次元配列として指定します。A の要素は非負の実数でなければなりません。X と A は同じサイズであるか、いずれかがスカラーでなければなりません。

データ型: single | double

type — 不完全ガンマ関数のタイプ

'lower' (既定値) | 'upper'

不完全ガンマ関数のタイプ。'lower' または 'upper' として指定します。type が 'lower' の場合、gammainc は下側不完全ガンマ関数を返します。type が 'upper' の場合、gammainc は上側不完全ガンマ関数を返します。

scale — スケーリング オプション

'scaledlower' | 'scaledupper'

スケーリング オプション。'scaledlower' または 'scaledupper' として指定します。scale が 'scaledlower' または 'scaledupper' である場合、gammainc は下側または上側の不完全ガンマ関数を係数 $$\Gamma \left(a+1\right)e^x/x^a$$ でスケーリングします。ここで $$\Gamma \left(a\right)$$ は関数gammaです。このスケーリングは 0 近傍での関数の漸近的な挙動を相殺し、小さい引数でのアンダーフローを回避します。

制限

• x が負の場合、abs(x) > a+1 で不完全ガンマ関数が不正確になることがあります。

詳細

不完全ガンマ関数

下側不完全ガンマ関数 P と上側不完全ガンマ関数 Q は次で定義されます。

$$\begin{array}{l}P(x,a)=\frac{1}{\Gamma \left(a\right)}{\displaystyle {\int }_0^x{t}^{a-1}{e}^{-t}dt},\\ Q(x,a)=\frac{1}{\Gamma \left(a\right)}{\displaystyle {\int }_x^{\infty }{t}^{a-1}{e}^{-t}dt}.\end{array}$$

ガンマ関数 $$\Gamma \left(a\right)$$ は次で定義されます。

$$\Gamma \left(a\right)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{t}^{a-1}{e}^{-t}dt}.$$

MATLAB^® は、$$P(x,a)+Q(x,a)=1$$ となる正規化された不完全ガンマ関数の定義を使用します。

スケーリングされた下側および上側の不完全ガンマ関数は次で定義されます。

$$\begin{array}{l}{P}_s(x,a)=\frac{\Gamma \left(a+1\right)}{\Gamma \left(a\right)}\frac{e^x}{x^a}{\displaystyle {\int }_0^x{t}^{a-1}{e}^{-t}dt},\\ Q_s(x,a)=\frac{\Gamma \left(a+1\right)}{\Gamma \left(a\right)}\frac{e^x}{x^a}{\displaystyle {\int }_x^{\infty }{t}^{a-1}{e}^{-t}dt}.\end{array}$$

下側不完全ガンマ関数の一部のプロパティは次のとおりです。

• $$\underset{x\to \infty }{\lim }P(x,a)=1\text{for}a\ge 0$$

• $$\underset{x,a\to 0}{\lim }P(x,a)=1$$

ヒント

• 上側不完全ガンマ関数が 0 に近い場合、'upper' オプションを指定して関数を計算するほうが、1 から下側不完全ガンマ関数を減算するより正確です。

参照

[1] Olver, F. W. J., A. B. Olde Daalhuis, D. W. Lozier, B. I. Schneider, R. F. Boisvert, C. W. Clark, B. R. Miller, and B. V. Saunders, eds., Chapter 8. Incomplete Gamma and Related Functions, NIST Digital Library of Mathematical Functions, Release 1.0.22, Mar. 15, 2018.

拡張機能

tall 配列

メモリの許容量を超えるような多数の行を含む配列を計算します。

この関数は tall 配列を完全にサポートしています。詳細については、tall 配列を参照してください。

C/C++ コード生成

MATLAB® Coder™ を使用して C および C++ コードを生成します。

使用上の注意事項および制限事項:

• 出力は常に複素数です。

• 厳密な単精度計算はサポートされていません。生成されたコードでは、単精度入力で単精度出力が生成されます。ただし、関数内の変数は倍精度である可能性があります。

GPU 配列

Parallel Computing Toolbox™ を使用してグラフィックス処理装置 (GPU) 上で実行することにより、コードを高速化します。

使用上の注意事項および制限事項:

• X の要素は非負でなければなりません。

詳細については、GPU での MATLAB 関数の実行 (Parallel Computing Toolbox)を参照してください。

分散配列

Parallel Computing Toolbox™ を使用して、クラスターの結合メモリ上で大きなアレイを分割します。

この関数は分散配列を完全にサポートしています。詳細については、分散配列を使用した MATLAB 関数の実行 (Parallel Computing Toolbox)を参照してください。

参考

gamma | gammaincinv | gammaln | psi

R2006a より前に導入

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