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gammaincinv

逆不完全ガンマ関数

説明

X = gammaincinv(Y,A) は、Y = gammainc(X,A) となる YA の要素で評価された下側不完全ガンマ関数の逆関数を返します。YA の両方が実数でなければなりません。Y の要素は、閉区間 [0,1] 内になければならず、A は非負でなければなりません。

X = gammaincinv(Y,A,type) は、下側または上側の不完全ガンマ関数の逆関数を返します。type の選択肢は、'lower' (既定) と 'upper' です。

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区間 0y1a = 0.5, 1, 1.5, 2 について、下側不完全ガンマ関数の逆関数を計算します。複数の a 値にわたってループし、各 a 値で逆関数を評価し、それぞれの結果を X の列に代入します。

A = [0.5 1 1.5 2];
Y = 0:0.005:1;
X = zeros(201,4);
for i = 1:4
    X(:,i) = gammaincinv(Y,A(i));
end

すべての逆関数を同じ Figure にプロットします。

plot(Y,X)
grid on
legend('$a = 0.5$','$a = 1$','$a = 1.5$','$a = 2$','interpreter','latex')
title('Lower inverse incomplete gamma function for $a = 0.5, 1, 1.5,$ and $2$','interpreter','latex')
xlabel('$y$','interpreter','latex')
ylabel('$P^{-1}(y,a)$','interpreter','latex')

区間 0y1a = 0.5, 1, 1.5, 2 について、上側不完全ガンマ関数の逆関数を計算します。複数の a 値にわたってループし、各 a 値で逆関数を評価し、それぞれの結果を X の列に代入します。

A = [0.5 1 1.5 2];
Y = 0:0.005:1;
X = zeros(201,4);
for i = 1:4
    X(:,i) = gammaincinv(Y,A(i),'upper');
end

すべての逆関数を同じ Figure にプロットします。

plot(Y,X)
grid on
legend('$a = 0.5$','$a = 1$','$a = 1.5$','$a = 2$','interpreter','latex')
title('Upper inverse incomplete gamma function for $a = 0.5, 1, 1.5,$ and $2$','interpreter','latex')
xlabel('$y$','interpreter','latex')
ylabel('$Q^{-1}(y,a)$','Interpreter','latex')

入力引数

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入力配列。スカラー、ベクトル、行列または多次元配列として指定します。Y の要素は実数で、閉区間 [0,1] になければなりません。YA は同じサイズであるか、いずれかがスカラーでなければなりません。

データ型: single | double

入力配列。スカラー、ベクトル、行列または多次元配列として指定します。A の要素は非負の実数でなければなりません。YA は同じサイズであるか、いずれかがスカラーでなければなりません。

データ型: single | double

逆不完全ガンマ関数のタイプ。'lower' または 'upper' として指定します。type'lower' の場合、gammainc下側不完全ガンマ関数の逆関数を返します。type'upper' の場合、gammainc上側不完全ガンマ関数の逆関数を返します。

詳細

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不完全ガンマ関数の逆関数

下側不完全ガンマ関数の逆関数は、

y=P(x,a)=1Γ(a)0xta1etdt.

となる x=P1(y,a) として定義されます。上側不完全ガンマ関数の逆関数は、

y=Q(x,a)=1Γ(a)xta1etdt.

となる x=Q1(y,a) として定義されます。Γ(a) の項は次のガンマ関数です。

Γ(a)=0ta1etdt.

MATLAB® は、P(x,a)+Q(x,a)=1 となる正規化された不完全ガンマ関数の定義を使用します。

下側不完全ガンマ関数の一部のプロパティは次のとおりです。

  • limy1P1(y,a)=fora>0

  • limy1a0P1(y,a)=0

ヒント

  • 上側不完全ガンマ関数が 0 に近い場合、'upper' オプションを指定して上側の逆関数を計算するほうが、1 から下側不完全ガンマ関数を減算してから下側の逆関数を求めるよりも正確です。

参照

[1] Olver, F. W. J., A. B. Olde Daalhuis, D. W. Lozier, B. I. Schneider, R. F. Boisvert, C. W. Clark, B. R. Miller, and B. V. Saunders, eds., Chapter 8. Incomplete Gamma and Related Functions, NIST Digital Library of Mathematical Functions, Release 1.0.22, Mar. 15, 2018.

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