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gammaincinv

逆不完全ガンマ関数

構文

X = gammaincinv(Y,A)

X = gammaincinv(Y,A,type)

説明

X = gammaincinv(Y,A) は、Y = gammainc(X,A) となる Y と A の要素で評価された下側不完全ガンマ関数の逆関数を返します。Y と A の両方が実数でなければなりません。Y の要素は、閉区間 [0,1] 内になければならず、A は非負でなければなりません。

X = gammaincinv(Y,A,type) は、下側または上側の不完全ガンマ関数の逆関数を返します。type の選択肢は、'lower' (既定) と 'upper' です。

例

下側不完全ガンマ関数の逆関数のプロット

区間 $$0\le y\le 1$$、$$a$$ = 0.5, 1, 1.5, 2 について、下側不完全ガンマ関数の逆関数を計算します。複数の $$a$$ 値にわたってループし、各 a 値で逆関数を評価し、それぞれの結果を X の列に代入します。

A = [0.5 1 1.5 2];
Y = 0:0.005:1;
X = zeros(201,4);
for i = 1:4
    X(:,i) = gammaincinv(Y,A(i));
end

すべての逆関数を同じ Figure にプロットします。

plot(Y,X)
grid on
legend('$a = 0.5$','$a = 1$','$a = 1.5$','$a = 2$','interpreter','latex')
title('Lower inverse incomplete gamma function for $a = 0.5, 1, 1.5,$ and $2$','interpreter','latex')
xlabel('$y$','interpreter','latex')
ylabel('$P^{-1}(y,a)$','interpreter','latex')

上側不完全ガンマ関数の逆関数のプロット

区間 $$0\le y\le 1$$、$$a$$ = 0.5, 1, 1.5, 2 について、上側不完全ガンマ関数の逆関数を計算します。複数の $$a$$ 値にわたってループし、各 a 値で逆関数を評価し、それぞれの結果を X の列に代入します。

A = [0.5 1 1.5 2];
Y = 0:0.005:1;
X = zeros(201,4);
for i = 1:4
    X(:,i) = gammaincinv(Y,A(i),'upper');
end

すべての逆関数を同じ Figure にプロットします。

plot(Y,X)
grid on
legend('$a = 0.5$','$a = 1$','$a = 1.5$','$a = 2$','interpreter','latex')
title('Upper inverse incomplete gamma function for $a = 0.5, 1, 1.5,$ and $2$','interpreter','latex')
xlabel('$y$','interpreter','latex')
ylabel('$Q^{-1}(y,a)$','Interpreter','latex')

入力引数

Y — 入力配列

スカラー | ベクトル | 行列 | 多次元配列

入力配列。スカラー、ベクトル、行列または多次元配列として指定します。Y の要素は実数で、閉区間 [0,1] になければなりません。Y と A は同じサイズであるか、いずれかがスカラーでなければなりません。

データ型: single | double

A — 入力配列

スカラー | ベクトル | 行列 | 多次元配列

入力配列。スカラー、ベクトル、行列または多次元配列として指定します。A の要素は非負の実数でなければなりません。Y と A は同じサイズであるか、いずれかがスカラーでなければなりません。

データ型: single | double

type — 逆不完全ガンマ関数のタイプ

'lower' (既定値) | 'upper'

逆不完全ガンマ関数のタイプ。'lower' または 'upper' として指定します。type が 'lower' の場合、gammainc は下側不完全ガンマ関数の逆関数を返します。type が 'upper' の場合、gammainc は上側不完全ガンマ関数の逆関数を返します。

詳細

不完全ガンマ関数の逆関数

下側不完全ガンマ関数の逆関数は、

$$y=P(x,a)=\frac{1}{\Gamma \left(a\right)}{\displaystyle {\int }_0^x{t}^{a-1}{e}^{-t}dt}.$$

となる $$x=P^{-1}(y,a)$$ として定義されます。上側不完全ガンマ関数の逆関数は、

$$y=Q(x,a)=\frac{1}{\Gamma \left(a\right)}{\displaystyle {\int }_x^{\infty }{t}^{a-1}{e}^{-t}dt}.$$

となる $$x=Q^{-1}(y,a)$$ として定義されます。$$\Gamma \left(a\right)$$ の項は次のガンマ関数です。

$$\Gamma \left(a\right)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{t}^{a-1}{e}^{-t}dt}.$$

MATLAB^® は、$$P(x,a)+Q(x,a)=1$$ となる正規化された不完全ガンマ関数の定義を使用します。

下側不完全ガンマ関数の一部のプロパティは次のとおりです。

• $$\underset{y\to 1}{\lim }{P}^{-1}(y,a)=\infty \text{for}a>0$$

• $$\underset{\begin{array}{l}y\to 1\\ a\to 0\end{array}}{\lim }{P}^{-1}(y,a)=0$$

ヒント

• 上側不完全ガンマ関数が 0 に近い場合、'upper' オプションを指定して上側の逆関数を計算するほうが、1 から下側不完全ガンマ関数を減算してから下側の逆関数を求めるよりも正確です。

参照

[1] Olver, F. W. J., A. B. Olde Daalhuis, D. W. Lozier, B. I. Schneider, R. F. Boisvert, C. W. Clark, B. R. Miller, and B. V. Saunders, eds., Chapter 8. Incomplete Gamma and Related Functions, NIST Digital Library of Mathematical Functions, Release 1.0.22, Mar. 15, 2018.

拡張機能

tall 配列

メモリの許容量を超えるような多数の行を含む配列を計算します。

この関数は tall 配列を完全にサポートしています。詳細については、tall 配列を参照してください。

C/C++ コード生成

MATLAB® Coder™ を使用して C および C++ コードを生成します。

使用上の注意事項および制限事項:

• 出力は常に複素数です。

• 厳密な単精度計算はサポートされていません。生成されたコードでは、単精度入力で単精度出力が生成されます。ただし、関数内の変数は倍精度である可能性があります。

GPU 配列

Parallel Computing Toolbox™ を使用してグラフィックス処理装置 (GPU) 上で実行することにより、コードを高速化します。

この関数は GPU 配列を完全にサポートしています。詳細については、GPU での MATLAB 関数の実行 (Parallel Computing Toolbox)を参照してください。

分散配列

Parallel Computing Toolbox™ を使用して、クラスターの結合メモリ上で大きなアレイを分割します。

この関数は分散配列を完全にサポートしています。詳細については、分散配列を使用した MATLAB 関数の実行 (Parallel Computing Toolbox)を参照してください。

参考

gamma | gammainc | gammaln | psi

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