psi

ディガンマ関数とポリガンマ関数

構文

Y = psi(X)

Y = psi(k,X)

説明

Y = psi(X) は、配列 X の各要素についてディガンマ関数を評価します。各要素は非負の実数でなければなりません。

Y = psi(k,X) は、X のポリガンマ関数を評価します。これは、X のディガンマ関数の k 次導関数です。したがって、psi(0,X) はディガンマ関数、psi(1,X) はトリガンマ関数、psi(2,X) はテトラガンマ関数のようになります。

例

オイラー・マスケローニ定数の評価

psi 関数を使用して、オイラーの定数とも呼ばれるオイラー・マスケローニ定数 $$\gamma$$ を評価します。

format long
Y = -psi(1)

Y = 
   0.577215664901532

トリガンマ関数の評価

2 のトリガンマ関数を評価します。

format long
Y1 = psi(1,2)

Y1 = 
   0.644934066848226

結果が $${\pi }^2/6-1$$ と等しくなることを確認します。

Y2 = pi^2/6 - 1

Y2 = 
   0.644934066848226

isequal(Y1,Y2)

ans = logical
   1

ディガンマ関数とポリガンマ関数のプロット

領域を定義します。

X = 0:0.05:5;

ディガンマ関数と次の 3 つのポリガンマ関数を計算します。

Y = zeros(4,101);
for i = 0:3
    Y(i+1,:) = psi(i,X);
end

ディガンマ関数と次の 3 つのポリガンマ関数をプロットします。

plot(X,Y)
axis([0 5 -10 10])
legend('\psi','\psi_1','\psi_2','\psi_3','Location','Best')
title('Digamma and The Next Three Polygamma Functions','interpreter','latex')
xlabel('$x$','interpreter','latex')
ylabel('$\psi_k(x)$','interpreter','latex')

入力引数

X — 入力

スカラー | ベクトル | 行列 | 多次元配列

入力。非負の実数のスカラー、ベクトル、行列、または多次元配列として指定します。X をスパースにすることはできません。

データ型: single | double

k — 導関数の次数

非負の整数スカラー

導関数の次数。非負の整数スカラーとして指定します。k は 2³¹-1 より小さくなければなりません。

データ型: single | double

詳細

ディガンマ関数

ディガンマ関数は、関数gammaの対数の 1 次導関数です。

$$\psi \left(x\right)=\frac{d}{dx}\ln \Gamma \left(x\right)=\frac{{\Gamma }^{\prime }\left(x\right)}{\Gamma \left(x\right)}.$$

ポリガンマ関数

次数 k のポリガンマ関数は、ガンマ関数の対数の (k + 1) 次導関数です。

$${\psi }^{\left(k\right)}\left(x\right)=\frac{d^{k+1}}{d{x}^{k+1}}\ln \Gamma \left(x\right)=\frac{d^k}{d{x}^k}\psi \left(x\right).$$

参照

[1] Abramowitz, M. and I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, 1965, Sections 6.3 and 6.4.

拡張機能

tall 配列

メモリの許容量を超えるような多数の行を含む配列を計算します。

この関数は tall 配列を制限付きでサポートしています。

構文 Y = psi(k,X) では、導関数の次数 k は非 tall スカラーでなければなりません。

詳細については、メモリに収まらないデータの tall 配列を参照してください。

C/C++ コード生成

MATLAB® Coder™ を使用して C および C++ コードを生成します。

使用上の注意および制限:

• 厳密な単精度計算はサポートされていません。生成されたコードでは、単精度入力で単精度出力が生成されます。ただし、関数内の変数は倍精度である可能性があります。

スレッドベースの環境

MATLAB® の backgroundPool を使用してバックグラウンドでコードを実行するか、Parallel Computing Toolbox™ の ThreadPool を使用してコードを高速化します。

この関数はスレッドベースの環境を完全にサポートしています。詳細については、スレッドベースの環境での MATLAB 関数の実行を参照してください。

GPU 配列

Parallel Computing Toolbox™ を使用してグラフィックス処理装置 (GPU) 上で実行することにより、コードを高速化します。

psi 関数は、GPU 配列を完全にサポートします。GPU 上で関数を実行するには、入力データを gpuArray (Parallel Computing Toolbox) として指定します。詳細については、GPU での MATLAB 関数の実行 (Parallel Computing Toolbox)を参照してください。

分散配列

Parallel Computing Toolbox™ を使用して、クラスターの結合メモリ上で大きなアレイを分割します。

この関数は分散配列を完全にサポートしています。詳細については、分散配列を使用した MATLAB 関数の実行 (Parallel Computing Toolbox)を参照してください。

バージョン履歴

R2006a より前に導入

参考

gamma | gammainc | gammaln