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ベータ分布

概要

ベータ分布は、区間 [0,1] でのみ非ゼロになる曲線群として表されます。関数のより一般的なものは、区間の両端にパラメーターを割り当てるものです。

Statistics and Machine Learning Toolbox™ には、ベータ分布を操作する方法がいくつか用意されています。次のアプローチを使用して、標本データからのパラメーターの推定、pdf、cdf および icdf の計算、乱数の生成などを行うことができます。

  • 確率分布オブジェクトで標本データを近似するか、パラメーター値を指定して確率分布オブジェクトを作成する。詳細は、Using BetaDistribution Objects を参照してください。

  • 確率密度関数を使用して、行列、テーブル およびデータセット配列から入力したデータを操作する。ベータ分布関数の一覧については、サポートされている分布を参照してください。

  • アプリまたはユーザー インターフェイスを使用して対話的に分布から乱数を生成、近似、調査および生成する。

これらの各オプションについての詳細は、確率分布の操作を参照してください。

パラメーター

ベータ分布は、次のパラメーターを使用します。

パラメーター説明サポート
a最初の形状パラメーターa>0
b2 番目の形状パラメーターb>0

確率密度関数

ベータ関数の確率密度関数 (pdf) は次のようになります。

y=f(x|a,b)=1B(a,b)xa1(1x)b1I[0,1](x)

ここで、B( · ) はベータ関数です。インジケーター関数 I[0,1](x) は、"x" の値が [0,1] の範囲にある場合のみ非ゼロの確率になることを保証します。

例については、ベータ分布の pdf のプロットを参照してください。

累積分布関数

x が与えられ、a および b のペアが与えられている場合、ベータ累積分布関数は次の式で表されます。

p=F(x|a,b)=1B(a,b)0xta1(1t)b1dt

ここで、B( · ) はベータ関数です。ベータ累積分布関数は、不完全ベータ関数と同じです。

ベータ分布の pdf のプロット

ベータ分布のパラメーターの値を変更して、確率分布関数 (pdf) の形状に変化を加えます。

3 つのベータ分布の pdf を計算します。1 つは形状パラメーター "a" および "b" が 0.75 で、1 つはパラメーターが 1 で、もう 1 つはパラメーターが 4 です。

x = 0:0.01:1;
y1 = betapdf(x,0.75,0.75);
y2 = betapdf(x,1,1);
y3 = betapdf(x,4,4);

3 つの pdf をプロットします。

plot(x,y1)
hold on
plot(x,y2)
plot(x,y3)
legend(["a = b = 0.75","a = b = 1","a = b = 4"]);
hold off

Figure contains an axes object. The axes object contains 3 objects of type line. These objects represent a = b = 0.75, a = b = 1, a = b = 4.

一定値の pdf (平らな線) をもつ標準一様分布は、ベータ分布の特殊なケースを示しています。これは、パラメーター "a" および "b" が 1 と等しい場合に発生します。

ベータ分布のパラメーターの推定

ベータ分布のパラメーターの最尤推定量 (MLE) を計算します。

尤度関数を最大にする方法は、パラメーターの推定でよく使用される手法です。尤度関数は、ベータ確率分布関数 (pdf) と同じ形式をしています。ただし、pdf において、パラメーターは既知の定数であり、変数は x です。尤度関数は、この関係が逆になります。つまり、標本値 (x の値) が既に観測されていて固定の定数であり、変数が未知のパラメーターです。最尤推定法では、あるデータ集合において、尤度が最も高くなるパラメーターの値を計算します。

"a" が 5、"b" が 0.2 に等しいベータ分布から 100 個の乱数を生成します。関数 betafit は、ベータ分布のパラメーターについて、最尤推定と信頼区間を出力します。

rng("default") % For reproducibility
r = betarnd(5,0.2,100,1);
[phat, pci] = betafit(r)
phat = 1×2

    7.4911    0.2135

pci = 2×2

    5.0861    0.1744
   11.0334    0.2614

パラメーター "a" の MLE は 7.4911 です。"a" の 95% 信頼区間の範囲は 5.0861 から 11.0334 で、真の値 5 が含まれていません。この結果になる確率は高くありませんが、分布パラメーターの推定時に発生することがあります。

パラメーター "b" の MLE は 0.2135 です。"b" の 95% 信頼区間の範囲は 0.1744 から 0.2614 で、真の値 0.2 が含まれています。

関連する分布

ベータ分布は、t 分布と機能的に関係があります。Y が自由度 ν のスチューデントの t 分布からの観測値である場合、次の変換はベータ分布する X を生成します。

X=12+12Yν+Y2

Y~t(v) の場合、Xβ(ν2,ν2) になります。

t 分布する乱数を生成する場合や t 累積分布関数と逆関数の値を計算する場合にこの関係が使用されます。

参考

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