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指数分布

定義

指数確率密度関数は、次の式で表されます。

y=f(x|μ)=1μexμ

背景

カイ二乗分布と同じように、指数分布はガンマ分布の特別な場合です (a = 1 に設定することにより得られます)。

y=f(x|a,b)=1baΓ(a)xa1exb

ここで、Γ( · ) はガンマ関数です。

指数分布は、時間に関して無作為に生じる事象をモデリングするユーティリティです。主に寿命の研究に使われています。

パラメーター

耐久テストを行ったときの電球の寿命データについて考えてみましょう。電球の寿命は、指数分布に従うと仮定します。平均的な電球は、どのくらい長もちするかを調べることにします。この場合、パラメーター推定は、ある判断基準上で、最も適切な指数分布のパラメーターを決めるプロセスです。

値の適合度合の規範として、一般的なものの 1 つは、尤度関数を最大にすることです。尤度は、上記の指数確率密度関数と同じ型をしています。しかし、確率密度関数において、パラメーターは既知の定数であり、変数は x です。尤度関数は、この関係が逆になります。この場合、標本値 (x の値) は、既に観測されています。それらの値は、固定された定数です。変数は未知パラメーターです。最尤推定 (MLE) は、ある特定のデータを与えられたとき、最尤を与えるパラメーターを計算するプロセスです。

関数 expfit は、最尤推定と指数分布のパラメーターの信頼区間を出力します。これは、µ = 700 の指数分布から発生させた乱数を使った例です。

lifetimes = exprnd(700,100,1);
[muhat, muci] = expfit(lifetimes)
muhat =

  672.8207

muci =

  547.4338
  810.9437

パラメーター µ の最尤推定量は 672 であり、真の値は 700 です。µ の 95% 信頼区間は 547 ~ 811 であり、真の値が含まれています。

寿命テストにおいて、µ の真の値を知ることはできませんので、真の値が存在するであろう範囲を与えるパラメーターの信頼区間を知ることは大切です。

指数分布した寿命のデータ

指数分布した寿命では、ある個体が生き残る確率は、個体の現在の年齢とは独立しています。次の例は、この特性をもつ特別な場合を示しています。

l = 10:10:60;
lpd = l+0.1;
deltap = (expcdf(lpd,50)-expcdf(l,50))./(1-expcdf(l,50))
deltap =
    0.0020    0.0020    0.0020    0.0020    0.0020    0.0020

指数分布の確率密度関数の計算

パラメーター mu = 2 を使用して指数分布の確率密度関数を計算します。

x = 0:0.1:10;
y = exppdf(x,2);

確率密度関数をプロットします。

figure;
plot(x,y)

参考

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