パラメトリック近似

ライブラリモデルによるパラメトリック近似

パラメトリック近似では、データの近似に使用する 1 つ以上のモデルの係数 (パラメーター) を求める必要があります。データは統計的性質をもっていると仮定し、次の 2 つの成分に分けます。

"データ" = "確定的な成分" + "ランダムな成分"

確定的な成分はパラメトリックモデルによって与えられ、ランダムな成分は多くの場合、データに関連する誤差として説明されます。

"データ" = "パラメトリックモデル" + "誤差"

モデルは、独立 (予測子) 変数と 1 つ以上の係数から成る関数です。誤差は、特定の確率分布 (通常はガウス分布) に従うデータのランダムな変動を表します。この変動は、さまざまなソースから生じる可能性があり、測定データを扱う場合はある程度必ず存在します。体系的な変動が存在する場合もあり、これが原因で、データを適切に表現できない近似モデルが得られる場合があります。

多くの場合、モデル係数には物理的な意味があります。たとえば、放射性核種の単独崩壊モードに対応するデータを収集し、崩壊の半減期 (T_1/2) を推定する必要があるとします。放射性崩壊の法則によると、放射性物質の活性は時間と共に指数関数的に減衰します。したがって、近似に使用するモデルは次で与えられます

$y = y_{0} e^{- λ t}$

ここで、y₀ は時刻 t = 0 における原子核の数、λ は崩壊定数です。データは次のように表すことができます。

$data = y_{0} e^{- λ t} + error$

y₀ と λ はどちらも近似によって推定される係数です。T_1/2= ln(2)/λ であるため、崩壊定数の近似値から半減期の近似が得られます。ただし、データには誤差が含まれているため、方程式の確定的な成分はデータから正確には決定できません。そのため、係数と半減期の計算には、それらに関連する不確定性が存在します。この不確定性を許容できる場合、データの近似は終了です。不確定性を許容できない場合は、データを追加で収集するか測定誤差を減らして新しいデータを収集し、モデル近似を繰り返すことにより、不確定性を減らす手段を講じる必要があると考えられます。

モデルを決定する理論が存在しないその他の問題では、項を追加または削除してモデルを変更するか、まったく異なるモデルに置き換えることもできます。

以降の節では、Curve Fitting Toolbox™ のパラメトリックライブラリモデルについて説明します。

モデルタイプの選択

モデルタイプの対話的な選択

MATLAB^® コマンドラインで curveFitter と入力して曲線フィッターアプリを開きます。または、[アプリ] タブの [数学、統計および最適化] グループで [曲線フィッター] をクリックします。

曲線フィッターアプリで、[曲線フィッター] タブの [近似タイプ] セクションに移動します。近似ギャラリーからモデルタイプを選択できます。矢印をクリックしてギャラリーを開きます。

Fit Type model gallery

次の表は、曲線および曲面に関して当てはめることができるモデルを説明しています。

近似グループ	近似カテゴリ	曲線	曲面
回帰モデル	多項式	あり (最大次数 9)	あり (最大次数 5)
	指数	あり	なし
	フーリエ	あり	なし
	ガウス	あり	なし
	べき乗	あり	なし
	有理	あり	なし
	正弦波の和	あり	なし
	ワイブル	あり	なし
内挿	内挿	あり (以下の手法を使用) 最近傍線形 3 次形状維持 (PCHIP)	あり (以下の手法を使用) 最近傍線形 3 次重調和薄板スプライン
平滑化	平滑化スプライン	あり	なし
平滑化	Lowess	なし	あり
カスタム	カスタム式	あり	あり
カスタム	カスタム線形近似	あり	なし

[結果] ペインには、モデル仕様、係数の値、適合度の統計量が表示されます。

ヒント

近似に問題がある場合は、[結果] ペインのメッセージを参考に適切な設定を特定します。

曲線フィッターアプリにはさまざまな近似タイプと設定が用意されており、[近似オプション] ペインでそれらを変更して近似の改良を試みることができます。最初に既定の設定を試してから、その他の設定を試してください。利用可能な近似オプションを使用する方法の詳細については、近似オプションと最適化された開始点の指定を参照してください。

1 つの近似に対してさまざまな設定を試したり、複数の近似を作成して比較したりできます。曲線フィッターアプリで複数の近似を作成すると、さまざまな近似タイプおよび設定を並べて比較できます。詳細は、曲線フィッターアプリにおける複数の近似の作成を参照してください。

モデルタイプのプログラムによる選択

関数 fit を呼び出すときに、ライブラリモデル名を文字ベクトルまたは string スカラーとして指定できます。たとえば、次のように 2 次 poly2 モデルを指定できます。

f = fit(x,y,"poly2")

利用可能なライブラリモデル名をすべて確認するには、曲線近似または曲面近似のライブラリモデルのリストを参照して利用可能なモデル名をすべて表示してください。

関数 fittype を使用してライブラリモデルの fittype オブジェクトを構築し、この fittype を関数 fit の入力として使用することもできます。

次のように関数 fitoptions を使用して、設定できるパラメーターを確認できます。

fitoptions(poly2)

例については、モデルタイプの対話的な選択の表にリストされている各モデルタイプの節を参照してください。モデルを作成および解析するすべての関数の詳細については、曲線近似および曲面近似を参照してください。

データのセンタリングとスケーリング

曲線フィッターアプリの近似の多くには、[近似オプション] ペインに [データのセンタリングとスケーリング] オプションが用意されています。このオプションを選択すると、センタリングおよびスケーリングされたデータにモデルが再度当てはめられます。コマンドラインでは、関数 fitoptions を、Normalize オプションを 'on' に設定して使用します。

スケールが異なる変数の数値的な問題を緩和するには、入力データ ("予測子データ" とも呼ばれる) を正規化します。たとえば、曲面近似の入力が毎分 500 ～ 4500 回転の範囲のエンジンスピードと 0 ～ 1 の範囲のエンジン負荷率であるとします。この場合、2 つの入力間でスケールが大きく異なるため、通常 [データのセンタリングとスケーリング] により近似が改善されます。ただし、入力が同じ単位または同じスケール (地理的データの東距と北距など) である場合は、[データのセンタリングとスケーリング] はあまり役に立ちません。このオプションで入力を正規化すると、近似係数の値も元のデータに比べて変化します。

曲線近似または曲面近似で係数を推定する場合または係数に物理的な意味がある場合は、[データのセンタリングとスケーリング] チェックボックスをオフにしてください。曲線フィッターアプリのプロットでは、[データのセンタリングとスケーリング] の状態にかかわらず、元のスケールが使用されます。

コマンドラインで近似の前にデータをセンタリングおよびスケーリングするには、関数 fitoptions を、options.Normal を 'on' に設定して使用し、options 構造体を作成します。その後、指定されたオプションで関数 fit を使用します。

options = fitoptions;
options.Normal = 'on';
options
options =
    Normalize: 'on'
    Exclude: [1x0 double]
    Weights: [1x0 double]
    Method: 'None'

load census
f1 = fit(cdate,pop,"poly3",options)

近似オプションと最適化された開始点の指定

曲線フィッターアプリの近似オプション

曲線フィッターアプリでは、近似オプションを [近似オプション] ペインから対話的に指定できます。[内挿] および [平滑化スプライン] を除くすべての近似に、構成変更可能な近似オプションがあります。利用可能なオプションは、選択している近似 (線形近似か、非線形近似か、ノンパラメトリック近似か) によって異なります。

ここで説明しているオプションは、非線形モデルに利用可能なものです。
[下限] および [上限] の係数制約は、[多項式] 近似の [近似オプション] ペインで利用可能な唯一の近似オプションです。
ノンパラメトリック近似 (つまり、[内挿] 近似、[平滑化スプライン] 近似、[局所回帰平滑化 (Lowess)] 近似) には [詳細オプション] はありません。

ここでは、単項 [指数] 近似の [近似オプション] ペインを示します。[係数の制約] の値は、census データのものです。

Fit Options pane showing Advanced Options for exponential fit

これらの近似オプションの詳細については、関数 lsqcurvefit (Optimization Toolbox) を参照してください。

最適化された開始点と既定の制約

[近似タイプ] ペイン内の近似について、既定の係数開始点および制約を次の表に示します。開始点が最適化される場合、開始点は現在のデータセットに基づいて経験則的に計算されます。ランダムな開始点は区間 [0 1] で定義され、線形モデルには開始点が必要ありません。モデルに制約がない場合、係数には下限も上限もありません。既定の開始点と制約をオーバーライドするには、[近似オプション] ペインで独自の値を指定します。

近似	開始点	制約
`線形近似`	該当なし	なし
`カスタム式`	ランダム	なし
`指数`	最適化済み	なし
`フーリエ`	最適化済み	なし
`ガウス`	最適化済み	c_i > 0
`多項式`	該当なし	なし
`べき乗`	最適化済み	なし
`有理`	ランダム	なし
`正弦波の和`	最適化済み	b_i > 0
`ワイブル`	ランダム	a, b > 0

[正弦波の和] 近似および [フーリエ] 近似は開始点の影響を特に受けやすく、また、最適化された値が対応する方程式の少数の項についてしか正確ではない場合があることに注意してください。

コマンドラインでの近似オプションの指定

既定の近似オプションの構造体を作成し、近似する前にデータをセンタリングおよびスケーリングするオプションを設定します。

options = fitoptions;
options.Normal = 'on';
options
options =
    Normalize: 'on'
    Exclude: [1x0 double]
    Weights: [1x0 double]
    Method: 'None'

Normalize、Exclude または Weights フィールドを設定してから、さまざまな近似法で同じオプションを使用してデータを近似する場合、既定の近似オプションの構造体を変更すると便利です。以下に例を示します。

load census
f1 = fit(cdate,pop,"poly3",options);
f2 = fit(cdate,pop,"exp1",options);
f3 = fit(cdate,pop,"cubicsp",options);

データ依存の近似オプションが関数 fit の 3 番目の出力引数として返されます。たとえば、平滑化スプラインの平滑化パラメーターはデータに依存します。

[f,gof,out] = fit(cdate,pop,"smooth");
smoothparam = out.p
smoothparam =
    0.0089

近似オプションを使用して、新しい近似用に既定の平滑化パラメーターを変更できます。

options = fitoptions("Method","Smooth","SmoothingParam",0.0098);
[f,gof,out] = fit(cdate,pop,"smooth",options);

近似オプションの使用方法の詳細については、関数 fitoptions を参照してください。