内挿法

"内挿" は既知のデータ点間に位置する値を推定するプロセスです。

内挿は、f(x_i) = y_i (すべての i について) の意味で、与えられた "データサイト" x_i において与えられた "データ値" y_i に一致する関数 f の作成を必要とします。

内挿 f は通常、次の形式の一意の関数として作成されます。

$f (x) = \sum_{j} f_{j} (x) a_{j}$

これは、関数 f_j が "適切に" 選択されている場合は、与えられたデータに一致します。

スプライン内挿では、f_j が n 個の連続 B スプライン B_j(x) = B(x|t_j,...,t_j+k), j = 1:n (節点シーケンス t₁ ≤ t₂ ≤ ... ≤ t_{n + k} の場合に次数 k) になるように選択します。

内挿法について

手法	説明
線形	線形内挿。この手法では、曲線のデータの各 2 点間または曲面の各 3 点間を異なる線形多項式で近似します。
最近傍	最近傍内挿。この手法では、内挿される点の値を最も近いデータ点の値に設定します。そのため、この手法では新しいデータ点は生成されません。
3 次スプライン	3 次スプライン内挿。この手法では、曲線のデータの各 2 点間または曲面の各 3 点間に異なる 3 次多項式を使って当てはめます。
形状維持	区分的 3 次エルミート内挿 (PCHIP)。この手法では、データの単調性と形状が維持されます。曲線専用です。
重調和 (v4)	MATLAB^® 4 `griddata` メソッド。曲面専用です。
薄板スプライン	薄板スプライン内挿。この手法は、適切に外挿することもできる滑らかな曲面で近似します。曲面専用です。

曲面の場合、内挿近似タイプは線形法および最近傍法では MATLAB の関数 scatteredInterpolant を使用し、3 次法および重調和法では MATLAB の関数 griddata を使用します。薄板スプライン法では関数 tpaps を使用します。

使用する内挿のタイプは、近似するデータの特性、曲線に求める滑らかさ、速度の考慮、近似後の解析の要件などにより異なります。線形法および最近傍法は高速ですが、結果として得られる曲線はあまり滑らかではありません。3 次スプライン法、形状維持法、v4 法は低速ですが、結果として得られる曲線は非常に滑らかです。

例として、ファイル carbon12alpha.mat の核反応データを最近傍内挿近似と形状維持 (PCHIP) 内挿近似と共に示します。明らかに、最近傍内挿は形状維持内挿ほど適切にはデータに従っていません。内挿する場合、これら 2 つの近似の違いが重要になる場合があります。ただし、データを積分して反応の総強度を把握する必要がある場合は、妥当な積分ビン幅に対してどちらの近似もほぼ同じ答えを与えます。

メモ:

内挿では適合度の統計量、予測限界、重みは定義されません。また、内挿はデータ点を通過するため、近似の残差は (コンピューター精度の範囲内で) 常に 0 です。

内挿は "区分的多項式" として定義されます。これは、近似曲線が多数の "区分" で構築されるためです (放射基底関数内挿である、曲面の [重調和] を除く)。3 次スプラインおよび PCHIP 内挿の場合、各区分は、3 次多項式を使用して計算される 4 つの係数で記述されます。

3 次スプライン内挿の詳細については、関数 spline を参照してください。
形状維持内挿の詳細および 2 つの手法の比較については、関数 pchip を参照してください。
曲面内挿の詳細については、関数 scatteredInterpolant、griddata、tpaps を参照してください。

データ点数より次数が 1 小さい単一の "グローバル" 多項式内挿を使ってデータに当てはめることができます。ただし、そのような近似はデータ点間で振る舞いが非常に不安定になります。これに対し、ここで説明する区分的多項式は適切に振る舞う近似を常に生成するため、パラメトリック多項式よりも柔軟であり、より幅広いデータセットで効果的に使用することができます。

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