低次元化モデル

低次元化モデリング (ROM) やモデル次数の低次元化 (MOR) は、コンピューター モデルの計算量やストレージ要件を軽減しつつ、期待される忠実度を制御された誤差の範囲内で維持する手法です。サロゲートモデルを使用することで、解析や制御設計を簡略化できます。

科学者やエンジニアは、システムレベルのシミュレーション、制御システムの設計、製品設計の最適化、デジタルツイン アプリケーションの構築などに ROM の手法を利用しています。MATLAB^®、Simulink^®、アドオン製品により、さまざまな低次元化モデリング手法を用いて正確な ROM を構築できます。

低次元化モデリングを使用する理由

大規模で忠実度の高い非線形モデルでは、シミュレーションに数時間から数日かかることもあります。システムの解析や設計には、数千回から数十万回のシミュレーションが必要であるため、計算上の大きな課題となっています。また、複雑なモデルを線形化すると、忠実度が高くても、アプリケーションの対象のダイナミクスに寄与しない状態を含むモデルになる可能性があります。

このような場合、低次元化モデリング手法を使用することで、大規模な高次システムのシミュレーションや解析を大幅に高速化できます。モデルの精度と計算量の削減をトレードオフすることで、この高速化を実現できます。精度の引き下げは、周波数範囲、精度の許容誤差のほか、そのアプリケーションの重要な特性に基づいて決定します。また、低次元化モデリングは、複数の複雑なコンポーネントレベルのシミュレーション モデルを組み合わせて、制御解析や設計用のシステムレベル シミュレーションを行う場合にも有効です。

さらに、低次元化モデリングを使用して、運用資産の現在の状態を表すデジタルツインを作成したり、複雑な物理モデルのリアルタイム シミュレーションを実行してハードウェア上でテストしたりすることもできます。

低次元化モデリングの手法

低次元化モデルの構築には、主にモデルベースとデータ駆動型の 2 種類の手法を使用します。

モデルベースの手法では、基礎となるモデルを数学的または物理的に理解していることが必要です。これらの手法の中には、構造力学のクレイグ-バンプトン法など、特定の PDE ベースのモデル用に設計されたものもあります。線形システム解析では、システムモデルの簡略化に線形化、線形パラメーター変動モデル、平衡化打ち切りや極-零点の簡略化などの手法がよく使用されています。

データ駆動型は、忠実度が高い元の第一原理モデルから取得した入出力データを使用して、基礎となるシステムを正確に表現する ROM を構築する手法です。データ駆動型 ROM には、静的モデルと動的モデルがあります。曲線近似やルックアップテーブルなどの手法は、静的 ROM の作成に有効です。動的 ROM は、Deep Learning Toolbox™ で利用可能な LSTM、フィードフォワード ニューラル ネット、ニューラル ODE などのディープラーニング手法を利用して開発できます。動的 ROM を構築する他の手法としては、System Identification Toolbox を使用した非線形 ARX や Hammerstein-Wiener モデルが挙げられます。非線形 ARX モデルでは、Statistics and Machine Learning Toolbox で利用可能な機械学習アルゴリズムに基づく回帰関数を使用できます。

モデルベースやデータ駆動型の低次元化モデルを作成する際に、エンジニアはどのようなトレードオフによってモデルを高速化するかを判断する必要があります。例えば、モデルベース ROM を作成する際には、低次元化されたモデルで特定の周波数を超えるシステムダイナミクスを除外する必要が生じる場合があります。極端な例は、低次元化されたモデルが定常状態のシステム挙動のみを捉える場合です。データ駆動型 ROM を作成する場合、エンジニアはモデルの物理的な考察を犠牲にすることになります。また、最適な ROM 手法のタイプはアプリケーションによって異なります。