信号アナライザーでのスペクトル計算

信号のスペクトルを計算するため、信号アナライザーは信号の全長で達成可能なスペクトル分解能と、膨大な FFT を計算することから生じるパフォーマンス上の制限との間の妥協点を見つけます。

すべての信号を解析して得られる解像度が達成可能な場合、アプリは調整可能なカイザーウィンドウを使用して、信号全体の単一の修正ピリオドグラムを計算します。
すべての信号を解析して得られる解像度が達成可能でない場合、アプリはウェルチピリオドグラムを計算します。信号をオーバーラップセグメントに分割し、各セグメントにカイザーウィンドウを適用して、セグメントのピリオドグラムを平均します。

スペクトルウィンドウ処理

実際の信号はいずれも有限の時間に対してのみ測定可能です。この事実は、信号が周期的または無限長のいずれかであることを前提とする、フーリエ解析に無視できない影響をもたらします。異なる信号サンプルに異なる重みを割り当てることで構成される "スペクトルウィンドウ処理" は、有限サイズの影響をシステマチックに処理します。

信号をウィンドウ処理する最も簡単な方法は、測定間隔外は等しくゼロであり、すべてのサンプルが等しく重要であると仮定することです。この "箱型ウィンドウ" には、両端にスペクトルリンギングをもたらす不連続のジャンプがあります。その他のスペクトルウィンドウはすべて両端が細くなっており、信号のエッジに近づくにつれて、より小さい重みをサンプルに割り当てることで、この影響を小さくします。

ウィンドウ処理には常に、分解能の改善と漏れの低減という相反する目的の間で妥協することが伴います。

"分解能" は、信号エネルギーが周波数空間にどのように分布しているかを正確に把握するための能力です。理想的な分解能のスペクトルアナライザーは、信号内に存在する 2 つの異なるトーン (基本的な正弦波) を、周波数がどれほど近くても識別できます。量的には、この能力はウィンドウの変換のメインローブの幅に関係します。
"漏れ" は、有限の信号で、すべての周波数成分が周波数範囲全体にわたってエネルギー量を投影することです。スペクトル内の漏れの量は、隣接する強いトーンの存在下で、ノイズから弱いトーンを検出する能力によって測定できます。量的には、この能力はウィンドウの周波数変換のサイドローブレベルに関係します。

分解能を高くすると、漏れも高くなります。その逆も同様です。範囲の一方の端で、箱型ウィンドウのメインローブは可能な限り狭くなり、サイドローブは最も高くなります。このウィンドウは、近接したトーンが同様のエネルギー量を持つ場合は分解できますが、そうでない場合は、より弱いトーンを見つけることに失敗します。もう一方の端で、高いサイドローブ抑制を持つウィンドウに広いメインローブがあり、ここでは近い周波数がかたまって不鮮明になります。

信号アナライザーはカイザーウィンドウを使用してウィンドウ処理を実行します。カイザーウィンドウの場合、メインローブによって取得された信号エネルギーの比率は、調整可能な "形状係数" β に最大に依存します。形状係数の範囲は、箱型ウィンドウに対応する β = 0 から、広いメインローブが倍精度で表現可能なスペクトルエネルギーを基本的にすべて取得する β = 40 までです。β ≈ 6 の中間値はハンウィンドウを正確に近似します。β を制御するには、[スペクトル] および [スペクトログラム] タブの [漏れ] スライダーを使用します。スライダーを使用して漏れに ℓ を設定した場合、ℓ と β は β = 40(1 – ℓ) と関連しています。詳細は、kaiser を参照してください。

時間領域における β = 5.7 の 51 点ハンウィンドウおよび 51 点カイザーウィンドウ

周波数領域における β = 5.7 の 51 点ハンウィンドウおよび 51 点カイザーウィンドウ

パラメーターとアルゴリズムの選択

所定のディスプレイに表示される信号のスペクトルを計算するため、信号アナライザーは最初に、2 つのトーンが分解可能なままどのくらい近接できるかを測定する、"分解能帯域幅" を決定します。分解能帯域幅には、次の理論値があります。

${RBW}_{theory} = \frac{ENBW}{t_{\max} - t_{\min}} .$

t_max – t_min ("レコード長") は、選択した信号領域の時間領域の持続時間です。
パナーを使用して、レコード長または関心領域を選択して調整します。同様に、時間領域プロットでズームインしたり、[時間] タブで制限を変更することができます。
ENBW はスペクトルウィンドウの "等価ノイズ帯域幅" です。詳細は、enbw を参照してください。
[スペクトル] タブで [漏れ] スライダーを使用して、ENBW を制御します。スライダー範囲の最小値は、β = 40 のカイザーウィンドウに対応します。最大値は、β = 0 のカイザーウィンドウに対応します。

しかし実際には、アプリは分解能を低くする可能性があります。分解能を低くすることで、合理的な時間でスペクトルを計算して、限りのあるピクセル数で表示できるようにします。これらの実用的な理由から、アプリが使用できる最も低い分解能帯域幅は

${RBW}_{performance} = 4 \times \frac{f_{span}}{4096 - 1},$

です。

ここで、f_span は、[スペクトル] タブの [周波数範囲] の値を設定することで指定された周波数範囲の幅です。周波数範囲を指定しない場合、アプリは、表示領域内のすべての信号の中で最大サンプルレートを f_span として使用します。RBW_performance は調整できません。

信号のスペクトルを計算するため、アプリは 2 つの値の大きい方を選択します。

$RBW = \max ({RBW}_{theory}, {RBW}_{performance}) .$

この "ターゲット分解能帯域幅" は、[スペクトル] タブに表示されます。

分解能帯域幅が RBW_theory の場合、信号アナライザーは信号全体に対して単一の "修正ピリオドグラム" を計算します。アプリは、カイザーウィンドウとスライダー制御の形状係数を使用して、座標軸の時間範囲が信号の持続時間を超える場合にゼロパディングを適用します。詳細は、periodogram を参照してください。
分解能帯域幅が RBW_performance の場合、信号アナライザーは信号に対して "ウェルチピリオドグラム" を計算します。アプリは以下を行います。
1. 信号をオーバーラップセグメントに分割する。
2. カイザーウィンドウと指定した形状係数を使用して、各セグメントを個別にウィンドウ処理する。
3. すべてのセグメントのピリオドグラムを平均化する。
ウェルチの手続きは、オーバーラップセクションによって指定された信号の異なる "実現" を平均化し、ウィンドウを使用して冗長データを除去することでスペクトル推定の分散を軽減するために設計されています。詳細については、pwelch を参照してください。
- 各セグメント (または同等のウィンドウ) の長さは以下を使用して比較されます。
  
  $Segment length = \frac{\max (f_{Nyquist}) \times ENBW}{RBW},$
  ここで、max(f_Nyquist) は表示領域内のすべての信号の中で最も高いナイキスト周波数です。(エイリアシングがない場合、ナイキスト周波数はサンプルレートの 1/2 になります)。
- 1 歩の長さは、初期推定値
  
  $Stride length \equiv Segment length - Overlap = \frac{Segment length}{2 \times ENBW - 1},$
  を調整して、最初のウィンドウが正確に最初のセグメントの最初のサンプルで開始され、最後のウィンドウが正確に最後のセグメントの最後のサンプルで終わるようにすることで求められます。

ズーム機能

[表示] タブのいずれかのズーム操作を使用して信号スペクトルの領域にズームインすると、アプリは分解能帯域幅を変更しません。代わりに、信号アナライザーは帯域制限された内挿を使用して滑らかなスペクトル曲線を表示する光学ズームを実行します。

信号の時間領域でのズームインは、パナーでレコード長または関心領域を設定することと同じです。

選択した時間間隔が、信号の両端を超える場合、アプリは信号をゼロパディングします。信号に選択した時間間隔内のサンプルがない場合、アプリは何も表示しません。

参照

[1] harris, fredric j. “On the Use of Windows for Harmonic Analysis with the Discrete Fourier Transform.” Proceedings of the IEEE^®. Vol. 66, January 1978, pp. 51–83.

[2] Welch, Peter D. “The Use of Fast Fourier Transform for the Estimation of Power Spectra: A Method Based on Time Averaging Over Short, Modified Periodograms.” IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics. Vol. 15, June 1967, pp. 70–73.