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カイ二乗分布

概要

カイ二乗分布は仮説検定で一般的に使用され、特に、適合度についてはカイ二乗検定が利用されます。

パラメーター

カイ二乗分布は、次のパラメーターを使用します。

パラメーター説明サポート
ν自由度ν は正の値

確率密度関数

確率密度関数 (pdf) は次のようになります。

y=f(x|ν)=x(ν2)/2ex/22ν2Γ(ν/2)

ここで Γ( · ) はガンマ関数、ν は自由度で、x ≥ 0 です。

累積分布関数

累積分布関数 (cdf) は次のようになります。

p=F(x|ν)=0xt(ν2)/2et/22ν/2Γ(ν/2)dt

ここで Γ( · ) はガンマ関数、ν は自由度で、x ≥ 0 です。

記述統計

平均は ν です。

分散は 2ν です。

他の分布との関係

χ2 分布はガンマ分布の特別なケースです。以下のガンマ分布を表す式では、b = 2 です。

y=f(x|a,b)=1baΓ(a)xa1exb

χ2 分布は、正規標本理論で重要であるため、特別に取り上げます。n 回の観測が分散 σ2 で正規分布に従っており、s2 が標本標準偏差であるとすると、次の式で表されます。

(n1)s2σ2χ2(n1)

この関係は、関数 normfit 内で推定の正規パラメーター σ2 の信頼区間を計算するために使用されます。

カイ二乗分布の確率密度関数の計算

自由度が 4 のカイ二乗分布の確率密度関数を計算します。

x = 0:0.2:15;
y = chi2pdf(x,4);

確率密度関数をプロットします。

figure;
plot(x,y)

カイ二乗分布は右側に歪みます。特に自由度が小さい場合にこの傾向が強くなります。

参考

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