非心カイ二乗分布

定義

非心カイ二乗分布には、同じ意味をもつ式の形式が多数あります。その中の 1 つは、第 1 種変更ベッセル関数を使います。また、一般化されたラゲールの多項式を使うものもあります。ポアソン分布の確率を重みとして χ² 確率に適応したものの和を使って、累積分布関数の値を計算します。ポアソン分布のパラメーターは、非心カイ二乗分布の非心度パラメーターの 1/2 になります。

$$F(x|\nu ,\delta )={\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }\left(\frac{{\left(\frac{1}{2}\delta \right)}^j}{j!}{e}^{\frac{-\delta }{2}}\right)}\mathrm{Pr}\left[{\chi }_{\nu +2j}^2\le x\right]$$

ここで、δ は非心度パラメーターです。

背景

χ² 分布は、非心カイ二乗分布の単純な特別な場合です。χ² 分布 (自由度 ν) の乱数を生成する方法として、標準正規乱数 (平均は 0) の ν の二乗和を求める方法があります。

正規分布に従っている量がゼロ以外の平均をもつ場合はどうでしょうか。これらの数の二乗和は、非心カイ二乗分布に従います。非心カイ二乗分布には、自由度と非心度の 2 つのパラメーターが必要です。非心度パラメーターは、正規分布に従っている量の平均二乗和です。

非心カイ二乗分布は、熱力学や信号処理に応用されます。この分野の文献では、非心カイ二乗分布を、ライス分布または一般化されたレイリー分布と呼んでいます。

例

非心カイ二乗確率密度関数の計算とプロット

自由度 4 と非心度パラメーター delta=2 を使用して、非心カイ二乗分布の確率密度関数 (pdf) を計算します。比較のため、同じ自由度をもつカイ二乗分布の確率密度関数も計算します。

x = 0:0.1:15;
nu = 4;
delta = 2;
ncx2 = ncx2pdf(x,nu,delta);
chi2 = chi2pdf(x,nu);

非心カイ二乗の pdf とカイ二乗の pdf を同じ Figure にプロットします。

figure
plot(x,ncx2,"b-",LineWidth=2)
hold on
grid on
plot(x,chi2,"r--",Linewidth=2)
xlabel("x")
ylabel("p")
legend("Noncentral chi-square pdf","Chi-square pdf")
hold off

参考

ncx2cdf | ncx2pdf | ncx2inv | ncx2stat | ncx2rnd | random

トピック

• 確率分布の操作
• サポートされている分布