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スチューデントの t 分布

概要

スチューデント t 分布は、1 つのパラメーター ν (自由度) に依存する曲線群です。

パラメーター

スチューデント t 分布は、次のパラメーターを使用します。

パラメーター説明
ν = 1, 2, 3,...自由度

確率密度関数

定義

スチューデントの t 分布の pdf (確率密度関数) は以下のようになります。

y=f(x|ν)=Γ(ν+12)Γ(ν2)1νπ1(1+x2ν)ν+12

ここで、ν は自由度、Γ( · ) はガンマ関数です。結果の y は、自由度が ν のスチューデント t 分布から x の特定の値を観測する確率です。

プロット

このプロットは、自由度のパラメーター ν の値の変化が、確率密度関数の形状にどのような変化を与えるかを示しています。tpdf を使用して、3 つの異なる ν 値について、0 から 10 までの x 値の確率密度関数を計算します。次に、3 つすべての確率密度関数を同じ図にプロットして、視覚的に比較します。

x = [0:.1:10];
y1 = tpdf(x,5);   % For nu = 5
y2 = tpdf(x,25);  % For nu = 25
y3 = tpdf(x,50);  % For nu = 50

figure;
plot(x,y1,'Color','black','LineStyle','-')
hold on
plot(x,y2,'Color','red','LineStyle','-.')
plot(x,y3,'Color','blue','LineStyle','--')
legend({'nu = 5','nu = 25','nu = 50'})
hold off

乱数発生

trnd を使用して、スチューデント t 分布から乱数を生成します。たとえば、以下では自由度 ν が 10 になるスチューデント t 分布からの乱数が生成されます。

nu = 10;
r = trnd(nu)
r = 1.0585

他の分布との関係

自由度 ν は無限大になるので、t 分布は標準正規分布に近づきます。

x が、平均 n の正規分布からのサイズ μ の無作為標本である場合、統計量は次の式で表されます。

t=x¯μs/n

ここで、x¯ は標本平均、s は標本標準偏差です。この統計量は、自由度が n - 1 のスチューデントの t 分布になります。

コーシー分布は、自由度 ν が 1 に等しいスチューデント t 分布です。コーシー分布では、平均と分散が定義されません。

累積分布関数

定義

スチューデント t 分布の cdf (累積分布関数) は以下のようになります。

p=F(x|ν)=xΓ(ν+12)Γ(ν2)1νπ1(1+t2ν)ν+12dt

ここで、ν は自由度、Γ( · ) はガンマ関数です。結果の p は、自由度が ν である t 分布による単一の観測値が区間 [–∞, x] に含まれる確率です。

プロット

このプロットは、パラメーター ν の値の変化が、累積分布関数の形状にどのような変化を与えるかを示しています。tcdf を使用して、3 つの異なる ν 値について、 0 から 10 までの x 値の累積分布関数を計算します。次に、3 つすべての累積分布関数を同じ図にプロットし、視覚的に比較します。

x = [0:.1:10];
y1 = tcdf(x,5);   % For nu = 5
y2 = tcdf(x,25);  % For nu = 25
y3 = tcdf(x,50);  % For nu = 50

figure;
plot(x,y1,'Color','black','LineStyle','-')
hold on
plot(x,y2,'Color','red','LineStyle','-.')
plot(x,y3,'Color','blue','LineStyle','--')
legend({'nu = 5','nu = 25','nu = 50'})
hold off

累積分布逆関数

tinv を使用して、スチューデント t 分布の累積分布逆関数を計算します。

p = .95;
nu = 50;
x = tinv(p,nu)
x = 1.6759

平均と分散

スチューデント t 分布の平均は、以下のとおりです。

mean=0

ただし、自由度 ν は 1 より大きい値です。ν が 1 に等しい場合、平均は定義されません。

スチューデント t 分布の分散は、以下のとおりです。

var=νν2

ただし、自由度 ν は 2 より大きい値です。ν が 2 以下の場合、分散は定義されません。

tstat を使用して、スチューデント t 分布の平均と分散を計算します。たとえば、以下では自由度 ν が 10 に等しいスチューデント t 分布の平均と分散を計算します。

nu = 10;
[m,v] = tstat(nu)
m = 0
v = 1.2500

スチューデントの t 分布と正規分布の確率密度関数の比較

スチューデントの t 分布は、単一のパラメーター ν (自由度) に依存する曲線族です。自由度 ν が無限大に近づくと、t 分布は標準正規分布に近づきます。パラメーター nu = 5 をもつスチューデントの t 分布とパラメーター nu = 25 をもつスチューデントの t 分布の pdf を計算します。標準正規分布の pdf を計算します。

x = -5:0.1:5;
y1 = tpdf(x,5);
y2 = tpdf(x,15);
z = normpdf(x,0,1);

スチューデントの t 分布の pdf と標準正規分布の pdf を、同じ Figure にプロットします。標準正規分布の pdf は、スチューデントの t 分布の pdf より裾が短くなっています。

plot(x,y1,'-.',x,y2,'--',x,z,'-')
legend('Student''s t Distribution with \nu=5', ...
    'Student''s t Distribution with \nu=25', ...
    'Standard Normal Distribution','Location','best')
title('Student''s t and Standard Normal pdfs')

参考

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関連する例

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