非心 "t" 分布

定義

非心 t 分布のほとんどの一般的な表現は、非常に複雑です。Johnson と Kotz (1994) は、非心 t 変量が範囲 [–u, u] に含まれる確率の式を次のように表しています。

$$P\left(-u<x<u|\nu ,\delta \right)={\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }\left(\frac{{\left(\frac{1}{2}{\delta }^2\right)}^j}{j!}{e}^{\frac{-{\delta }^2}{2}}\right)}I\left(\frac{u^2}{\nu +u^2}|\frac{1}{2}+j,\frac{\nu }{2}\right)$$

I(x|ν,δ) は、パラメーター ν および δ をもつ不完全ベータ関数です。δ は非心度パラメーター、ν は自由度の個数です。

背景

非心 t 分布は、スチューデントの t 分布の汎化です。

自由度が n - 1 のスチューデントの t 分布では、次のように t 統計量をモデル化します。

$$t=\frac{\overline{x}-\mu }{s/\sqrt{n}}$$

ここで、$$\overline{x}$$ は無作為標本の平均、s は標本標準偏差です。この無作為標本のサイズは n、抽出元の正規母集団の平均は μ であるとします。母集団の平均が実際は μ₀ である場合、t-統計量は、非心度パラメーターをもつ非心 t 分布に従います。

$$\delta =\frac{{\mu }_0-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}$$

非心度パラメーターは、μ₀ と μ の間の正規化された差です。

母集団平均が実際に μ₀ である、すなわち、t 検定の指数を与える場合、非心 t 分布は、t 検定が平均 μ をもつ誤った帰無仮説を正しく棄却する確率を与えます。検定の検出力は、差 μ₀ – μ の増加や、標本のサイズ n の増加と共に増加します。

例

非心 "t" 確率密度関数の計算とプロット

自由度 nu=10 と非心度パラメーター delta=1 を使用して、非心 "t" 分布の確率密度関数 (pdf) を計算します。比較のため、同じ自由度をもつスチューデントの "t" 分布の pdf も計算します。

x = -5:0.1:5;
nu = 10;
delta = 1;
nct = nctpdf(x,nu,delta);
t = tpdf(x,nu);

非心 "t" の pdf とスチューデントの "t" の pdf を同じ Figure にプロットします。

figure
plot(x,nct,"b-",LineWidth=2)
hold on
grid on
plot(x,t,"r--",Linewidth=2)
xlabel("x")
ylabel("p")
legend("Noncentral t pdf","Student's t pdf")
hold off

参考

nctcdf | nctpdf | nctinv | nctstat | nctrnd | random

トピック

• 確率分布の操作
• サポートされている分布