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対数正規分布

概要

対数正規分布は、対数が正規分布をもつ確率分布です。場合によって、Galton 分布と呼ばれることもあります。x が正であるときのみ、log (x) が存在するので、対数正規分布は対象となる量が正のときに適用されます。

パラメーター

対数正規分布は、次のパラメーターを使用します。

パラメーター説明サポート
mu対数値の平均<μ<
sigma対数値の標準偏差σ0

対数正規分布をデータにあてはめてパラメーター推定を求めるには、lognfitfitdist または mle を使用します。

  • 打ち切りがないデータの場合、lognfitfitdist は分布パラメーターの不偏推定量を、mle は最尤推定量を求めます。

  • 打ち切りがあるデータの場合、lognfitfitdist および mle は最尤推定量を求めます。

パラメーター推定を返す lognfit および mle と異なり、fitdist はあてはめた確率分布オブジェクト LognormalDistribution を返します。オブジェクト プロパティ mu および sigma にはパラメーター推定が格納されます。

確率密度関数

対数正規分布の確率密度関数 (pdf) は次のようになります。

記述統計

平均は次のようになります。

分散は次のようになります。

これらの記述統計は、lognstat 関数を使って計算できます。

他の分布との関係

対数正規分布は、正規分布と密接に関連しています。x がパラメーター μ と σ をもつ対数正規分布の場合、log(x) は平均 μ と標準偏差 σ をもつ正規分布になります。x が正であるときのみ、log (x) が存在するので、対数正規分布は対象となる量が正のときに適用されます。

対数正規分布の確率密度関数の計算

米国の 4 人家族の収入が mu = log(20,000) および sigma = 1 である対数正規分布に従っているものとします。収入の密度を計算してプロットします。

x = (10:1000:125010)';
y = lognpdf(x,log(20000),1.0);

figure;
plot(x,y)
h = gca;
h.XTick = [0 30000 60000 90000 120000];
h.XTickLabel = {'0','$30,000','$60,000',...
                    '$90,000','$120,000'};

参考

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