logncdf

対数正規累積分布関数

構文

p = logncdf(x)

p = logncdf(x,mu)

p = logncdf(x,mu,sigma)

[p,pLo,pUp] = logncdf(x,mu,sigma,pCov)

[p,pLo,pUp] = logncdf(x,mu,sigma,pCov,alpha)

___ = logncdf(___,'upper')

説明

p = logncdf(x) は、x の各値で評価した標準対数正規分布の累積分布関数 (cdf) を返します。標準対数正規分布では、対数値の平均が 0、標準偏差が 1 です。

p = logncdf(x,mu) は、x 内の値で評価した、分布パラメーター mu (対数値の平均) および 1 (対数値の標準偏差) をもつ対数正規分布の cdf を返します。

p = logncdf(x,mu,sigma) は、x 内の値で評価した、分布パラメーター mu (対数値の平均) および sigma (対数値の標準偏差) をもつ対数正規分布の cdf を返します。

[p,pLo,pUp] = logncdf(x,mu,sigma,pCov) は、推定パラメーター (mu と sigma) およびその共分散行列 pCov を使用して、p の 95% 信頼限界 [pLo,pUp] も返します。

[p,pLo,pUp] = logncdf(x,mu,sigma,pCov,alpha) は、信頼区間 [pLo,pUp] の信頼水準が 100(1–alpha)% であることを指定します。

___ = logncdf(___,'upper') は、極端に上裾にある確率をより正確に計算するアルゴリズムを使用して、x 内の値で評価した cdf の補数を返します。'upper' は、前の構文における任意の入力引数の組み合わせの後に続けることができます。

例

対数正規分布の累積分布関数の計算

平均 mu および標準偏差 sigma をもつ対数正規分布について、x 内の値で評価した cdf の値を計算します。

x = 0:0.2:10;
mu = 0;
sigma = 1;
p = logncdf(x,mu,sigma);

累積分布関数をプロットします。

plot(x,p)
grid on
xlabel('x')
ylabel('p')

対数正規分布の cdf 値の信頼区間

対数正規分布パラメーターの最尤推定量 (MLE) を求めてから、対応する cdf 値の信頼区間を求めます。

パラメーター 5 および 2 をもつ対数正規分布から、1000 個の乱数を生成します。

rng('default') % For reproducibility
n = 1000; % Number of samples
x = lognrnd(5,2,n,1);

mleを使用して、分布パラメーター (対数値の平均および標準偏差) の MLE を求めます。

phat = mle(x,'distribution','LogNormal')

phat = 1×2

    4.9347    1.9969

muHat = phat(1);
sigmaHat = phat(2);

lognlike を使用して、分布パラメーターの共分散を推定します。関数 lognlike は、MLE がその MLE の推定に使用された標本と共に渡された場合、漸近共分散行列に対する近似を返します。

[~,pCov] = lognlike(phat,x)

pCov = 2×2

    0.0040   -0.0000
   -0.0000    0.0020

0.5 における cdf の値およびその 95% 信頼区間を求めます。

[p,pLo,pUp] = logncdf(0.5,muHat,sigmaHat,pCov)

p = 
0.0024

pLo = 
0.0016

pUp = 
0.0037

p は、パラメーター muHat および sigmaHat をもつ対数正規分布の cdf の値です。区間 [pLo,pUp] は、0.5 で評価した cdf の 95% 信頼区間であり、pCov を使用した場合の muHat および sigmaHat の不確実性を考慮しています。95% 信頼区間は、真の cdf 値が [pLo,pUp] に含まれる確率が 0.95 であることを意味します。

相補 cdf (裾の分布)

標準対数正規分布に従う観測値が区間 [exp(10),Inf] に含まれる確率を特定します。

p1 = 1 - logncdf(exp(10))

p1 = 
0

logncdf(exp(10)) はほぼ 1 なので、p1 は 0 になります。極端に上裾にある確率をより正確に logncdf に計算させるため、'upper' を指定します。

p2 = logncdf(exp(10),'upper')

p2 = 
7.6199e-24

'upper' を使用して右裾の p 値を計算することもできます。

入力引数

x — cdf を評価する値

正のスカラー値 | 正のスカラー値の配列

cdf を評価する値。正のスカラー値、または正のスカラー値の配列を指定します。

信頼区間 [pLo,pUp] を計算するよう pCov に指定した場合、x はスカラー値でなければなりません。

複数の値で cdf を評価するには、配列を使用して x を指定します。複数の分布の cdf を評価するには、配列を使用して mu と sigma を指定します。入力引数 x、mu および sigma の 1 つ以上が配列である場合、配列のサイズは同じでなければなりません。この場合、logncdf は配列入力と同じサイズの定数配列に各スカラー入力を拡張します。p の各要素は、x 内の対応する要素で評価された、mu および sigma 内の対応する要素によって指定された分布の cdf の値です。

例: [-1,0,3,4]

データ型: single | double

mu — 対数値の平均

0 (既定値) | スカラー値 | スカラー値の配列

対数正規分布の対数値の平均。スカラー値、またはスカラー値の配列を指定します。

信頼区間 [pLo,pUp] を計算するよう pCov に指定した場合、mu はスカラー値でなければなりません。

複数の値で cdf を評価するには、配列を使用して x を指定します。複数の分布の cdf を評価するには、配列を使用して mu と sigma を指定します。入力引数 x、mu および sigma の 1 つ以上が配列である場合、配列のサイズは同じでなければなりません。この場合、logncdf は配列入力と同じサイズの定数配列に各スカラー入力を拡張します。p の各要素は、x 内の対応する要素で評価された、mu および sigma 内の対応する要素によって指定された分布の cdf の値です。

例: [0 1 2; 0 1 2]

データ型: single | double

sigma — 対数値の標準偏差

1 (既定値) | 正のスカラー値 | 正のスカラー値の配列

対数正規分布の対数値の標準偏差。正のスカラー値、または正のスカラー値の配列を指定します。

信頼区間 [pLo,pUp] を計算するよう pCov に指定した場合、sigma はスカラー値でなければなりません。

複数の値で cdf を評価するには、配列を使用して x を指定します。複数の分布の cdf を評価するには、配列を使用して mu と sigma を指定します。入力引数 x、mu および sigma の 1 つ以上が配列である場合、配列のサイズは同じでなければなりません。この場合、logncdf は配列入力と同じサイズの定数配列に各スカラー入力を拡張します。p の各要素は、x 内の対応する要素で評価された、mu および sigma 内の対応する要素によって指定された分布の cdf の値です。

例: [1 1 1; 2 2 2]

データ型: single | double

pCov — 推定値の共分散

2 行 2 列の数値行列

推定値 mu および sigma の共分散。2 行 2 列の行列を指定します。

pCov を指定して信頼区間 [pLo,pUp] を計算する場合、x、mu および sigma はスカラー値でなければなりません。

mu と sigma の最尤推定量は mle を使用して、mu と sigma の共分散は lognlike を使用して推定できます。たとえば、対数正規分布の cdf 値の信頼区間を参照してください。

データ型: single | double

alpha — 有意水準

0.05 (既定値) | 範囲 (0,1) のスカラー

信頼区間の有意水準。範囲 (0,1) のスカラーを指定します。信頼水準は 100(1–alpha)% です。alpha は、真の値が信頼区間に含まれない確率です。

例: 0.01

データ型: single | double

出力引数

p — 累積分布関数値

スカラー値 | スカラー値の配列

x 内の値で評価した cdf の値。スカラー値、またはスカラー値の配列として返されます。p は、必要なスカラー拡張後の x、mu および sigma と同じサイズになります。p の各要素は、x 内の対応する要素で評価された、mu および sigma 内の対応する要素によって指定された分布の cdf の値です。

pLo — p の信頼限界の下限

スカラー値 | スカラー値の配列

p の信頼限界の下限。スカラー値、またはスカラー値の配列として返されます。pLo は p と同じサイズになります。

pUp — p の信頼限界の上限

スカラー値 | スカラー値の配列

p の信頼限界の上限。スカラー値、またはスカラー値の配列として返されます。pUp は p と同じサイズになります。

詳細

対数正規分布

対数正規分布は、対数が正規分布をもつ確率分布です。

対数正規分布の累積分布関数 (cdf) は次のようになります。

$$p=F(x|\mu ,\sigma )=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\displaystyle {\int }_0^x\frac{1}{t}}\exp \left\{\frac{-{(\log t-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}\right\}dt,\text{for}x>0.$$

アルゴリズム

• 関数 logncdf は、相補誤差関数 erfc を使用します。logncdf と erfc の関係は次のようになります。

  $$\text{logncdf}(x,0,1)=\frac{1}{2}\text{erfc}\left(-\frac{\log x}{\sqrt{2}}\right).$$

  相補誤差関数 erfc(x) は次のように定義されます。

  $$\text{erfc}(x)=1-\text{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\displaystyle {\int }_x^{\infty }{e}^{-t^2}dt}.$$

• 関数 logncdf は、デルタ法を使用して p の信頼限界を計算します。パラメーター mu および sigma をもつ log(x) の正規分布の cdf 値は、パラメーター 0 および 1 をもつ (log(x)–mu)/sigma の cdf 値と同じです。したがって、関数 logncdf はデルタ法により mu と sigma の共分散行列を使用して (log(x)–mu)/sigma の分散を推定し、この分散の推定値を使用して (log(x)–mu)/sigma の信頼限界を求めます。その後、信頼限界を p のスケールに変換します。大規模な標本から mu、sigma および pCov を推定する場合、計算された信頼限界は必要な信頼水準を近似的に提供します。

代替機能

• logncdf は対数正規分布専用の関数です。Statistics and Machine Learning Toolbox™ には、さまざまな確率分布をサポートする汎用関数 cdf もあります。cdf を使用するには、LognormalDistribution 確率分布オブジェクトを作成し入力引数として渡すか、確率分布名とそのパラメーターを指定します。分布専用の関数 logncdf は汎用関数 cdf より高速です。

• 確率分布の累積分布関数 (cdf) または確率密度関数 (pdf) のプロットを対話的に作成するには、確率分布関数アプリを使用します。

参照

[1] Abramowitz, M., and I. A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions. New York: Dover, 1964.

[2] Evans, M., N. Hastings, and B. Peacock. Statistical Distributions. 2nd ed., Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 1993.

拡張機能

C/C++ コード生成
MATLAB® Coder™ を使用して C および C++ コードを生成します。

GPU 配列

Parallel Computing Toolbox™ を使用してグラフィックス処理装置 (GPU) 上で実行することにより、コードを高速化します。

この関数は、GPU 配列を完全にサポートします。詳細は、GPU での MATLAB 関数の実行 (Parallel Computing Toolbox)を参照してください。

バージョン履歴

R2006a より前に導入

参考

cdf | lognpdf | logninv | lognstat | lognfit | lognlike | lognrnd | LognormalDistribution | erfc

トピック

• 対数正規分布