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ウェーブレットの選択

作業に最適なウェーブレット解析のタイプは、データを使用して何をしたいかによって異なります。このトピックでは 1 次元データに焦点を当てますが、同じ原則を 2 次元データに適用することができます。

時間-周波数解析

詳細な時間-周波数解析の実行が目的の場合、連続ウェーブレット変換 (CWT) を選択します。

  • CWT は、瞬時周波数が急速に増大する信号に関して (双曲線チャープ内など)、短時間フーリエ変換 (STFT) よりも優れています。

  • CWT は、非定常信号の過渡特性の位置を特定するのに適しています。

実装に関しては、離散ウェーブレット変換 (DWT) よりも CWT の方がより細かくスケールが離散化されます。詳細については、連続および離散ウェーブレット変換を参照してください。

時間-周波数解析でサポートされるウェーブレット

データの連続ウェーブレット変換を求めるには、関数 cwt を使用します。この関数の wname 引数を使用して、データに最適なウェーブレットのタイプを指定することができます。既定では、cwt は一般化 Morse ウェーブレット ファミリを使用します。このファミリは 2 つのパラメーターで定義されます。パラメーターを変更して、よく使用される多くのウェーブレットを再作成することができます。

ウェーブレット特徴wname
一般化 Morse ウェーブレット2 つのパラメーターを変化させ、時間と周波数の拡散を変更することができる'morse' (既定の設定)
解析的な Morlet (ガボール) ウェーブレット時間と周波数における等分散'amor'
Bump ウェーブレット時間の分散が広く、周波数の分散が狭い'bump'

表に示しているウェーブレットはすべて解析的です。解析的なウェーブレットとは片側スペクトルを持つウェーブレットであり、時間領域において複素数値です。これらのウェーブレットは、CWT を使用して時間-周波数解析を求めるのに適しています。ウェーブレット係数は複素数値であるため、CWT は位相情報を提供します。cwt は、解析的なウェーブレットと反解析的なウェーブレットをサポートします。詳細については、CWT による時間-周波数解析を参照してください。

多重解像度解析

多重解像度解析 (MRA) では、連続するスケールで Approximation 間の差分を記録しながら、徐々に粗いスケールで信号を近似します。信号の離散ウェーブレット変換 (DWT) を行うことで、Approximation と差分を作成します。DWT は、多数の自然信号のスパース表現を提供します。Approximation は、スケーリング関数のスケーリングおよび平行移動済みコピーと信号を比較することで形成されます。連続するスケール間の差分 (Detail とも呼ばれる) は、ウェーブレットのスケーリングおよび平行移動済みコピーを使用して得られます。log2 スケールでは、連続するスケール間の差分は常に 1 です。CWT の場合は、連続するスケール間の差分はより細かくなります。

MRA の生成時は、スケールを増加させるたびに Approximation を係数 2 でサブサンプリング (間引き) することも、あるいはサブサンプリングしないこともできます。どちらのオプションにも利点と欠点があります。サブサンプリングする場合、結果的に元の信号と同じ数のウェーブレット係数になります。間引き DWT では、平行移動はスケールの整数倍です。非間引き DWT の場合、平行移動は整数シフトです。非間引き DWT は、元のデータの冗長表現を提供しますが、CWT ほど冗長ではありません。用途はウェーブレットの選択だけでなく、使用する DWT のバージョンにも影響します。

エネルギーの維持

解析段階でエネルギーを維持することが重要である場合、直交ウェーブレットを使用しなければなりません。直交変換ではエネルギーが維持されます。コンパクト サポートを持つ直交ウェーブレットの使用を検討してください。Haar ウェーブレットを除いて、コンパクト サポートを持つ直交ウェーブレットは対称ではないことに注意してください。関連するフィルターは非線形位相を持っています。次の表に、サポートされる直交ウェーブレットを示します。すべての離散ウェーブレット変換関数で wname 引数を使用することで、データに最適なウェーブレットのタイプを指定することができます。すべてのウェーブレット ファミリ名については、wavemngr('read') を参照してください。

直交ウェーブレット特徴wname参考
Coifletスケーリング関数とウェーブレットには同じ数の消失モーメントがある'coifN' (次の場合) N = 1, 2, ..., 5N/A
Daubechies非線形位相。サポートの開始付近にエネルギーが集中'dbN' (次の場合) N = 1, 2, ..., 45dbaux (極値位相ウェーブレット係数)
Fejér-Korovkin有効なスケーリング フィルターと理想的な sinc ローパス フィルターの間の差異を最小化するために作成されたフィルター。特に離散 (間引きおよび非間引き) ウェーブレット パケット変換で役立つ。'fkN' (次の場合) N = 4, 6, 8, 14, 18, 22N/A
Haar対称。Daubechies の特殊なケース。エッジ検出で役立つ'haar' ('db1')N/A
Symlet最小非対称。ほぼ線形位相'symN' (次の場合) N = 2, 3, ..., 45symauxLeast Asymmetric Wavelet and Phase

waveinfo を使用して、個々のウェーブレット ファミリの詳細について学習します。たとえば、waveinfo('db') です。

境界の歪みへの対処方法によっては、DWT は解析段階でエネルギーを保存しない可能性があります。詳細については、dwtmode およびBorder Effectsを参照してください。最大重複離散ウェーブレット変換 modwt および最大重複離散ウェーブレット パケット変換 modwpt はエネルギーを保存します。ウェーブレット パケット分解 wpdec はエネルギーを保存しません。

特徴検出

近接した特徴を検出する場合は、haardb2sym2 といったサポートの小さいウェーブレットを選択します。ウェーブレットのサポートは、対象の特徴を区別できるくらい小さくなければなりません。サポートの大きいウェーブレットは、近接する特徴を検出するのが困難である傾向があります。サポートの大きいウェーブレットを使用すると、結果的に個々の特徴を区別しない係数になる可能性があります。例については、ノイズの多いデータに対するウェーブレット サポートの影響 を参照してください。データがもつ過渡特性の間隔がまばらである場合、サポートの大きいウェーブレットを使用することができます。

分散分析

分散分析の実施が目的の場合、最大重複離散ウェーブレット変換 (MODWT) がタスクに適しています。MODWT は標準 DWT の一種です。

  • MODWT は、解析段階でエネルギーを保存します。

  • MODWT は、スケール全体で分散を分割します。例については、Wavelet Analysis of Financial DataWavelet Changepoint Detection を参照してください。

  • MODWT には、Daubechies ウェーブレットや Symlet といった直交ウェーブレットが必要です。

  • MODWT はシフト不変の変換です。入力データをシフトすると、ウェーブレット係数が同じだけシフトします。間引き DWT はシフト不変ではありません。入力をシフトすると係数が変更され、スケール全体でエネルギーを再分布できます。

詳細については、modwt および modwtmra を参照してください。MODWT と MODWTMRA の比較 も参照してください。

冗長性

ウェーブレットの正規直交ファミリを使用して信号の間引き DWT (wavedec) を行うと、信号の最小冗長表現が提供されます。スケール内およびスケール全体のウェーブレットにオーバーラップが存在しません。係数の数は信号サンプルの数と等しくなります。認識されていない特徴を削除するときは、最小冗長表現が圧縮に適しています。

信号の CWT は、冗長性の高い信号表現を提供します。スケール内およびスケール全体のウェーブレット間に大きなオーバーラップが存在します。また、スケールの細かな離散化を考慮すると、CWT の計算とウェーブレット係数の保存にかかるコストは DWT よりも大幅に高くなります。最大重複 DWT (modwt) も冗長な変換ですが、冗長性係数は CWT よりも大幅に少ないのが一般的です。冗長性は、周波数ブレークポイントやその他の過渡イベントなど、調べたい信号の特性と特徴を補強する傾向があります。

作業で最小限の冗長性を使用して信号を表現する必要がある場合は、wavedec を使用します。作業で冗長表現が必要な場合は、modwt または modwpt を使用します。例については、周波数ブレークの連続および離散ウェーブレット解析 を参照してください。

ノイズ除去

Symlet や Daubechies ウェーブレットなどの直交ウェーブレットは信号のノイズ除去に適しています。双直交ウェーブレットはイメージ処理にも適しています。双直交ウェーブレット フィルターには、イメージ処理にとって非常に重要な線形位相があります。双直交ウェーブレット フィルターを使用しても、イメージの視覚的な歪みは発生しません。

  • 直交変換ではホワイト ノイズに色を付けません。ホワイト ノイズが入力として直交変換に提供された場合、出力はホワイト ノイズになります。双直交ウェーブレットを使用して DWT を実行すると、ホワイト ノイズに色が付きます。

  • 直交変換ではエネルギーが維持されます。

ウェーブレット ファミリが直交かどうかを確認するには、waveinfo を使用します。たとえば、waveinfo('sym') です。

sym4 ウェーブレットは、関数 wdenoise およびウェーブレット信号デノイザー アプリで使用される既定のウェーブレットです。

圧縮

作業に信号またはイメージの圧縮が含まれる場合、双直交ウェーブレットを使用することを検討してください。次の表に、コンパクト サポートをもつサポート対象の双直交ウェーブレットを示します。すべての離散ウェーブレット変換関数で wname 引数を使用することで、データに最適な双直交ウェーブレットを指定することができます。

双直交ウェーブレット特徴wname
双直交スプラインコンパクト サポート、対称フィルター、線形位相'biorNr.Nd'NrNd は、それぞれ再構成フィルターと分解フィルターの消失モーメントの数です。サポートされる値については、waveinfo('bior') を参照してください。
逆双直交スプラインコンパクト サポート、対称フィルター、線形位相'rbioNd.Nr'NrNd は、それぞれ再構成フィルターと分解フィルターの消失モーメントの数です。サポートされる値については、waveinfo('rbio') を参照してください。

スケーリング関数とウェーブレットのペアが 2 つあると圧縮に役立ちます (1 つのペアは解析用、もう 1 つのペアは合成用)。

  • 双直交ウェーブレット フィルターは対称で、線形位相があります。

  • 解析に使用されるウェーブレットは複数の消失モーメントをもつことができます。N 個の消失モーメントをもつウェーブレットは、次数が N-1 の多項式に直交します。多数の消失モーメントをもつウェーブレットを使用すると、有意なウェーブレット係数が少なくなります。圧縮が改善されます。

  • 合成に使用される双対ウェーブレットは、より適切な正則性をもつことができます。再構成後の信号は平滑化されています。

合成フィルターよりも消失モーメントが少ない解析フィルターを使用すると、圧縮に悪影響を与えることがあります。例については、双直交ウェーブレットを使用したイメージの再構成 を参照してください。

双直交ウェーブレットを使用している場合は、エネルギーは解析段階で保存されません。詳細については、Orthogonal and Biorthogonal Filter Banks を参照してください。

一般的な考慮事項

ウェーブレットにはその動作を制御する性質があります。何をするかに応じて、一部の性質がより重要になる可能性があります。

直交性

ウェーブレットが直交である場合、ウェーブレット変換ではエネルギーが維持されます。Haar ウェーブレットを除いて、コンパクト サポートをもつどの直交ウェーブレットも対称ではありません。関連するフィルターは非線形位相をもっています。

消失モーメント

N 個の消失モーメントをもつウェーブレットは、次数が N-1 の多項式に直交します。例については、ウェーブレットと消失モーメント を参照してください。消失モーメントの数とウェーブレットの振動には緩やかな関係があります。ウェーブレットがもつ消失モーメントの数が多いほど、ウェーブレットが振動する回数が増えます。

多くのウェーブレットの名前は、消失モーメントの数から派生します。たとえば、db6 は 6 個の消失モーメントをもつ Daubechies ウェーブレットであり、sym3 は 3 個の消失モーメントをもつ symlet です。Coiflet ウェーブレットの場合、coif3 は 6 個の消失モーメントをもつ Coiflet です。Fejér-Korovkin ウェーブレットの場合、fk8 は長さ 8 のフィルターをもつ Fejér-Korovkin ウェーブレットです。双直交ウェーブレット名は、解析ウェーブレットと合成ウェーブレットがそれぞれもつ消失モーメントの数から派生します。たとえば、bior3.5 は合成ウェーブレットに 3 個の消失モーメント、解析ウェーブレットに 5 個の消失モーメントをもつ双直交ウェーブレットです。詳細については、waveinfowavemngr を参照してください。

消失モーメントの数はウェーブレットのサポートにも影響します。Daubechies 氏は、N 個の消失モーメントをもつウェーブレットには少なくとも長さ 2N-1 のサポートがなければならないことを証明しました。

正則性

正則性は、関数がもつ連続導関数の数に関連します。直感的に、正則性は平滑度の尺度であると見なすことができます。データの急激な変化を検出するために、ウェーブレットは十分に正則でなければなりません。ウェーブレットが N 個の連続導関数をもつには、ウェーブレットには少なくとも N+1 個の消失モーメントが必要です。例については、不連続部分および不連続点の検出 を参照してください。過渡特性が少なく比較的滑らかなデータである場合、より正則なウェーブレットの方が作業に適している可能性があります。

参考

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