se3

SE(3) 同次変換

R2022b 以降

説明

se3 オブジェクトは、右手直交座標系の並進と回転で構成される 3 次元同次変換行列として SE(3) 変換を表します。

詳細については、3 次元同次変換行列のセクションを参照してください。

このオブジェクトは数値行列のように機能し、乗算と除算を使用して姿勢を構成できるようになります。

作成

構文

transformation = se3

transformation = se3(rotation)

transformation = se3(rotation,translation)

transformation = se3(transformation)

transformation = se3(euler,"eul")

transformation = se3(euler,"eul",sequence)

transformation = se3(quat,"quat")

transformation = se3(quaternion)

transformation = se3(axang,"axang")

transformation = se3(angle,axis)

transformation = se3(___,translation)

transformation = se3(translation,"trvec")

transformation = se3(pose,"xyzquat")

説明

回転行列、並進ベクトル、および変換行列

transformation = se3 は、並進のない恒等回転を表す SE(3) 変換を作成します。

$$transformation=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

transformation = se3(rotation) は、並進のない、正規直交回転 rotation によって定義された純粋な回転を表す SE(3) 変換を作成します。回転行列は、transformation 行列の左上の要素で表されます。

$$rotation=\left[\begin{array}{ccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}\\ r_{11}& r_{22}& r_{23}\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}\end{array}\right]$$

$$transformation=\left[\begin{array}{cccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}& 0\\ r_{21}& r_{22}& r_{23}& 0\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

transformation = se3(rotation,translation) は、正規直交回転 rotation と並進 translation によって定義された回転を表す SE(3) 変換を作成します。関数は、最初に回転行列を適用し、次に並進ベクトルを適用して変換を作成します。

$$rotation=\left[\begin{array}{ccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}\\ r_{11}& r_{22}& r_{23}\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}\end{array}\right]$$, $$translation=\left[\begin{array}{c}{t}_1\\ t_2\\ t_3\end{array}\right]$$

$$transformation=\left[\begin{array}{cccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}& t_1\\ r_{21}& r_{22}& r_{23}& t_2\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}& t_3\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& t_1\\ 0& 1& 0& t_2\\ 0& 0& 1& t_3\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]·\left[\begin{array}{cccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}& 0\\ r_{21}& r_{22}& r_{23}& 0\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

transformation = se3(transformation) は、同次変換 transformation で定義された並進と回転を表す SE(3) 変換を作成します。

その他の 3 次元回転の表現

transformation = se3(euler,"eul") は、オイラー角 euler によって定義された回転から SE(3) 変換を作成します。

transformation = se3(euler,"eul",sequence) はオイラー角回転のシーケンス sequence を指定します。たとえば、"ZYX" というシーケンスは、z 軸、y 軸、x 軸の順に回転させます。

transformation = se3(quat,"quat") は、四元数 quat によって定義された回転から SE(3) 変換を作成します。

transformation = se3(quaternion) は、四元数 quaternion で定義された回転から SE(3) 変換を作成します。

transformation = se3(axang,"axang") は、軸角度回転 axang によって定義された回転から SE(3) 変換を作成します。

transformation = se3(angle,axis) は、回転軸 axis を中心とした回転 angles から SE(3) 変換を作成します。

transformation = se3(___,translation) は、他のタイプの回転入力引数とともに、並進ベクトル translation から SE(3) 変換を作成します。

その他の並進と変換の表現

transformation = se3(translation,"trvec") は、並進ベクトル translation から SE(3) 変換を作成します。

transformation = se3(pose,"xyzquat") は、3 次元のコンパクトな姿勢 pose から SE(3) 変換を作成します。

メモ

入力に複数の回転、並進、または変換が含まれる場合、出力 transformation は、各 N 入力回転、並進、または変換に対応する se3 オブジェクトの N 要素配列になります。

入力引数

rotation — 正規直交回転

3 行 3 列の行列 | 3×3×N の行列 | so3 オブジェクト | so3 オブジェクトの N 要素配列

正規直交回転。3 行 3 列の行列、3×3×N の配列、スカラーの so3 オブジェクト、あるいは so3 オブジェクトの N 要素配列として指定します。N は回転の合計数です。

rotation に複数の回転が含まれており、作成時に translation も指定する場合、translation の並進の数は 1 または rotation の回転数と等しくなくてはなりません。結果として得られる変換オブジェクトの数は、引数 translation または rotation のどちらか大きい方の値と等しくなります。

例: eye(3)

データ型: single | double

translation — 並進

3 要素の行ベクトル | N 行 3 列の行列

並進。3 要素の行ベクトルまたは N 行 3 列の配列として指定します。N は並進の総数で、各並進は [x y z] の形式になります。

translation に複数の並進が含まれる場合、rotation の回転数は 1 または translation の並進の数に等しくなくてはなりません。結果として作成される変換オブジェクトの数は、引数 translation または rotation のどちらか大きい方の値と等しくなります。

例: [1 4 3]

データ型: single | double

transformation — 同次変換

4 行 4 列の行列 | 4×4×N の配列 | se3 オブジェクト | se3 オブジェクトの N 要素配列

同次変換行列。4 行 4 列の行列または 4×4×N の配列、スカラーの se3 オブジェクト、あるいは se3 オブジェクトの N 要素配列として指定します。N は指定された変換の合計数です。

transformation が配列の場合、作成される se3 オブジェクトの結果の数は N に等しくなります。

例: eye(4)

データ型: single | double

quaternion — 四元数

quaternion オブジェクト | quaternion オブジェクトの N 要素配列

四元数。スカラーの quaternion オブジェクト、あるいは quaternion オブジェクトの N 要素配列として指定します。N は指定した四元数の合計数です。

quaternion が N 要素配列の場合、作成される se3 オブジェクトの結果の数は N に等しくなります。

例: quaternion(1,0.2,0.4,0.2)

euler — オイラー角

N 行 3 列の行列

オイラー角。ラジアン単位の N 行 3 列の行列として指定します。各行は、引数 sequence で定義された軸回転シーケンスをもつオイラー角の 1 セットを表します。既定の軸回転シーケンスは ZYX です。

euler が N 行 3 列の行列の場合、作成される se3 オブジェクトの結果の数は N に等しくなります。

例: [pi/2 pi pi/4]

データ型: single | double

sequence — 軸回転シーケンス

"ZYX" (既定値) | "ZYZ" | "ZXY" | "ZXZ" | "YXY" | "YZX" | "YXZ" | "YZY" | "XYX" | "XYZ" | "XZX" | "XZY"

オイラー角の軸回転シーケンス。以下のいずれかの string スカラーとして指定します。

• "ZYX" (既定)

• "ZYZ"

• "ZXY"

• "ZXZ"

• "YXY"

• "YZX"

• "YXZ"

• "YZY"

• "XYX"

• "XYZ"

• "XZX"

• "XZY"

これらは、それぞれ x 軸、y 軸、および z 軸を中心とした ϕ、ψ、θ の回転の正規直交回転行列です。

$$R_x(\varphi )=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \varphi & \sin \varphi \\ 0& -\sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right]$$, $$R_y(\psi )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \psi & 0& \sin \psi \\ 0& 1& 0\\ -\sin \psi & 0& \cos \psi \end{array}\right]$$, $$R_z(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

このシーケンスから回転行列を作成する際に、それぞれの文字は対応する軸を示します。たとえば、シーケンスが "XYZ" の場合、se3 オブジェクトは、x 軸を中心とした回転と y 軸を中心とした回転を乗算し、その積と z 軸を中心とした回転を乗算することによって回転行列 R を作成します。

$$R=R_x(\varphi )·R_y(\psi )·R_z(\theta )$$

例: se3([pi/2 pi/3 pi/4],"eul","ZYZ") は、z 軸を中心に点を pi/4 ラジアンだけ回転し、次にその点を y 軸を中心に pi/3 ラジアンだけ回転してから、その点を z 軸を中心に pi/2 ラジアンだけ回転します。これは、以下の式と等価です。se3(pi/2,"rotz") * se3(pi/3,"roty") * se3(pi/4,"rotz")

データ型: string | char

quat — 四元数

N 行 4 列の行列

四元数。N 行 4 列の行列として指定します。N は、指定された四元数の数です。各行は [qw qx qy qz] の形式の 1 つの四元数を表します。ここで、qw はスカラー数です。

quat が N 行 4 列の行列の場合、作成される se3 オブジェクトの結果の数は N に等しくなります。

メモ

se3 オブジェクトは、四元数を回転行列に変換する前に、入力四元数を正規化します。

例: [0.7071 0.7071 0 0]

データ型: single | double

axang — 軸角度回転

N 行 4 列の行列

軸角度回転。[x y z theta] の形式で N 行 4 列の行列として指定します。N は軸角度回転の総数です。x、y、および z は、それぞれ x 軸、y 軸、z 軸からのベクトル成分です。ベクトルは、角度 theta (ラジアン単位) だけ回転する軸を定義します。

axang が N 行 4 列の行列の場合、作成される se3 オブジェクトの結果の数は N に等しくなります。

例: [.2 .15 .25 pi/4] は、x 軸について 0.2、y 軸に沿って 0.15、z 軸に沿って 0.25 として定義された軸を pi/4 ラジアンだけ回転します。

データ型: single | double

angle — 単一軸角度回転

N 行 M 列の行列

単一軸角度回転。N 行 M 列の行列として指定します。行列の各要素は、引数 axis を使用して指定された軸を中心としたラジアン単位の角度であり、se3 オブジェクトは角度ごとに se3 オブジェクトを作成します。

angle が N 行 M 列の行列の場合、作成される se3 オブジェクトの結果の数は N に等しくなります。

回転角度は、指定軸に沿って原点に向かって見ると、反時計回りが正になります。

データ型: single | double

axis — 回転軸

"rotx" | "roty" | "rotz"

回転軸。次のオプションのいずれかとして指定します。

• "rotx" — x 軸を中心に回転します。

  $$R_x(\varphi )=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \varphi & \sin \varphi \\ 0& -\sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right]$$

• "roty" — y 軸を中心に回転します。

  $$R_y(\psi )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \psi & 0& \sin \psi \\ 0& 1& 0\\ -\sin \psi & 0& \cos \psi \end{array}\right]$$

• "rotz" — z 軸を中心に回転します。

  $$R_z(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

引数 angle を使用して、指定した軸を中心に回転する量を指定します。

例: Rx = se3(phi,"rotx");

例: Ry = se3(psi,"roty");

例: Rz = se3(theta,"rotz");

データ型: string | char

pose — 3 次元のコンパクトな姿勢

N 行 7 列の行列

3 次元のコンパクトな姿勢。N 行 7 列の行列として指定します。ここで、N はコンパクトな姿勢の総数です。各行は [x y z qw qx qy qz] 形式の xyz 位置と四元数で構成される姿勢です。x、y、および z はそれぞれ x 軸、y 軸、および z 軸の位置です。qw、qx、qy、および qz は、合わせて四元数回転です。

pose が N 行 7 列の行列の場合、作成される se3 オブジェクトの結果の数は N に等しくなります。

データ型: single | double

オブジェクト関数

数学演算

mtimes, *	変換または回転の乗算
mrdivide, /	変換または回転の右除算
rdivide, ./	要素単位の変換または回転の右除算
times, .*	要素単位の変換または回転の乗算

ユーティリティ

interp	変換の間で内挿する
dist	変換間の距離を計算する
normalize	変換行列または回転行列を正規化する
transform	剛体変換を点に適用する

数値変換

axang	変換または回転を軸角度回転に変換する
eul	変換または回転をオイラー角に変換する
rotm	回転行列の抽出
quat	変換または回転を四元数に変換する
trvec	並進ベクトルを抽出する
tform	同次変換の抽出
xyzquat	変換または回転をコンパクトな 3 次元姿勢表現に変換する

オブジェクト変換

so3	SO(3) 回転
quaternion	quaternion 配列の作成

例

オイラー角と並進を使用した SE(3) 変換の作成

回転シーケンス "XYZ" および "xyz" 並進 [6 4 1] を指定してオイラー角回転 [pi/2 0 pi/7] を定義します。

angles = [pi/2 0 pi/7];
trvec = [6 4 1];

オイラー角と並進を使用して SE(3) 変換を作成します。

TF = se3(angles,"eul","XYZ",trvec)

TF = se3
    0.9010   -0.4339         0    6.0000
    0.0000    0.0000   -1.0000    4.0000
    0.4339    0.9010    0.0000    1.0000
         0         0         0    1.0000

アルゴリズム

3 次元同次変換行列

3 次元同次変換行列は、SO(3) 回転と xyz 並進の両方で構成されます。

SO(3) 回転の詳細については、so3 オブジェクトの3 次元の正規直交回転行列のセクションを参照してください。

並進は x 軸方向、y 軸方向、および z 軸方向で、3 要素の列ベクトルになります。

$$t=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$$

SO(3) 回転行列 R を並進ベクトル t に適用して、同次変換行列 T が作成されます。回転行列は変換行列の左上に 3 行 3 列の部分行列として含まれ、並進ベクトルは最後の列に 3 要素ベクトルとして含まれます。

$$T=\left[\begin{array}{cc}R& t\\ 0_{1x3}& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{I}_3& t\\ 0_{1x3}& 1\end{array}\right]·\left[\begin{array}{cc}R& 0\\ 0_{1x3}& 1\end{array}\right]$$

拡張機能

C/C++ コード生成
MATLAB® Coder™ を使用して C および C++ コードを生成します。

バージョン履歴

R2022b で導入

R2023a: 新しいメソッドと構文

se3 は、他の変換や回転との間で変換を行うための新しいメソッドと構文をサポートしています。

新しいメソッドは次のとおりです。

• axang

• eul

• so3

• quat

• quaternion

• xyzquat

参考

関数

• axang2tform | eul2tform | quat2tform | rotm2tform | trvec2tform | plotTransforms

オブジェクト

• se2 | so2 | so3 | quaternion