幾何学的変換の行列表現

線形幾何学的変換は数値行列として表すことができます。平行移動、スケーリング、回転、反転などの変換の各種類は、要素が特定のパターンに従う行列を使用して定義されます。変換を表す行列の合成を取ることにより、複数の変換を組み合わせることができます。詳細については、Create Composite 2-D Affine Transformationsを参照してください。

2 次元アフィン変換

この表は、2 次元アフィン変換と、各アフィン変換の定義に使用する変換行列をまとめています。2 次元アフィン変換の場合は、最後の行が [0 0 1] でなければなりません。

2 次元の平行移動行列の組み合わせを使用して、平行移動変換を表す transltform2d オブジェクトを作成します。
2 次元の平行移動行列と回転行列の組み合わせを使用して、無反射剛体変換を表す rigidtform2d オブジェクトを作成します。
2 次元の平行移動行列、回転行列、スケーリング行列の組み合わせを使用して、無反射相似変換を表す simtform2d オブジェクトを作成します。
任意の組み合わせの 2 次元変換行列を使用して、一般的なアフィン変換を表す affinetform2d オブジェクトを作成します。

2 次元アフィン変換	変換行列
平行移動	$[\begin{matrix} 1 & 0 & t_{x} \\ 0 & 1 & t_{y} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$	t_x は "x" 軸に沿って移動を指定します。 t_y は "y" 軸に沿って移動を指定します。ピクセル座標の詳細については、イメージの座標系を参照してください。
スケール	$[\begin{matrix} s_{x} & 0 & 0 \\ 0 & s_{y} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$	s_x は "x" 軸に沿って倍率を指定します。 s_y は "y" 軸に沿って倍率を指定します。
せん断	$[\begin{matrix} 1 & s h_{x} & 0 \\ s h_{y} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$	sh_x は "x" 軸に沿ってせん断係数を指定します。 sh_y は "y" 軸に沿ってせん断係数を指定します。
反転	$[\begin{matrix} cosd(2 φ) & sind(2 φ) & 0 \\ sind(2 φ) & - cosd(2 φ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$	φ は、反転の軸の角度 (度数) を指定します。よく使われる反転は、垂直方向の反転と水平方向の反転の 2 つです。垂直方向の反転は、x 軸を中心とする反転です。このため、φ は 0 であり、反転行列は以下のように単純化されます。 `[1 0 0; 0 -1 0; 0 0 1]`. 水平方向の反転は、y 軸を中心とする反転です。このため、φ は 90 であり、反転行列は以下のように単純化されます。 `[-1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]`
回転	$[\begin{matrix} cosd (θ) & - sind (θ) & 0 \\ sind (θ) & cosd (θ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$	θ は原点を中心とする回転の角度 (度数) を指定します。

2 次元射影変換

射影変換ではイメージの平面を傾けることができます。平行線は消失点に向かって収束し、奥行があるように見えます。

変換は 3 行 3 列の行列です。アフィン変換とは異なり、変換行列の最後の行に制約はありません。2 次元のアフィン変換行列と射影変換行列の任意の合成を使用して、一般的な射影変換を表す projtform2d オブジェクトを作成します。

2 次元射影変換	例	変換行列
傾き		$[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ E & F & 1 \end{matrix}]$	E および F は消失点に影響を与えます。 E と F を大きくすると、消失点が原点に近くなるため、平行線がより速く収束するように見えます。

2 次元射影変換

例

変換行列

傾き

Original and projected checkerboard image. The transformed image appears tilted into a different plane.

$[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ E & F & 1 \end{matrix}]$

E および F は消失点に影響を与えます。

E と F を大きくすると、消失点が原点に近くなるため、平行線がより速く収束するように見えます。

3 次元アフィン変換

この表は、3 次元アフィン変換と、各アフィン変換の定義に使用する変換行列をまとめています。3 次元の場合は、イメージの回転方法またはせん断方法に応じて複数の行列があります。3 次元アフィン変換の場合は、最後の行が [0 0 0 1] でなければなりません。

3 次元の平行移動行列の組み合わせを使用して、平行移動変換を表す transltform3d オブジェクトを作成します。
3 次元の平行移動行列と回転行列の組み合わせを使用して、無反射剛体変換を表す rigidtform3d オブジェクトを作成します。
3 次元の平行移動行列、回転行列、スケーリング行列の組み合わせを使用して、無反射相似変換を表す simtform3d オブジェクトを作成します。
任意の組み合わせの 3 次元変換行列を使用して、一般的なアフィン変換を表す affinetform3d オブジェクトを作成します。

3 次元アフィン変換	変換行列
平行移動	x、y、z の方向に、それぞれ t_x、t_y、t_z の量での平行移動 $[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & t_{x} \\ 0 & 1 & 0 & t_{y} \\ 0 & 0 & 1 & t_{z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$
スケール	x、y、z の方向に、それぞれ s_x、s_y、s_z の倍率でのスケーリング $[\begin{matrix} s_{x} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_{y} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_{z} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$
せん断	y-z 平面内でのせん断 $[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ s h_{x y} & 1 & 0 & 0 \\ s h_{x z} & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$ 条件 $\begin{array}{l} x' = x \\ y' = y + s h_{x y} x \\ z' = z + s h_{x z} x \end{array}$	x-z 平面内でのせん断 $[\begin{matrix} 1 & s h_{y x} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & s h_{y z} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$ 条件 $\begin{array}{l} x' = x + s h_{y x} y \\ y' = y \\ z' = z + s h_{y z} y \end{array}$	x-y 平面内でのせん断 $[\begin{matrix} 1 & 0 & s h_{z x} & 0 \\ 0 & 1 & s h_{z y} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$ 条件 $\begin{array}{l} x' = x + s h_{z x} z \\ y' = y + s h_{z y} z \\ z' = z \end{array}$
反転	y-z 平面上での x 座標の符号反転による反転 $[\begin{matrix} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$	x-z 平面上での y 座標の符号反転による反転 $[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$	x-y 平面上での z 座標の符号反転による反転 $[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$
回転	y-z 平面内での x 軸を中心とした角度 θ_x (度数) の回転 $[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cosd (θ_{x}) & - sind (θ_{x}) & 0 \\ 0 & sind (θ_{x}) & cosd (θ_{x}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$	x-z 平面内での y 軸を中心とした角度 θ_y (度数) の回転 $[\begin{matrix} cosd (θ_{y}) & 0 & sind (θ_{y}) & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ - sind (θ_{y}) & 0 & cosd (θ_{y}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$	x-y 平面内での z 軸を中心とした角度 θ_z (度数) の回転 $[\begin{matrix} cosd (θ_{z}) & - sind (θ_{z}) & 0 & 0 \\ sind (θ_{z}) & cosd (θ_{z}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$

3 次元アフィン変換

変換行列

平行移動

x、y、z の方向に、それぞれ t_x、t_y、t_z の量での平行移動

$[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & t_{x} \\ 0 & 1 & 0 & t_{y} \\ 0 & 0 & 1 & t_{z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$

スケール

x、y、z の方向に、それぞれ s_x、s_y、s_z の倍率でのスケーリング

$[\begin{matrix} s_{x} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_{y} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_{z} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$

せん断

y-z 平面内でのせん断

$[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ s h_{x y} & 1 & 0 & 0 \\ s h_{x z} & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$

条件

$\begin{array}{l} x' = x \\ y' = y + s h_{x y} x \\ z' = z + s h_{x z} x \end{array}$

x-z 平面内でのせん断

$[\begin{matrix} 1 & s h_{y x} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & s h_{y z} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$

条件

$\begin{array}{l} x' = x + s h_{y x} y \\ y' = y \\ z' = z + s h_{y z} y \end{array}$

x-y 平面内でのせん断

$[\begin{matrix} 1 & 0 & s h_{z x} & 0 \\ 0 & 1 & s h_{z y} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$

条件

$\begin{array}{l} x' = x + s h_{z x} z \\ y' = y + s h_{z y} z \\ z' = z \end{array}$

反転

y-z 平面上での x 座標の符号反転による反転

$[\begin{matrix} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$

x-z 平面上での y 座標の符号反転による反転

$[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$

x-y 平面上での z 座標の符号反転による反転

$[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$

回転

y-z 平面内での x 軸を中心とした角度 θ_x (度数) の回転

$[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cosd (θ_{x}) & - sind (θ_{x}) & 0 \\ 0 & sind (θ_{x}) & cosd (θ_{x}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$

x-z 平面内での y 軸を中心とした角度 θ_y (度数) の回転

$[\begin{matrix} cosd (θ_{y}) & 0 & sind (θ_{y}) & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ - sind (θ_{y}) & 0 & cosd (θ_{y}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$

x-y 平面内での z 軸を中心とした角度 θ_z (度数) の回転

$[\begin{matrix} cosd (θ_{z}) & - sind (θ_{z}) & 0 & 0 \\ sind (θ_{z}) & cosd (θ_{z}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$

3 次元射影変換と N 次元変換

関数 imwarp は、3 次元射影変換、または N 次元アフィンおよび射影変換をサポートしていません。その代わりに、関数 maketform を使用して幾何学的変換行列から空間変換構造体を作成できます。作成後、関数 tformarray を使用してその変換をイメージに適用します。詳細については、N 次元空間変換を参照してください。

変換行列の次元は、(N+1) 行 (N+1) 列でなければなりません。関数 maketform および tformarray は、右から乗算する行列規則を使用します。右から乗算する規則の幾何学的変換行列は、左から乗算する規則の行列の転置です。このため、N 次元アフィン変換行列の場合、最後の列は [zeros(N,1); 1] を含まなければなりません。最後の行の値には制約がありません。

参考

imwarp | fitgeotform2d | affinetform2d | affinetform3d | projtform2d

幾何学的変換の行列表現

2 次元アフィン変換

2 次元射影変換

3 次元アフィン変換

3 次元射影変換と N 次元変換

参考

トピック