Simulink でのゲインスケジュール制御システムのモデル化

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Simulink^® で、コントローラーのゲインや係数が時間、操作条件、モデルパラメーターなどのスケジューリング変数に依存するゲインスケジュール制御システムをモデル化できます。Control System Toolbox™ の線形パラメーター変動ブロックのライブラリを使用して、可変ゲインをもつ一般的な制御システム要素を実装できます。ルックアップテーブルなどのブロックや MATLAB Function ブロックを使用して、これらのゲインがスケジューリング変数に依存するゲインスケジュールを実装します。

Simulink でゲインスケジュール制御システムをモデル化するには、次を行います。

スケジューリング変数と、モデル内でそれらを表す信号を特定します。たとえば、巡航中の航空機のシステムの場合、スケジューリング変数は航空機の入射角と対気速度になります。
ルックアップテーブルブロックまたは MATLAB Function ブロックを使用して、スケジューリング変数に依存するゲインまたは変数を実装します。性能要件を満たすゲインスケジュールのためのルックアップテーブル値または MATLAB^® 式がない場合、systune を使用して調整することができます。Simulink でのゲインスケジュールの調整を参照してください。
通常の制御要素をゲインスケジュールされた要素に置き換えます。たとえば、固定係数 PID コントローラーの代わりに Varying PID Controller ブロックを使用して、ゲインスケジュールにより PID ゲインが決定されるようにします。
必要に応じてスケジューリングロジックとセーフガードをモデルに追加します。

スケジュールゲインのモデル化

ゲインスケジュールはスケジューリング変数の現在の値をコントローラーゲインに変換します。ゲインスケジュールを Simulink で実装する方法はいくつかあります。

ルックアップテーブルの実装に使用できるブロックには次が含まれます。

ルックアップテーブル — "ルックアップテーブル" は、ブレークポイントと対応するゲイン値のリストです。スケジューリング変数がブレークポイントの間にある場合、ルックアップテーブルは対応するゲイン間を内挿します。ゲインスケジュールをルックアップテーブルとして実装するには、次のブロックを使用します。
- 1-D Lookup Table、2-D Lookup Table、n-D Lookup Table — 1 つ、2 つ、またはそれ以上の数のスケジューリング変数に依存するスカラーゲインに使用します。
- Matrix Interpolation — 1 つ、2 つ、または 3 つのスケジューリング変数に依存する行列値ゲインに使用します (このブロックは [Simulink Extras] ライブラリにあります)。
MATLAB Function ブロック — ゲインをスケジューリング変数に関連付ける関数式がある場合、MATLAB Function ブロックを使用します。式が滑らかな関数の場合、MATLAB 関数を使用するとルックアップテーブルよりも滑らかなゲイン変動が得られることがあります。また、Simulink Coder™ などのコード生成製品を使ってコントローラーをハードウェアに実装する場合、MATLAB 関数はルックアップテーブルよりもメモリ効率の高い実装となる可能性があります。

systune を使用して、ルックアップテーブルまたは MATLAB 関数として実装されたゲインスケジュールを調整できます。Simulink でのゲインスケジュールの調整を参照してください。

コントローラーにおけるスケジュールゲイン

例として、モデル rct_CSTR には PI コントローラーと進み補償器が含まれており、コントローラーゲインが 1-D Lookup Table ブロックを使用してルックアップテーブルとして実装されます。モデルを開いてコントローラーを確認します。

open_system(fullfile(matlabroot,'examples','controls_id','rct_CSTR.slx'))

Concentration controller ブロックと Temperature controller ブロックの両方が、CSTR プラント出力 Cr を入力として取ります。この値は、コントローラーの動作が依存するシステムの制御変数とスケジューリング変数の両方を表します。Concentration controller ブロックをダブルクリックします。

このブロックは、比例ゲイン Kp と積分ゲイン Ki がスケジューリングパラメーター Cr を 1-D Lookup Table ブロックに送ることで決定される PI コントローラーです。同様に、Temperature controller ブロックには、ルックアップテーブルとして実装されている 3 つのゲインが含まれます。

よく使用する制御要素のゲインスケジュール等価物

Control System Toolbox の [Linear Parameter Varying] ブロックライブラリを使用して、可変のパラメーターまたは係数をもつ、共通の制御要素を実装します。これらのブロックは、ゲインまたはパラメーターを外部入力として利用できる共通要素を提供します。次の表に、これらのブロックの用途の一部を示します。

ブロック	用途
Varying Lowpass Filter Discrete Varying Lowpass	これらのブロックは、カットオフ周波数がスケジューリング変数により変化するバタワースローパスフィルターを実装するために使用します。
Varying Notch Filter Discrete Varying Notch	これらのブロックは、ノッチの周波数、幅、および深さがスケジューリング変数により変化するノッチフィルターを実装するために使用します。
Varying PID Controller Discrete Varying PID Varying 2DOF PID Discrete Varying 2DOF PID	これらのブロックは、PID Controller ブロックと PID Controller (2DOF) ブロックのあらかじめ構成されたバージョンです。これらを使用して、PID ゲインがスケジューリング変数により変化する PID コントローラーを実装します。
Varying Transfer Function Discrete Varying Transfer Function	これらのブロックは、分子と分母の多項式係数がスケジューリング変数により変化する任意の次数の伝達関数を実装するために使用します。
Varying State Space Discrete Varying State Space	これらのブロックは、A、B、C、D の各行列がスケジューリング変数により変化する状態空間コントローラーを実装するために使用します。
Varying Observer Form Discrete Varying Observer Form	これらのブロックは、LQG コントローラーなどの、ゲインスケジュールされたオブザーバー形式の状態空間コントローラーを実装するために使用します。このようなコントローラーでは、A、B、C、D の各行列および状態フィードバックと状態オブザーバーのゲイン行列が、スケジューリング変数により変化します。

ゲインスケジュールノッチフィルター

たとえば、次の図に示すサブシステムは Varying Notch Filter ブロックを使用して、ノッチ周波数が 2 つのスケジューリング変数の関数として変化するフィルターを実装しています。ノッチ周波数とスケジューリング変数の関係は MATLAB function で実装されます。

ゲインスケジュール PI コントローラー

もう 1 つの例として、次のサブシステムはゲインスケジュールの離散時間 PI コントローラーです。ここでは比例ゲインと積分ゲインがともに同じスケジューリング変数に依存しています。このコントローラーは 1-D Lookup Table ブロックを使ってゲインスケジュールを実装します。

行列値ゲインスケジュール

行列値ゲインスケジュールを Simulink で実装することもできます。行列値ゲインスケジュールは、1 つ以上のスケジューリング変数を受け取り、スカラー値の代わりに行列を返します。たとえば、次の形式をもつ時変 LQG コントローラーを実装するとします。

$\begin{matrix} d x_{e} = A x_{e} + B u + L (y - C x_{e} - D u) \\ u = - K x_{e}, \end{matrix}$

ここで、一般的に状態空間行列 A、B、C および D、状態フィードバック行列 K、オブザーバーゲイン行列 L は、すべて時間とともに変動します。この場合、時間がスケジューリング変数になり、ゲインスケジュールによって特定の時間における行列の値が決まります。

Simulink モデルでは、以下を使用して行列値ゲインスケジュールを実装できます。

MATLAB Function ブロック — スケジューリング変数を受け取って行列値を返す MATLAB 関数を指定します。
Matrix Interpolation ブロック — 行列値を各スケジューリング変数のブレークポイントに関連付けるルックアップテーブルを指定します。ブレークポイントの間では、ブロックが行列要素を内挿します (このブロックは [Simulink Extras] ライブラリにあります)。

LQG コントローラーの場合、MATLAB Function ブロックまたは Matrix Interpolation ブロックを使用して、時変行列を Varying Observer Form ブロックへの入力として実装します。以下に例を示します。

この実装では、関連付けられた関数がシミュレーション時間を受け取って適切な次元の行列を返す MATLAB Function ブロックとしてそれぞれの時変行列を実装します。

MATLAB Function ブロックまたは Matrix Interpolation ブロックとして実装された行列値ゲインスケジュールを調整できます。ただし、Matrix Interpolation ブロックを調整するには、[シミュレーション実行方法] を [インタープリター型実行] に設定しなければなりません。シミュレーションモードの詳細については、Matrix Interpolation ブロックのリファレンスページを参照してください。

カスタムのゲインスケジュール制御構造

スケジュールゲインを使用して独自の制御要素を作成することもできます。たとえば、モデル rct_CSTR には、スケジューリング変数 CR に依存する 3 つの係数をもつゲインスケジュール進み補償器が含まれています。この補償器の実装方法を理解するため、モデルを開いて Temperature controller サブシステムを確認します。

ここで全体のゲイン Kt、零点の位置 a、および極配置 b は、それぞれスケジューリング変数を入力として受け取る 1 次元のルックアップテーブルとして実装されています。ルックアップテーブルは Product ブロックに直接送られます。

ゲインスケジュールの調整可能性

ゲインスケジュールを実装するルックアップテーブルまたは MATLAB Function ブロックを systune で調整可能にするには、それが最終的に次のいずれかに送られなければなりません。

Linear Parameter Varying ブロックライブラリのブロック。
指定された信号にゲインを適用する Product ブロック。たとえば、Product ブロックが入力としてスケジュールゲイン g(α) と信号 u(t) を受け取る場合、ブロックの出力信号は y(t) = g(α)u(t) になります。

ルックアップテーブルまたは MATLAB Function ブロックと、Product ブロックまたはパラメーター変動ブロックとの間には、次のブロックが 1 つ以上存在することが可能です。

Gain
Bias
線形領域における単位ゲインと等価の次のブロック
- Transport Delay、Variable Transport Delay
- Saturate、Deadzone
- Rate Limiter、Rate Transition
- Quantizer、Memory、Zero-Order Hold
- MinMax
- Data Type Conversion
- Signal Specification
次のスイッチブロック
- Switch
- Multiport Switch
- Manual Switch

このようなブロックの挿入は、たとえばゲイン値を特定の範囲に制約したり、ゲインスケジュールの更新頻度を指定する場合などに有用です。