fsolve
R2026b連立非線形方程式を解く
構文
説明
x = fsolve(fun,x0)x0 を開始点として、方程式 fun(x) = "0" (ゼロの配列) の解を求めようとします。
メモ
追加パラメーターの受け渡し は必要に応じて他のパラメーターを関数 fun(x) へ渡す方法を説明します。パラメーター付き方程式の求解を参照してください。
x = fsolve(fun,x0,options)options で指定された最適化オプションを使用して方程式を解きます。optimoptions を使用してこれらのオプションを設定してください。
例
この例では、2 変数の 2 つの非線形方程式を解く方法を説明します。方程式は次のとおりです。
これらの方程式を の形式に変換します。
この例を実行する際に使用できる関数 root2d.m は、値を計算します。
type root2d.mfunction F = root2d(x) F(1) = exp(-exp(-(x(1)+x(2)))) - x(2)*(1+x(1)^2); F(2) = x(1)*cos(x(2)) + x(2)*sin(x(1)) - 0.5;
点 [0,0] を開始点として方程式を解きます。
fun = @root2d; x0 = [0,0]; x = fsolve(fun,x0)
Equation solved. fsolve completed because the vector of function values is near zero as measured by the value of the function tolerance, and the problem appears regular as measured by the gradient. <stopping criteria details>
x = 1×2
0.3532 0.6061
非線形システムの解法プロセスを検証します。
表示を返さず、1 次の最適性を表示するプロット関数をもつようにオプションを設定します。この場合、アルゴリズムが反復すると 0 に収束します。
options = optimoptions("fsolve",... Display="none",PlotFcn=@optimplotfirstorderopt);
非線形システムの方程式は次のとおりです。
これらの方程式を の形式に変換します。
関数 root2d は、これらの 2 つの方程式の左辺値を計算します。
function F = root2d(x) F(1) = exp(-exp(-(x(1)+x(2)))) - x(2)*(1+x(1)^2); F(2) = x(1)*cos(x(2)) + x(2)*sin(x(1)) - 0.5; end
[0,0] を開始点とする非線形システムを解き、解法プロセスを確認します。
fun = @root2d; x0 = [0,0]; x = fsolve(fun,x0,options)
x = 1×2
0.3532 0.6061
追加パラメーターの受け渡しのトピックで説明されているように、方程式はパラメーター化することができます。たとえば、この例の最後に記載されている補助関数 paramfun は、 によってパラメーター化され、次の方程式を生成します。
特定の値の方程式を解くには (この場合は )、ワークスペースに を設定して、paramfun から無名関数 x を生成します。
c = -1; fun = @(x)paramfun(x,c);
点 x0 = [0 1] から始めて方程式を解きます。
x0 = [0 1]; x = fsolve(fun,x0)
Equation solved. fsolve completed because the vector of function values is near zero as measured by the value of the function tolerance, and the problem appears regular as measured by the gradient. <stopping criteria details>
x = 1×2
0.1976 0.4255
の別の値について解く場合は、新しい 値をもつように、ワークスペースに を入力して関数 fun を再度生成します。
c = -2;
fun = @(x)paramfun(x,c); % fun now has the new c value
x = fsolve(fun,x0)Equation solved. fsolve completed because the vector of function values is near zero as measured by the value of the function tolerance, and the problem appears regular as measured by the gradient. <stopping criteria details>
x = 1×2
0.1788 0.3418
補助関数
次のコードは、paramfun 補助関数を作成します。
function F = paramfun(x,c) F = [ 2*x(1) + x(2) - exp(c*x(1)) -x(1) + 2*x(2) - exp(c*x(2))]; end
fsolve の問題構造体を作成し、問題を解きます。
既定ではないオプションによる解と同じ問題を解きます。ただし、問題構造体を使用して問題を定式化します。
表示を返さず、1 次の最適性を表示するプロット関数をもつように問題のオプションを設定します。この場合、アルゴリズムが反復すると 0 に収束します。
problem.options = optimoptions("fsolve",... Display="none",PlotFcn=@optimplotfirstorderopt);
非線形システムの方程式は次のとおりです。
これらの方程式を の形式に変換します。
関数 root2d は、これらの 2 つの方程式の左辺値を計算します。
function F = root2d(x) F(1) = exp(-exp(-(x(1)+x(2)))) - x(2)*(1+x(1)^2); F(2) = x(1)*cos(x(2)) + x(2)*sin(x(1)) - 0.5; end
問題構造体の残りのフィールドを作成します。
problem.objective = @root2d;
problem.x0 = [0,0];
problem.solver = "fsolve";問題を解きます。
x = fsolve(problem)
x = 1×2
0.3532 0.6061
この例では、2 つの未知数をもつ 2 つの方程式から成る連立方程式の解法プロセスを示す反復表示が返されます。
これらの方程式を、 の形式に書き直します。
x0 = [-5 -5] での解の検索を開始します。
まず、x での方程式の値 F を計算する関数を記述します。
F = @(x) [2*x(1) - x(2) - exp(-x(1));
-x(1) + 2*x(2) - exp(-x(2))];初期点 x0 を作成します。
x0 = [-5;-5];
反復表示を返すようにオプションを設定します。
options = optimoptions("fsolve",Display="iter");
方程式を解きます。
[x,fval] = fsolve(F,x0,options)
Norm of First-order Trust-region
Iteration Func-count ||f(x)||^2 step optimality radius
0 3 47071.2 2.29e+04 1
1 6 12003.4 1 5.75e+03 1
2 9 3147.02 1 1.47e+03 1
3 12 854.452 1 388 1
4 15 239.527 1 107 1
5 18 67.0412 1 30.8 1
6 21 16.7042 1 9.05 1
7 24 2.42788 1 2.26 1
8 27 0.032658 0.759511 0.206 2.5
9 30 7.03149e-06 0.111927 0.00294 2.5
10 33 3.29525e-13 0.00169132 6.36e-07 2.5
Equation solved.
fsolve completed because the vector of function values is near zero
as measured by the value of the function tolerance, and
the problem appears regular as measured by the gradient.
<stopping criteria details>
x = 2×1
0.5671
0.5671
fval = 2×1
10-6 ×
-0.4059
-0.4059
反復表示は f(x) を示します。これは、関数 F(x) のノルムの 2 乗です。この値は、反復が行われるたびに減少してゼロに近づきます。1 次の最適性の尺度も同様に、反復が行われるたびに減少してゼロに近づきます。これらのエントリは、反復が解に向かって収束していることを示しています。他のエントリの意味については、反復表示を参照してください。
fval 出力は、関数値 F(x) を与えます。この値は、解においてゼロ (FunctionTolerance の許容誤差内で) になります。
次を満たす行列 を求めます。
,
点 x0 = [1,1;1,1] を開始値とします。行列方程式を計算する無名関数を作成し、点 x0 を作成します。
fun = @(x)x*x*x - [1,2;3,4]; x0 = ones(2);
オプションを設定して表示しないようにします。
options = optimoptions("fsolve",Display="off");
fsolve の出力を検証して、解の質および解法プロセスを確認します。
[x,fval,exitflag,output] = fsolve(fun,x0,options)
x = 2×2
-0.1291 0.8602
1.2903 1.1612
fval = 2×2
10-9 ×
-0.2742 0.1258
0.1876 -0.0864
exitflag = 1
output = struct with fields:
iterations: 11
funcCount: 52
algorithm: 'trust-region-dogleg'
firstorderopt: 4.0197e-10
message: 'Equation solved.↵↵fsolve completed because the vector of function values is near zero↵as measured by the value of the function tolerance, and↵the problem appears regular as measured by the gradient.↵↵<stopping criteria details>↵↵Equation solved. The sum of squared function values, r = 1.336702e-19, is less than↵sqrt(options.FunctionTolerance) = 1.000000e-03. The relative norm of the gradient of r,↵4.019681e-10, is less than options.OptimalityTolerance = 1.000000e-06.'
終了フラグ値 1 は、解が信頼できることを示します。これを手動で検証するには、残差 (fval の二乗和) を計算して、どの程度ゼロに近いかを確認します。
sum(sum(fval.*fval))
ans = 1.3367e-19
このように残差が小さい場合、x が解であることが確認できます。
output 構造体で、解を求めるために fsolve が実行する反復および関数評価の回数を確認できます。
入力引数
出力引数
制限
解かれる関数は連続でなければなりません。
うまく実行できた場合、
fsolveは 1 つの根のみを出力します。既定の Trust-region-dogleg 法は連立方程式が合致する、すなわち、方程式の数が未知数の数と等しい場合にのみ使用できます。レーベンバーグ・マルカート法では、連立方程式が合致している必要はありません。
詳細
ヒント
大規模な問題、つまり数千を超える変数が含まれる問題の場合、
Algorithmオプションを"trust-region"、SubproblemAlgorithmオプションを"cg"に設定することにより、メモリを節約できます (場合によっては時間を短縮できます)。
アルゴリズム
レーベンバーグ・マルカート法および信頼領域法は、lsqnonlin にも使用される非線形最小二乗アルゴリズムに基づいています。システムが 0 をもたない可能性がある場合、これらの方法の 1 つを使用してください。アルゴリズムは、残差が小さいところの点を戻します。しかし、システムのヤコビアンが特異な場合、アルゴリズムが連立方程式の解ではない点に収束する可能性があります (制限 を参照)。
既定の設定では
fsolveは Trust-region-dogleg 法アルゴリズムを選択します。アルゴリズムは [8] で説明される Powell dogleg method を変形したものです。これは [7] で実装したアルゴリズムと似た性質をもちます。Trust-region-dogleg 法アルゴリズムを参照してください。この信頼領域法アルゴリズムは部分空間の信頼領域法であり、[1] と [2] で説明する interior-reflective ニュートン法に基づいています。各反復は、前処理付き共役勾配 (PCG) 法を使用する大型線形システムの近似解を伴います。信頼領域法アルゴリズムを参照してください。
レーベンバーグ・マルカート法は [4]、[5]、[6] の参考文献で説明されています。レーベンバーグ・マルカート法を参照してください。
代替機能
アプリ
[最適化] ライブ エディター タスクが fsolve にビジュアル インターフェイスを提供します。
参照
[1] Coleman, T.F. and Y. Li, “An Interior, Trust Region Approach for Nonlinear Minimization Subject to Bounds,” SIAM Journal on Optimization, Vol. 6, pp. 418-445, 1996.
[2] Coleman, T.F. and Y. Li, “On the Convergence of Reflective Newton Methods for Large-Scale Nonlinear Minimization Subject to Bounds,” Mathematical Programming, Vol. 67, Number 2, pp. 189-224, 1994.
[3] Dennis, J. E. Jr., “Nonlinear Least-Squares,” State of the Art in Numerical Analysis, ed. D. Jacobs, Academic Press, pp. 269-312.
[4] Levenberg, K., “A Method for the Solution of Certain Problems in Least-Squares,” Quarterly Applied Mathematics 2, pp. 164-168, 1944.
[5] Marquardt, D., “An Algorithm for Least-squares Estimation of Nonlinear Parameters,” SIAM Journal Applied Mathematics, Vol. 11, pp. 431-441, 1963.
[6] Moré, J. J., “The Levenberg-Marquardt Algorithm: Implementation and Theory,” Numerical Analysis, ed. G. A. Watson, Lecture Notes in Mathematics 630, Springer Verlag, pp. 105-116, 1977.
[7] Moré, J. J., B. S. Garbow, and K. E. Hillstrom, User Guide for MINPACK 1, Argonne National Laboratory, Rept. ANL-80-74, 1980.
[8] Powell, M. J. D., “A Fortran Subroutine for Solving Systems of Nonlinear Algebraic Equations,” Numerical Methods for Nonlinear Algebraic Equations, P. Rabinowitz, ed., Ch.7, 1970.
