fzero
非線形関数の根
説明
例
3 の近傍で正弦関数の零点を求めることにより を計算します。
fun = @sin; % function x0 = 3; % initial point x = fzero(fun,x0)
x = 3.1416
1 と 2 の間にある余弦の零点を求めます。
fun = @cos; % function x0 = [1 2]; % initial interval x = fzero(fun,x0)
x = 1.5708
と の符号が異なることに注意してください。
関数と単精度スカラーの開始点 x0 を作成します。x0 から始まる fzero を使用して関数の根を求めます。
f = @(x)cosh(x)-2*sinh(x); x0 = single(1); [x,fval,exitflag,output] = fzero(f,x0)
x = single
0.5493
fval = single
1.1921e-07
exitflag = single
1
output = struct with fields:
intervaliterations: 9
iterations: 3
funcCount: 21
algorithm: 'bisection, interpolation'
message: 'Zero found in the interval [0.547452, 1.32]'
根を挟む 2 要素の単精度ベクトルを開始点として作成し、解および解法プロセスを比較します。
x0 = single([-1,1]); [x2,fval2,exitflag2,output2] = fzero(f,x0)
x2 = single
0.5493
fval2 = single
1.1921e-07
exitflag2 = single
1
output2 = struct with fields:
intervaliterations: 0
iterations: 5
funcCount: 7
algorithm: 'bisection, interpolation'
message: 'Zero found in the interval [-1, 1]'
結果は同じになります。fzero で使用される関数評価は、今回の方がはるかに少なくなります。
単精度の結果を、標準的な倍精度データを使用した同じ計算と比較します。
x0 = [-1,1]; [x3,fval3,exitflag3,output3] = fzero(f,x0)
x3 = 0.5493
fval3 = -2.2204e-16
exitflag3 = 1
output3 = struct with fields:
intervaliterations: 0
iterations: 7
funcCount: 9
algorithm: 'bisection, interpolation'
message: 'Zero found in the interval [-1, 1]'
倍精度データを使用すると、fzero の関数評価回数が数回ほど増加します。次数 2e–16 の関数値を次数 1e–7 の単精度値と比較すると、結果の精度がはるかに高くなっています。
関数 f(x) = x3 – 2x – 5. の零点を求めます。
最初に、ファイル f.m を記述します。
function y = f(x)
y = x.^3 - 2*x - 5;MATLAB® パス上に f.m を保存します。
2 の近傍の f(x) の零点を求めます。
fun = @f; % function x0 = 2; % initial point z = fzero(fun,x0)
z =
2.0946f(x) は多項式なので、roots コマンドを使用して、同じ実数零点と零点の複素共役対を検出できます。
roots([1 0 -2 -5])
ans = 2.0946 -1.0473 + 1.1359i -1.0473 - 1.1359i
追加パラメーターをもつ関数の根を求めます。
myfun = @(x,c) cos(c*x); % parameterized function c = 2; % parameter fun = @(x) myfun(x,c); % function of x alone x = fzero(fun,0.1)
x = 0.7854
いくつかのプロット関数を設定することによって解法プロセスをプロットします。
関数と初期点を定義します。
fun = @(x)sin(cosh(x)); x0 = 1;
プロット関数を含むオプションを設定することによって解法プロセスを調べます。
options = optimset(PlotFcns={@optimplotx,@optimplotfval});options を含めて fzero を実行します。
x = fzero(fun,x0,options)
x = 1.8115
問題の構造体で定義される問題を解きます。
根の探索問題をエンコードする構造体を定義します。
problem.objective = @(x)sin(cosh(x)); problem.x0 = 1; problem.solver = 'fzero'; % a required part of the structure problem.options = optimset(@fzero); % default options
問題を解きます。
x = fzero(problem)
x = 1.8115
exp(-exp(-x)) = x である点を求め、解法プロセスに関する情報を表示します。
fun = @(x) exp(-exp(-x)) - x; % function x0 = [0 1]; % initial interval options = optimset(Display="iter"); % show iterations [x fval exitflag output] = fzero(fun,x0,options)
Func-count x f(x) Procedure
2 1 -0.307799 initial
3 0.544459 0.0153522 interpolation
4 0.566101 0.00070708 interpolation
5 0.567143 -1.40255e-08 interpolation
6 0.567143 1.50013e-12 interpolation
7 0.567143 0 interpolation
Zero found in the interval [0, 1]
x = 0.5671
fval = 0
exitflag = 1
output = struct with fields:
intervaliterations: 0
iterations: 5
funcCount: 7
algorithm: 'bisection, interpolation'
message: 'Zero found in the interval [0, 1]'
fval = 0 は、想定どおり fun(x) = 0 であることを意味します。
入力引数
出力引数
アルゴリズム
fzero コマンドは関数ファイルです。T. Dekker が作成したこのアルゴリズムは、二分法、正割、および逆 2 次内挿法を組み合わせて使用します。いくつかの改良がなされた Algol 60 バージョンは[1]にあります。fzero が基づいている Fortran 版は[2]にあります。
代替機能
アプリ
[最適化] ライブ エディター タスクは、fzero のビジュアル インターフェイスを提供します。
参照
[1] Brent, R., Algorithms for Minimization Without Derivatives, Prentice-Hall, 1973.
[2] Forsythe, G. E., M. A. Malcolm, and C. B. Moler, Computer Methods for Mathematical Computations, Prentice-Hall, 1976.
