スカラー関数の根

1 変数の非線形方程式の求解

関数fzeroは、1 変数の方程式の根を探索します。この関数は、1 要素の初期点または初期区間を設定する 2 要素ベクトルのいずれかで呼び出すことができます。関数 fzero に初期値 x0 を指定すると、関数 fzero はこの点の周辺で符号の変わる区間を最初に探索します。区間が見つかると、関数 fzero から関数値の符号が変わる場所の近傍の値が返されます。この区間が見つからない場合、関数 fzero は NaN を返します。また関数値の符号が変化する 2 点が既にわかっている場合は、2 要素ベクトルを使ってこの初期区間を指定できます。関数 fzero はこの区間を狭く絞り込み、符号の変化する近傍の値を返します。

次の節では、初期区間と初期点を使って関数のゼロ点を見つける方法を説明する 2 つの例を示します。例では、MATLAB® に提供されている関数 humps.m を使用します。次の図は humps のグラフを示しています。

x = -1:.01:2;
y = humps(x);
plot(x,y)
xlabel('x');
ylabel('humps(x)')
grid on

fzero のオプション設定

オプションを設定することで、関数 fzero をいくつかの面で制御することができます。optimsetを使用してオプションを設定します。オプションは次のとおりです。

• fzero が生成する表示の量を選択する — 最適化オプションの設定、初期区間の使用、および初期点の利用を参照してください。

• fzero が根の位置にあるか判定する方法を制御するさまざまな許容誤差を選択する — 最適化オプションの設定を参照してください。

• 根に向かう fzero の進行状況を観測するためのプロット関数を選択する — 最適化ソルバーのプロット関数を参照してください。

• 根に向かう fzero の進行状況を観測するための、カスタム プログラムされた出力関数を使用する — 最適化ソルバーの出力関数を参照してください。

初期区間の使用

humps のグラフは、関数が x = -1 で負となり x = 1 で正となることを示しています。これは、これら 2 点で humps を計算することにより確認できます。

humps(1)

ans = 
16

humps(-1)

ans = 
-5.1378

したがって、関数 fzero に対する初期区間として [-1 1] が使用できます。

fzero の反復アルゴリズムは、[-1 1] の部分区間を徐々に小さくしていきます。各部分区間では、humps の符号が 2 つの端点で異なっています。部分区間の端点が互いに近付いていくと、humps のゼロ点に収束します。

各反復での fzero の進行状況を表示するには、関数optimsetを使用して、iter に Display オプションを設定します。

options = optimset('Display','iter');

そして、次のように関数 fzero を呼び出します。

a = fzero(@humps,[-1 1],options)

 
 Func-count    x          f(x)             Procedure
    2              -1      -5.13779        initial
    3       -0.513876      -4.02235        interpolation
    4       -0.513876      -4.02235        bisection
    5       -0.473635      -3.83767        interpolation
    6       -0.115287      0.414441        bisection
    7       -0.115287      0.414441        interpolation
    8       -0.132562    -0.0226907        interpolation
    9       -0.131666    -0.0011492        interpolation
   10       -0.131618   1.88371e-07        interpolation
   11       -0.131618   -2.7935e-11        interpolation
   12       -0.131618   8.88178e-16        interpolation
   13       -0.131618   8.88178e-16        interpolation
 
Zero found in the interval [-1, 1]

a = 
-0.1316

各値 x は、それまでの最良の端点を表します。Procedure は、アルゴリズムの各ステップが 2 分法と内挿法のどちらを使用しているかを示しています。

a の関数値が 0 に近いことは、次のように入力することで確認することができます。

humps(a)

ans = 
8.8818e-16

初期点の利用

humps の関数値の符号が異なる 2 つの点が、未知であると仮定します。この場合、関数 fzero の初期点としてスカラー x0 を選択することができます。関数 fzero は、まず初期点周辺で両端での humps 関数の値の符号が異なる区間を探します。関数 fzero がその区間を検出すると、前の節で説明したアルゴリズムを使用して計算します。この区間が見つからない場合、関数 fzero は NaN を返します。

たとえば、開始点を -0.2、Display オプションを Iter に設定して、次のように関数 fzero を実行します。

options = optimset('Display','iter');
a = fzero(@humps,-0.2,options)

 
Search for an interval around -0.2 containing a sign change:
 Func-count    a          f(a)             b          f(b)        Procedure
    1            -0.2      -1.35385          -0.2      -1.35385   initial interval
    3       -0.194343      -1.26077     -0.205657      -1.44411   search
    5          -0.192      -1.22137        -0.208       -1.4807   search
    7       -0.188686      -1.16477     -0.211314      -1.53167   search
    9          -0.184      -1.08293        -0.216      -1.60224   search
   11       -0.177373     -0.963455     -0.222627      -1.69911   search
   13          -0.168     -0.786636        -0.232      -1.83055   search
   15       -0.154745      -0.51962     -0.245255      -2.00602   search
   17          -0.136     -0.104165        -0.264      -2.23521   search
   18        -0.10949      0.572246        -0.264      -2.23521   search
 
Search for a zero in the interval [-0.10949, -0.264]:
 Func-count    x          f(x)             Procedure
   18        -0.10949      0.572246        initial
   19       -0.140984     -0.219277        interpolation
   20       -0.132259    -0.0154224        interpolation
   21       -0.131617   3.40729e-05        interpolation
   22       -0.131618  -6.79505e-08        interpolation
   23       -0.131618  -2.98428e-13        interpolation
   24       -0.131618   8.88178e-16        interpolation
   25       -0.131618   8.88178e-16        interpolation
 
Zero found in the interval [-0.10949, -0.264]

a = 
-0.1316

各反復における現時点での部分区間の端点は、見出し a、b の下に挙げられています。端点に対応する関数 humps の値は、それぞれ f(a) と f(b) の下に挙げられています。

メモ: 端点 a と端点 b は、特定の順序で記載されてはいません。a が b より大きい場合もあれば、b より小さい場合もあります。

最初の 9 ステップにおいて、humps の符号は各時点の部分区間の両端で負となり、これは出力に示されています。ステップ 10 で、humps の値の符号は a (-0.10949) で正となり、b (-0.264) で負となります。この先アルゴリズムは、前節で説明したように、-0.1316 に到達するまで区間 [-0.10949 -0.264] を引き続き狭めていきます。

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