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fminbnd

固定区間上で 1 変数からなる関数の最小値を見つける

構文

x = fminbnd(fun,x1,x2)

x = fminbnd(fun,x1,x2,options)

x = fminbnd(problem)

[x,fval] = fminbnd(___)

[x,fval,exitflag] = fminbnd(___)

[x,fval,exitflag,output] = fminbnd(___)

説明

fminbnd は、以下で指定される問題の最小値を求める 1 次元最小化関数です。

$$\underset{x}{\min }f(x)\text{ such that }{x}_1<x<x_2.$$

x、x₁、x₂ は有限スカラーであり、f(x) はスカラーを返す関数です。

x = fminbnd(fun,x1,x2) は、区間 x1 < x < x2 で fun に記述されたスカラー値関数の局所的最小点 x を返します。

x = fminbnd(fun,x1,x2,options) は、options で指定された最適化オプションを使用して最小化します。これらのオプションを設定するには、optimset を使用します。

x = fminbnd(problem) は、problem の最小値を求めます。problem は構造体です。

[x,fval] = fminbnd(___) は、任意の入力引数について、解 x において fun で計算された目的関数の値を返します。

[x,fval,exitflag] = fminbnd(___) は、終了条件を記述する値 exitflag も返します。

[x,fval,exitflag,output] = fminbnd(___) は、最適化の情報を含む構造体 output も返します。

例

sin の最小値

関数 $$\sin (x)$$ が範囲 $$0<x<2\pi$$ で最小値を取る点を求めます。

fun = @sin;
x1 = 0;
x2 = 2*pi;
x = fminbnd(fun,x1,x2)

x = 4.7124

精度を表示すると、これは正しい値 $$x=3\pi /2$$ と同じです。

3*pi/2

ans = 4.7124

ファイルで指定された関数の最小化

個別の関数ファイルで指定されている関数を最小化します。関数は点 x を受け入れ、x における目的関数の値を表す実数スカラーを返します。

次の関数をファイルとして記述し、そのファイルを scalarobjective.m として MATLAB® パス上に保存します。

function f = scalarobjective(x)
f = 0;
for k = -10:10
    f = f + (k+1)^2*cos(k*x)*exp(-k^2/2);
end

区間 1 <= x <= 3 で scalarobjective が最小になる x を求めます。

x = fminbnd(@scalarobjective,1,3)

x =

    2.0061

追加パラメーターを含む最小化

追加パラメーターがある場合に関数を最小化します。関数 $$\sin (x-a)$$ の最小値は、パラメーター $$a$$ の値に依存します。パラメーター $$a$$ の値を含む、$$x$$ の無名関数を作成します。区間 $$0<x<2\pi$$ でこの関数を最小化します。

a = 9/7;
fun = @(x)sin(x-a);
x = fminbnd(fun,1,2*pi)

x = 5.9981

この解は正しく、理論値は次のとおりです。

3*pi/2 + 9/7

ans = 5.9981

追加パラメーターを含める方法の詳細については、関数のパラメーター化を参照してください。

反復の監視

$$0<x<2\pi$$ で fminbnd が関数 $$\sin (x)$$ を最小化するステップを監視します。

fun = @sin;
x1 = 0;
x2 = 2*pi;
options = optimset('Display','iter');
x = fminbnd(fun,x1,x2,options)

 
 Func-count     x          f(x)         Procedure
    1        2.39996      0.67549        initial
    2        3.88322     -0.67549        golden
    3        4.79993    -0.996171        golden
    4        5.08984    -0.929607        parabolic
    5        4.70582    -0.999978        parabolic
    6         4.7118           -1        parabolic
    7        4.71239           -1        parabolic
    8        4.71236           -1        parabolic
    9        4.71242           -1        parabolic
 
Optimization terminated:
 the current x satisfies the termination criteria using OPTIONS.TolX of 1.000000e-04 

x = 4.7124

最小値の位置と関数値を求める

$$0<x<2\pi$$ で $$\sin (x)$$ が最小になる位置とその最小値を求めます。

fun = @sin;
[x,fval] = fminbnd(fun,1,2*pi)

x = 4.7124

fval = -1.0000

すべての情報を取得

すべての出力を要求して、fminbnd 解法プロセスに関するすべての情報を返します。また、プロット関数を使用して解法プロセスを監視します。

fun = @sin;
x1 = 0;
x2 = 2*pi;
options = optimset('PlotFcns',@optimplotfval);
[x,fval,exitflag,output] = fminbnd(fun,x1,x2,options)

x = 4.7124

fval = -1.0000

exitflag = 1

output = struct with fields:
    iterations: 8
     funcCount: 9
     algorithm: 'golden section search, parabolic interpolation'
       message: 'Optimization terminated:...'

入力引数

fun — 最小化する関数

関数ハンドル | 関数名

最小化する関数。関数ハンドルまたは関数名として指定します。fun は、実数スカラー x を受け入れ、実数スカラー f (x で評価される目的関数) を返す関数です。

fun をファイルの関数ハンドルとして指定します。

x = fminbnd(@myfun,x1,x2)

ここで myfun は次のような MATLAB^® 関数です。

function f = myfun(x)
f = ...            % Compute function value at x

fun は、無名関数の関数ハンドルとして指定することもできます。

x = fminbnd(@(x)norm(x)^2,x1,x2);

例: fun = @(x)-x*exp(-3*x)

データ型: char | function_handle | string

x1 — 下限

有限実数スカラー

下限。有限実数スカラーとして指定します。

例: x1 = -3

データ型: double

x2 — 上限

有限実数スカラー

上限。有限実数スカラーとして指定します。

例: x2 = 5

データ型: double

options — 最適化オプション

optimset などによって返される構造体

最適化オプション。optimset などによって返される構造体として指定します。オプション構造体のこれらのフィールドの値を設定または変更するために、optimset を使用できます。詳細については、最適化オプションの設定を参照してください。

Display	表示レベル (最適化ソルバーの反復表示を参照)。 'notify' (既定) は、関数が収束しない場合にのみ出力を表示します。 'off' または 'none' は、出力を表示しません。 'iter' は各反復の出力を表示します。 'final' は最終出力のみを表示します。
FunValCheck	目的関数値が正しいかどうかチェックします。既定の 'off' の場合、fminbnd は、目的関数が値 complex または NaN を返したときに続行できます。'on' の設定の場合、目的関数が値 complex または NaN を返したときにエラーをスローします。
MaxFunEvals	可能な関数評価の最大回数 (正の整数)。既定値は 500 です。許容誤差と停止条件を参照してください。
MaxIter	可能な反復の最大数 (正の整数)。既定値は 500 です。許容誤差と停止条件を参照してください。
OutputFcn	各反復で最適化関数が呼び出すユーザー定義の関数を 1 つか複数指定します (関数ハンドルか関数ハンドルの cell 配列として)。既定の設定はなし ([]) です。最適化ソルバーの出力関数を参照してください。
PlotFcns	アルゴリズムを実行しながら、進行中のさまざまな測定値をプロットします。事前定義済みのプロットから選択するか、自身で記述します。関数名、関数ハンドル、または、関数名か関数ハンドルの cell 配列を渡します。既定は [] (なし) です。 @optimplotx は現在の点をプロットします。 @optimplotfunccount は関数カウントをプロットします。 @optimplotfval は関数値をプロットします。 カスタム プロット関数の記述については、「最適化ソルバーのプロット関数」を参照してください。
TolX	x に関する許容誤差 (正のスカラー)。既定値は 1e-4 です。許容誤差と停止条件を参照してください。

例: options = optimset('Display','iter')

データ型: struct

problem — 問題の構造体

構造体

問題の構造体。次のフィールドをもつ構造体として指定します。

フィールド名	要素
objective	目的関数
x1	左の端点
x2	右の端点
solver	'fminbnd'
options	optimset などによって返されるオプション構造体

データ型: struct

出力引数

x — 解

実数スカラー

解。実数スカラーとして返されます。一般的に、exitflag が正の場合、x は問題の局所解です。

fval — 解における目的関数値

実数

解における目的関数値。実数として返されます。一般的に、fval = fun(x) です。

exitflag — fminbnd の停止理由

整数

fminbnd の停止理由。整数として返されます。

1	関数が解 x に収束したことを示します。
0	反復回数が options.MaxIter を超過したか、関数評価の回数が options.MaxFunEvals を超過しました。
-1	出力関数またはプロット関数によって停止しました。
-2	範囲に整合性がありません。つまり、x1 > x2 です。

output — 最適化プロセスに関する情報

構造体

最適化プロセスに関する情報。次のフィールドをもつ構造体として返されます。

iterations	実行した反復回数
funcCount	関数評価の回数
algorithm	'golden section search, parabolic interpolation'
message	終了メッセージ

制限

• 最小化する関数は、連続でなければなりません。

• fminbnd は局所解のみを返す場合があります。

• 関数 fminbnd は、解が区間の境界上にあるときに遅い収束を示すことがあります。

アルゴリズム

fminbnd は関数ファイルです。そのアルゴリズムは黄金分割探索と放物線内挿に基づいています。左の端点 x₁ が右の端点 x₂ と極めて近接している場合を除き、fminbnd はこれらの端点で fun を評価しません。したがって、区間 x₁ < x < x₂ における x に対して fun を定義するだけですみます。

最小値が実際に x₁ または x₂ で発生する場合、fminbnd は区間 (x₁,x₂) の内側にあり最小点に近い点 x を返します。この場合、最小点から x までの距離は 2*(TolX + 3*abs(x)*sqrt(eps)) 以下です。アルゴリズムの詳細については、[1]または[2]を参照してください。

代替機能

アプリ

[最適化] ライブ エディター タスクは、fminbnd のビジュアル インターフェイスを提供します。

参照

[1] Forsythe, G. E., M. A. Malcolm, and C. B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1976.

[2] Brent, Richard. P. Algorithms for Minimization without Derivatives. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1973.

拡張機能

C/C++ コード生成

MATLAB® Coder™ を使用して C および C++ コードを生成します。

C/C++ コード生成の場合:

• fminbnd は問題の構造体引数をサポートしません。

• fminbnd は Display オプションを無視し、反復表示または終了メッセージを出力しません。解の質をチェックするには、終了フラグを確認します。

• 出力構造体には algorithm または message フィールドが含まれません。

• fminbnd は OutputFcn および PlotFcns オプションを無視します。

スレッドベースの環境

MATLAB® の backgroundPool を使用してバックグラウンドでコードを実行するか、Parallel Computing Toolbox™ の ThreadPool を使用してコードを高速化します。

この関数はスレッドベースの環境を完全にサポートしています。詳細については、スレッドベースの環境での MATLAB 関数の実行を参照してください。

バージョン履歴

R2006a より前に導入

参考

fminsearch | fzero | optimset | 最適化

トピック

• 1 変数関数の最小化
• 関数ハンドルの作成
• 無名関数