fminsearch
導関数を使用しない方法で制約なし多変数関数の局所的最小値を探索する
構文
説明
例
多くのアルゴリズムで困難なことが知られている最適化問題、Rosenbrock 関数を最小化します。
この関数は点 x = [1,1] で最小になり、最小値は 0 です。
開始点を x0 = [-1.2,1] に設定し、fminsearch を使用して Rosenbrock 関数を最小化します。
fun = @(x)100*(x(2) - x(1)^2)^2 + (1 - x(1))^2; x0 = [-1.2,1]; x = fminsearch(fun,x0)
x = 1×2
1.0000 1.0000
fminsearch により最小値を求めようとするときのプロセスを監視するオプションを設定します。
反復ごとに目的関数をプロットするオプションを設定します。
options = optimset('PlotFcns',@optimplotfval);目的関数を次の Rosenbrock 関数に設定します。
この関数は点 x = [1,1] で最小になり、最小値は 0 です。
開始点を x0 = [-1.2,1] に設定し、fminsearch を使用して Rosenbrock 関数を最小化します。
fun = @(x)100*(x(2) - x(1)^2)^2 + (1 - x(1))^2; x0 = [-1.2,1]; x = fminsearch(fun,x0,options)
x = 1×2
1.0000 1.0000
ファイルの実行により値が得られる目的関数を最小化します。関数ファイルは、実数ベクトル x を受け入れ、目的関数の値である実数スカラーを返さなければなりません。
次のコードをコピーし、objectivefcn1.m という名前のファイルとして、それを MATLAB® パス上に含めます。
function f = objectivefcn1(x) f = 0; for k = -10:10 f = f + exp(-(x(1)-x(2))^2 - 2*x(1)^2)*cos(x(2))*sin(2*x(2)); end
x0 = [0.25,-0.25] から開始して、objectivefcn の最小値を探索します。
x0 = [0.25,-0.25]; x = fminsearch(@objectivefcn1,x0)
x = -0.1696 -0.5086
目的関数は追加パラメーターをもつことがあります。これらのパラメーターは最適化の対象の変数ではありません。これらは最適化時には固定値です。たとえば、Rosenbrock タイプの関数にパラメーター a が含まれているとします。
この関数は、、 で最小値 0 になります。たとえば、 の場合、無名関数を作成することで、目的関数にこのパラメーターを含めることができます。
追加の引数として追加パラメーターを含む目的関数を作成します。
f = @(x,a)100*(x(2) - x(1)^2)^2 + (a-x(1))^2;
パラメーターを MATLAB® ワークスペースに配置します。
a = 3;
ワークスペースでのパラメーター値を含む x の無名関数を単体で作成します。
fun = @(x)f(x,a);
x0 = [-1,1.9] から始めて問題を解きます。
x0 = [-1,1.9]; x = fminsearch(fun,x0)
x = 1×2
3.0000 9.0000
目的関数で追加パラメーターを使用する方法の詳細については、関数のパラメーター化を参照してください。
fminsearch を使用して、目的関数の最小の位置と値の両方を求めます。
3 変数問題を表す無名目的関数を記述します。
x0 = [1,2,3]; fun = @(x)-norm(x+x0)^2*exp(-norm(x-x0)^2 + sum(x));
x0 から開始して、fun の最小値を求めます。同様に、最小となる値を求めます。
[x,fval] = fminsearch(fun,x0)
x = 1×3
1.5359 2.5645 3.5932
fval = -5.9565e+04
実行中と終了後の両方で、最適化の結果を検査します。
反復表示を行うオプションを設定します。これは、ソルバーの実行中に、最適化に関する情報を示します。また、目的関数値をソルバーの実行中に表示するプロット関数を設定します。
options = optimset('Display','iter','PlotFcns',@optimplotfval);
目的関数と開始点を設定します。
function f = objectivefcn1(x) f = 0; for k = -10:10 f = f + exp(-(x(1)-x(2))^2 - 2*x(1)^2)*cos(x(2))*sin(2*x(2)); end
objectivefcn1 のコードをファイルとして、MATLAB® パス上に含めます。
x0 = [0.25,-0.25]; fun = @objectivefcn1;
すべてのソルバー出力を取得します。ソルバーの終了後に、これらの出力を使用して結果を検査します。
[x,fval,exitflag,output] = fminsearch(fun,x0,options)
Iteration Func-count f(x) Procedure
0 1 -6.70447
1 3 -6.89837 initial simplex
2 5 -7.34101 expand
3 7 -7.91894 expand
4 9 -9.07939 expand
5 11 -10.5047 expand
6 13 -12.4957 expand
7 15 -12.6957 reflect
8 17 -12.8052 contract outside
9 19 -12.8052 contract inside
10 21 -13.0189 expand
11 23 -13.0189 contract inside
12 25 -13.0374 reflect
13 27 -13.122 reflect
14 28 -13.122 reflect
15 29 -13.122 reflect
16 31 -13.122 contract outside
17 33 -13.1279 contract inside
18 35 -13.1279 contract inside
19 37 -13.1296 contract inside
20 39 -13.1301 contract inside
21 41 -13.1305 reflect
22 43 -13.1306 contract inside
23 45 -13.1309 contract inside
24 47 -13.1309 contract inside
25 49 -13.131 reflect
26 51 -13.131 contract inside
27 53 -13.131 contract inside
28 55 -13.131 contract inside
29 57 -13.131 contract outside
30 59 -13.131 contract inside
31 61 -13.131 contract inside
32 63 -13.131 contract inside
33 65 -13.131 contract outside
34 67 -13.131 contract inside
35 69 -13.131 contract inside
Optimization terminated:
the current x satisfies the termination criteria using OPTIONS.TolX of 1.000000e-04
and F(X) satisfies the convergence criteria using OPTIONS.TolFun of 1.000000e-04
x =
-0.1696 -0.5086
fval =
-13.1310
exitflag =
1
output =
struct with fields:
iterations: 35
funcCount: 69
algorithm: 'Nelder-Mead simplex direct search'
message: 'Optimization terminated:↵ the current x satisfies the termination criteria using OPTIONS.TolX of 1.000000e-04 ↵ and F(X) satisfies the convergence criteria using OPTIONS.TolFun of 1.000000e-04 ↵'
exitflag の値は 1 であり、fminsearch が局所的最小値に収束している可能性があることを意味します。
output 構造体は、反復回数を示します。反復表示とプロットもこの情報を表示します。また、output 構造体は、関数評価の回数も示します。これは、反復表示で表示されますが、選択したプロット関数では表示されません。
入力引数
出力引数
詳細
一般に、最適化ソルバーは局所的最小値 (または最適値) を返します。結果は大域的最小値 (または最適値) になる場合もありますが、ならない場合もあります。
関数の "局所的" 最小値とは、関数値が近くの点よりも小さいが、遠くの点よりも大きくなる可能性がある点です。
"大域的" 最小値とは、関数値が他の取り得るすべての点よりも小さい点です。
MATLAB および Optimization Toolbox™ の最適化ソルバーは通常、局所的最小値を返します。Global Optimization Toolbox のソルバーは大域的最小値を探索できますが、その解が大域的であることは保証されません。大域的探索の例については、全体的または複数の局所的最小値を見つける (Global Optimization Toolbox)を参照してください。
ヒント
関数
fminsearchは実数上でのみ最小化します。すなわち、ベクトルまたは配列 x は実数のみで構成され、f(x) は実数のみを返さなければなりません。x が複素数値をもつ場合は、x を実数部と虚数部に分割します。fminsearchは、微分不可能な問題、または不連続性を伴う問題 (特に解の近傍で不連続でない場合) の求解に使用します。
アルゴリズム
fminsearch は、Lagarias et al. のシンプレックス探索法[1]を使用します。これは fminunc (Optimization Toolbox) とは異なり、数値勾配または解析勾配を使用しない直接探索法です。このアルゴリズムは、fminsearch アルゴリズムで詳しく説明されています。このアルゴリズムでは、確実に局所的最小値に収束するとは限りません。
代替機能
アプリ
[最適化] ライブ エディター タスクは、fminsearch のビジュアル インターフェイスを提供します。
参照
[1] Lagarias, J. C., J. A. Reeds, M. H. Wright, and P. E. Wright. “Convergence Properties of the Nelder-Mead Simplex Method in Low Dimensions.” SIAM Journal of Optimization. Vol. 9, Number 1, 1998, pp. 112–147.
拡張機能
バージョン履歴
R2006a より前に導入
