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polyfit
多項式の曲線近似
説明
例
[0,4*pi] の区間内で正弦曲線に沿って等間隔に分布する 10 個の点を生成します。
x = linspace(0,4*pi,10); y = sin(x);
polyfit を使用して 7 次の多項式を点にあてはめます。
p = polyfit(x,y,7);
より細かいグリッド上で多項式を計算して結果をプロットします。
x1 = linspace(0,4*pi); y1 = polyval(p,x1); figure plot(x,y,'o') hold on plot(x1,y1) hold off
[0,1] の区間内で等間隔に配置された 5 つの点のベクトルを作成し、それらの点で を評価します。
x = linspace(0,1,5); y = 1./(1+x);
4 次の多項式をこの 5 つの点にあてはめます。一般に n 個の点に対して、それらの点を正確に通過する n-1 次の多項式をあてはめられます。
p = polyfit(x,y,4);
0 と 2 の間のより細かい点のグリッド上で、元の関数と多項式近似を計算します。
x1 = linspace(0,2); y1 = 1./(1+x1); f1 = polyval(p,x1);
元の関数の値と多項式近似をより広い区間 [0,2] でプロットし、多項式近似を求めるために使用した点を円で強調表示します。多項式近似は元の [0,1] の区間では良好ですが、この区間の外側では近似させた関数から急速に離れています。
figure plot(x,y,'o') hold on plot(x1,y1) plot(x1,f1,'r--') legend('y','y1','f1')
最初に、区間 [0,2.5] で等間隔に分布する x 個の点からなるベクトルを作成し、これらの点で erf(x) を評価します。
x = (0:0.1:2.5)'; y = erf(x);
6 次の近似多項式の係数を求めます。
p = polyfit(x,y,6)
p = 1×7
0.0084 -0.0983 0.4217 -0.7435 0.1471 1.1064 0.0004
近似の程度を見るために、データ点で多項式を計算し、データ、近似値、誤差を表示する表を生成します。
f = polyval(p,x); T = table(x,y,f,y-f,'VariableNames',{'X','Y','Fit','FitError'})
T=26×4 table
X Y Fit FitError
___ _______ __________ ___________
0 0 0.00044117 -0.00044117
0.1 0.11246 0.11185 0.00060836
0.2 0.2227 0.22231 0.00039189
0.3 0.32863 0.32872 -9.7429e-05
0.4 0.42839 0.4288 -0.00040661
0.5 0.5205 0.52093 -0.00042568
0.6 0.60386 0.60408 -0.00022824
0.7 0.6778 0.67775 4.6383e-05
0.8 0.7421 0.74183 0.00026992
0.9 0.79691 0.79654 0.00036515
1 0.8427 0.84238 0.0003164
1.1 0.88021 0.88005 0.00015948
1.2 0.91031 0.91035 -3.9919e-05
1.3 0.93401 0.93422 -0.000211
1.4 0.95229 0.95258 -0.00029933
1.5 0.96611 0.96639 -0.00028097
⋮
この区間内では、内挿値と実際の値は、かなり一致しています。この区間の外側で外挿値が実際のデータからどの程度急速に離れるのかを見るためにプロットを作成します。
x1 = (0:0.1:5)'; y1 = erf(x1); f1 = polyval(p,x1); figure plot(x,y,'o') hold on plot(x1,y1,'-') plot(x1,f1,'r--') axis([0 5 0 2]) hold off
1750 ～ 2000 年の人口のデータのテーブルを作成し、データ点をプロットします。
year = (1750:25:2000)'; pop = 1e6*[791 856 978 1050 1262 1544 1650 2532 6122 8170 11560]'; T = table(year, pop)
T=11×2 table
year pop
____ _________
1750 7.91e+08
1775 8.56e+08
1800 9.78e+08
1825 1.05e+09
1850 1.262e+09
1875 1.544e+09
1900 1.65e+09
1925 2.532e+09
1950 6.122e+09
1975 8.17e+09
2000 1.156e+10
plot(year,pop,'o')
3 出力の polyfit を使用し、センタリングとスケーリングを使用して 5 次の多項式をあてはめます。これにより問題の数値特性が向上します。polyfit は year のデータを 0 にセンタリングし、標準偏差が 1 になるようにスケーリングします。これにより近似計算において悪条件のヴァンデルモンド行列を避けることができます。
[p,~,mu] = polyfit(T.year, T.pop, 5);
polyval を 4 入力で使用し、p をスケーリングされた年 (year-mu(1))/mu(2) に対して評価します。結果を元の年に対してプロットします。
f = polyval(p,year,[],mu); hold on plot(year,f) hold off
単純な線形回帰モデルを、一連の離散 2 次元データ点に当てはめます。
サンプル データ点のベクトル (x,y) をいくつか作成します。1 次多項式をデータに近似します。
x = 1:50; y = -0.3*x + 2*randn(1,50); p = polyfit(x,y,1);
近似多項式 p を x の点で評価します。その結果得られる線形回帰モデルをデータでプロットします。
f = polyval(p,x); plot(x,y,'o',x,f,'-') legend('data','linear fit')
線形モデルでデータ点セットを近似し、95% の予測区間の推定を含めて結果をプロットします。
サンプル データ点のベクトル (x,y) をいくつか作成します。polyfit を使用して、1 次多項式でデータを近似します。線形近似の係数と誤差推定値の構造体を返す 2 つの出力を指定します。
x = 1:100; y = -0.3*x + 2*randn(1,100); [p,S] = polyfit(x,y,1)
p = 1×2
-0.3142 0.9614
S = struct with fields:
R: [2x2 double]
df: 98
normr: 22.7673
rsquared: 0.9407
x の各点で p の 1 次多項式近似を評価します。polyval の 3 番目の入力として誤差推定の構造体を指定し、標準誤差の推定値を計算します。標準誤差の推定値は delta に返されます。
[y_fit,delta] = polyval(p,x,S);
元のデータ、線形近似、および 95% の予測区間 をプロットします。
plot(x,y,'bo') hold on plot(x,y_fit,'r-') plot(x,y_fit+2*delta,'m--',x,y_fit-2*delta,'m--') title('Linear Fit of Data with 95% Prediction Interval') legend('Data','Linear Fit','95% Prediction Interval')
入力引数
出力引数
制限
多くの点をもつ問題に対して
polyfitを使用して多項式近似の次元数を増やしても、より優れた近似が得られるとは限りません。高次の多項式はデータ点の間で振動する場合があり、データの "より劣った" 近似になる場合があります。このような場合は、低次の多項式近似 (点の間がより滑らかになる傾向がある) や別の手法を問題に応じて使用します。多項式は本質的に非有界の振動関数です。このため、有界のデータや、単調増加または単調減少するデータの外挿にはあまり適していません。
アルゴリズム
polyfit は x を使用して n+1 列および m = length(x) 行のヴァンデルモンド行列 V を形成し、次の線形方程式を導きます。
polyfit はこれを p = V\y によって解きます。ヴァンデルモンド行列の列はベクトル x のべき乗であるため、V の条件数は高次の近似の場合にはしばしば大きくなり、結果として特異係数行列になります。このような場合、センタリングとスケーリングによって方程式の数値特性が向上し、信頼性の高い近似が得られる場合があります。
