lscov
既知の共分散を使用した最小二乗解法
構文
説明
例
線形システム A*x = b の行列 A とベクトル b を作成します。lscov を使用して線形システムの最小二乗解を計算します。3 つの出力引数を指定して、解、推定標準誤差、平均二乗誤差を返します。
a1 = [0.2; 0.5; 0.6; 0.8; 1.0; 1.1]; a2 = [0.1; 0.3; 0.4; 0.9; 1.1; 1.4]; A = [ones(size(a1)) a1 a2]; b = [0.17; 0.26; 0.28; 0.23; 0.27; 0.24]; [x,stdx,mse] = lscov(A,b)
x = 3×1
0.1018
0.4844
-0.2847
stdx = 3×1
0.0058
0.0206
0.0135
mse = 1.2774e-05
b にノイズを追加してサンプルの行列を作成し、バックスラッシュ演算子 (\) を使用して行列の最小二乗推定を計算します。結果の各行の標準誤差を計算します。
B = b + randn(6,1e5); X = A\B; s1 = std(X,0,2)
s1 = 3×1
1.6311
5.7609
3.7838
バックスラッシュを使用して得られる標準誤差を lscov を使用して得られる標準誤差と比較します。lscov で実行されるスケーリングを考慮し、標準誤差 stdx を mse の平方根で再スケーリングします。X の標準誤差は lscov で計算される標準誤差とおおむね一致します。再スケーリングされた標準誤差は、b の要素全体でノイズが一様な場合、x の最初の要素よりも 2 番目の要素の方がはるかに影響が大きいことを示しています。
s2 = stdx/sqrt(mse)
s2 = 3×1
1.6349
5.7661
3.7845
問題 A*x = b の行列 A とベクトル b を作成します。相対的な観測の重みのベクトルを作成し、重み付き最小二乗解を計算します。
a1 = [0.2; 0.5; 0.6; 0.8; 1.0; 1.1]; a2 = [0.1; 0.3; 0.4; 0.9; 1.1; 1.4]; A = [ones(size(a1)) a1 a2]; b = [0.17; 0.26; 0.28; 0.23; 0.27; 0.34]; w = [1 1 1 1 1 0.1]'; [x1,stdx1,mse1] = lscov(A,b,w)
x1 = 3×1
0.1046
0.4614
-0.2621
stdx1 = 3×1
0.0309
0.1152
0.0814
mse1 = 3.4741e-04
同じ問題の通常の最小二乗解を計算し、両方の解をプロットします。最初の 5 つの点は、重み付き最小二乗解の方が通常の最小二乗解よりも b に近くなっています。重み付き最小二乗解の 6 番目の要素は重みを下げているため、その解の 6 番目の点は b から離れています。
[x2,stdx2,mse2] = lscov(A,b); x = 1:6; plot(x,b,"o",x,A*x1,"o",x,A*x2,"o") legend("b","Weighted","Ordinary")
問題 A*x = b の行列 A とベクトル b を作成します。共分散スケールの行列を作成し、一般化最小二乗解を計算します。
a1 = [0.2; 0.5; 0.6; 0.8; 1.0; 1.1]; a2 = [0.1; 0.3; 0.4; 0.9; 1.1; 1.4]; A = [ones(size(a1)) a1 a2]; b = [0.17; 0.26; 0.28; 0.23; 0.27; 0.24]; C = 0.2*ones(size(a1)) + 0.8*diag(ones(size(a1))); [x,stdx,mse] = lscov(A,b,C)
x = 3×1
0.1018
0.4844
-0.2847
stdx = 3×1
0.0061
0.0206
0.0135
mse = 1.5967e-05
問題 A*x = b の行列 A とベクトル b を作成します。x の共分散行列の推定を計算します。
a1 = [0.2; 0.5; 0.6; 0.8; 1.0; 1.1]; a2 = [0.1; 0.3; 0.4; 0.9; 1.1; 1.4]; A = [ones(size(a1)) a1 a2]; b = [0.17; 0.26; 0.28; 0.23; 0.27; 0.24]; [x,stdx,mse,S] = lscov(A,b)
x = 3×1
0.1018
0.4844
-0.2847
stdx = 3×1
0.0058
0.0206
0.0135
mse = 1.2774e-05
S = 3×3
10-3 ×
0.0341 -0.1075 0.0617
-0.1075 0.4247 -0.2712
0.0617 -0.2712 0.1829
係数の標準誤差は、この共分散行列の対角にある値の平方根に等しくなります。
sqrt(diag(S))
ans = 3×1
0.0058
0.0206
0.0135
入力引数
出力引数
アルゴリズム
一般化最小二乗問題で m 行 n 列の行列 A と m 行 m 列の行列 C がフル ランクの場合、m が n 以上のときの lscov の出力は次の標準式で表されます。
x = inv(A'*inv(C)*A)*A'*inv(C)*b mse = (b - A*x)'*inv(C)*(b - A*x)./(m-n) S = inv(A'*inv(C)*A)*mse stdx = sqrt(diag(S))
m が n 未満のときは平均二乗誤差は 0 です。
重み付き最小二乗では、C の代わりに diag(1./w) を使用するときに標準式が適用されます。通常の最小二乗では、C の代わりに単位行列を使用します。
関数 lscov で使用している方法は標準式よりも高速で安定性が高く、ランク落ちの場合にも適用できます。たとえば、lscov はコレスキー分解 C = R'*R を計算してから、代わりに最小二乗問題 (R'\A)*x = (R'\b) を解きます。これには、最小二乗問題を解くために mldivide で A\b に使用されるのと同じアルゴリズムが使用されます。
参照
[1] Paige, Christopher C. "Computer Solution and Perturbation Analysis of Generalized Linear Least Squares Problems." Mathematics of Computation 33, no. 145 (1979): 171–83. https://doi.org/10.2307/2006034.
[2] Golub, Gene H., and Charles F. Van Loan. Matrix Computations. Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press, 1996.
[3] Goodall, Colin R. "Computation using the QR decomposition." Handbook of Statistics 9 (1993): 467–508. https://doi.org/10.1016/S0169-7161(05)80137-3.
[4] Strang, Gilbert. Introduction to Applied Mathematics. Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge Press, 1986.
拡張機能
バージョン履歴
R2006a より前に導入
