poly

指定された根をもつ多項式または特性多項式

構文

p = poly(r)

p = poly(A)

説明

p = poly(r) は、r がベクトルのとき、その根が r の要素である多項式の係数を返します。

p = poly(A) は、A が n 行 n 列の行列である場合、行列の特性多項式 det(λI – A) の n+1 個の係数を返します。

例

固有値からの特性多項式

行列 A の固有値を計算します。

A = [1 8 -10; -4 2 4; -5 2 8]

A = 3×3

     1     8   -10
    -4     2     4
    -5     2     8

e = eig(A)

e = 3×1 complex

  11.6219 + 0.0000i
  -0.3110 + 2.6704i
  -0.3110 - 2.6704i

e の固有値は A の特性多項式の根であるため、e の値から特性多項式を求めるには poly を使用します。

p = poly(e)

p = 1×4

    1.0000  -11.0000   -0.0000  -84.0000

行列の特性多項式

poly を使用して、行列 A の特性多項式を計算します。

A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 0]

A = 3×3

     1     2     3
     4     5     6
     7     8     0

p = poly(A)

p = 1×4

    1.0000   -6.0000  -72.0000  -27.0000

roots を使用して p の根を計算します。特性多項式の根は行列 A の固有値です。

r = roots(p)

r = 3×1

   12.1229
   -5.7345
   -0.3884

入力引数

r — 多項式の根

ベクトル

多項式の根。ベクトルとして指定します。

例: poly([2 -3])

例: poly([2 -2 3 -3])

例: poly(roots(k))

例: poly(eig(A))

データ型: single | double
複素数のサポート: あり

A — 入力行列

行列

入力行列。

例: poly([0 -1; 1 0])

データ型: single | double
複素数のサポート: あり

出力引数

p — 多項式係数

行ベクトル

多項式係数。行ベクトルとして返されます。

• 入力が n 行 n 列の正方行列 A である場合、p には A の特性多項式の係数が含まれます。

• 入力が根のベクトル r である場合、p にはその根が r に含まれる多項式の係数が含まれます。

いずれの場合も p 内の n+1 個の係数により次の多項式が記述されます。

$$p_1{x}^n+p_2{x}^{n-1}+\mathrm{...}+p_{n}x+p_{n+1}.$$

ヒント

• ベクトルの場合、関数 r = roots(p) と関数 p = poly(r) は、丸め誤差、順序、スケーリングを除けば互いの逆となる関数です。

アルゴリズム

関数 poly と関数 roots で使用されているアルゴリズムは、固有値計算に関する最新のアプローチを使っています。poly(A) は、A の特性多項式を作成し、roots(poly(A)) は、その多項式の根を計算します。この根は、A の固有値になります。関数 poly と関数 roots は、共に相似変換をベースにした eig を使っています。特性多項式の根として、固有値を特徴付ける古典的なアプローチは、実際には使われていません。

A が、n 行 n 列の行列である場合、poly(A) は、係数 p(1) から p(n+1) までを作成します。ここで、以下の関係において、p(1) = 1 とします。

$$\det \left(\lambda I-A\right)=p_1{\lambda }^n+\dots +p_n\lambda +p_{n+1}.$$

アルゴリズムは以下になります。

z = eig(A);
p = zeros(n+1,1); 
p(1) = 1;
for j = 1:n
    p(2:j+1) = p(2:j+1)-z(j)*p(1:j);
end

この漸化式は、積を拡張することにより導出できます。

$$(\lambda -{\lambda }_1)(\lambda -{\lambda }_2)\dots (\lambda -{\lambda }_n).$$

A の丸め誤差内で、poly(A) が行列の特性多項式の係数を作成することを証明することができます。これは、A の固有値が悪条件のときでも真になります。特性多項式を求めるための従来のアルゴリズムは固有値を使わず、このような条件を満たす数値的な特性をもっていません。

拡張機能

C/C++ コード生成

MATLAB® Coder™ を使用して C および C++ コードを生成します。

使用上の注意および制限:

• 入力引数に Inf または NaN の値が含まれていてはなりません。

• poly への入力が複素数の場合は出力も複素数になります。多項式係数の虚数部の値がゼロだけの場合も同様です。

• 入力引数がコード生成時に可変サイズの行列である場合、この引数が実行時にベクトルになることはありません。ベクトル入力のコードを生成するには、コード生成時に固定長のベクトルを指定します。

スレッドベースの環境

MATLAB® の backgroundPool を使用してバックグラウンドでコードを実行するか、Parallel Computing Toolbox™ の ThreadPool を使用してコードを高速化します。

この関数はスレッドベースの環境を完全にサポートしています。詳細については、スレッドベースの環境での MATLAB 関数の実行を参照してください。

GPU 配列

Parallel Computing Toolbox™ を使用してグラフィックス処理装置 (GPU) 上で実行することにより、コードを高速化します。

poly 関数は、GPU 配列を完全にサポートします。GPU 上で関数を実行するには、入力データを gpuArray (Parallel Computing Toolbox) として指定します。詳細については、GPU での MATLAB 関数の実行 (Parallel Computing Toolbox)を参照してください。

バージョン履歴

R2006a より前に導入

参考

roots | conv | residue | polyval | polyvalm

トピック

• 多項式の作成および評価