関数 berfading および Bit Error Rate Analysis アプリで使用される解析的表現

この節では、関数 berfading および Bit Error Rate Analysis アプリで使用される主な解析的表現について説明します。

表記法

次の表に、この節の解析的表現で使用される追加の表記法を示します。

説明	表記法
MRC	最大比率の組み合わせ
EGC	等価ゲインの組み合わせ
フェージング振幅のべき乗 r	$$\Omega =E\left[r^2\right]$$、ここで、$$E[\cdot ]$$ は統計的期待値を示します。
ダイバーシティ ブランチの数	$$L$$
ブランチあたりのシンボルあたり S/N 比 (SNR)	$${\overline{\gamma }}_l=\left({\Omega }_l\frac{E_s}{N_0}\right)/L=\left({\Omega }_l\frac{k{E}_b}{N_0}\right)/L$$ 一様に分布したダイバーシティ ブランチの場合: $$\overline{\gamma }=\left(\Omega \frac{k{E}_b}{N_0}\right)/L$$
各ダイバーシティ ブランチのモーメント生成関数	レイリー フェージング チャネルの場合: $$M_{{\gamma }_l}\left(s\right)=\frac{1}{1-s{\overline{\gamma }}_l}$$ ライス フェージング チャネルの場合: $$M_{{\gamma }_l}\left(s\right)=\frac{1+K}{1+K-s{\overline{\gamma }}_l}{e}^{\left[\frac{Ks{\overline{\gamma }}_l}{(1+K)-s{\overline{\gamma }}_l}\right]}$$ K は、反射成分のエネルギーと拡散成分のエネルギーの比率です (線形スケール)。 一様に分布したダイバーシティ ブランチの場合、すべての l について $$M_{{\gamma }_l}\left(s\right)=M_{\gamma }\left(s\right)$$ です。

MRC を使用した M-PSK

[2]の式 9.15 から:

$$P_s=\frac{1}{\pi }{\displaystyle \underset{0}{\overset{(M-1)\pi /M}{\int }}{\displaystyle \prod _{l=1}^L{M}_{{\gamma }_l}\left(-\frac{{\sin }^2(\pi /M)}{{\sin }^2\theta }\right)}d\theta }$$

[4]および[2]から:

$$P_b=\frac{1}{k}\left({\displaystyle \sum _{i=1}^{M/2}(w_i^{\text{'}}){\overline{P}}_i}\right)$$

ここで、$$w_i^{\text{'}}=w_i+w_{M-i}$$、$$w_{M/2}^{\text{'}}=w_{M/2}$$、$$w_i$$ はシンボル i に割り当てられたビットのハミング重みです。

$$\begin{array}{l}{\overline{P}}_i=\frac{1}{2\pi }{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi (1-(2i-1)/M)}{\int }}{\displaystyle \prod _{l=1}^L{M}_{{\gamma }_l}\left(-\frac{1}{{\sin }^2\theta }{\sin }^2\frac{(2i-1)\pi }{M}\right)}d\theta }\\ -\frac{1}{2\pi }{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi (1-(2i+1)/M)}{\int }}{\displaystyle \prod _{l=1}^L{M}_{{\gamma }_l}\left(-\frac{1}{{\sin }^2\theta }{\sin }^2\frac{(2i+1)\pi }{M}\right)}d\theta }\end{array}$$

レイリー フェージングについて、$$M=2$$ の特殊なケースの場合 ([6]の式 C-18 と C-21 および表 C-1 から):

$$P_b=\frac{1}{2}\left[1-\mu {\displaystyle \sum _{i=0}^{L-1}\left(\begin{array}{c}2i\\ i\end{array}\right)}{\left(\frac{1-{\mu }^2}{4}\right)}^i\right]$$

ここで、

$$\mu =\sqrt{\frac{\overline{\gamma }}{\overline{\gamma }+1}}$$

$$L=1$$ の場合、次のようになります。

$$P_b=\frac{1}{2}\left[1-\sqrt{\frac{\overline{\gamma }}{\overline{\gamma }+1}}\right]$$

MRC を使用した DE-M-PSK

$$M=2$$ の場合 ([2]の式 8.37 と 9.8-9.11 から):

$$P_s=P_b=\frac{2}{\pi }{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\displaystyle \prod _{l=1}^L{M}_{{\gamma }_l}\left(-\frac{1}{{\sin }^2\theta }\right)}d\theta }-\frac{2}{\pi }{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi /4}{\int }}{\displaystyle \prod _{l=1}^L{M}_{{\gamma }_l}\left(-\frac{1}{{\sin }^2\theta }\right)}d\theta }$$

MRC を使用した M-PAM

[2]の式 9.19 から:

$$P_s=\frac{2(M-1)}{M\pi }{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\displaystyle \prod _{l=1}^L{M}_{{\gamma }_l}\left(-\frac{3/(M^2-1)}{{\sin }^2\theta }\right)}d\theta }$$

[5]および[2]から:

$$\begin{array}{c}{P}_b=\frac{2}{\pi M{\log }_{2}M}\\ \times {\displaystyle \sum _{k=1}^{{\log }_{2}M}{\displaystyle \sum _{i=0}^{(1-2^{-k})M-1}\left\{{(-1)}^{\lfloor \frac{i{2}^{k-1}}{M}\rfloor }\left(2^{k-1}-\lfloor \frac{i{2}^{k-1}}{M}+\frac{1}{2}\rfloor \right){\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\displaystyle \prod _{l=1}^L{M}_{{\gamma }_l}\left(-\frac{{(2i+1)}^{2}3/(M^2-1)}{{\sin }^2\theta }\right)}d\theta }\right\}}}\end{array}$$

MRC を使用した M-QAM

正方形の M-QAM の場合、$$k={\log }_{2}M$$ は偶数です ([2]の式 9.21)。

$$\begin{array}{c}{P}_s=\frac{4}{\pi }\left(1-\frac{1}{\sqrt{M}}\right){\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\displaystyle \prod _{l=1}^L{M}_{{\gamma }_l}\left(-\frac{3/(2(M-1))}{{\sin }^2\theta }\right)}d\theta }\\ -\frac{4}{\pi }{\left(1-\frac{1}{\sqrt{M}}\right)}^2{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi /4}{\int }}{\displaystyle \prod _{l=1}^L{M}_{{\gamma }_l}\left(-\frac{3/(2(M-1))}{{\sin }^2\theta }\right)}d\theta }\end{array}$$

[5] と [2] から:

$$\begin{array}{c}{P}_b=\frac{2}{\pi \sqrt{M}{\log }_2\sqrt{M}}\\ \times {\displaystyle \sum _{k=1}^{{\log }_2\sqrt{M}}{\displaystyle \sum _{i=0}^{(1-2^{-k})\sqrt{M}-1}\left\{{(-1)}^{\lfloor \frac{i{2}^{k-1}}{\sqrt{M}}\rfloor }\left(2^{k-1}-\lfloor \frac{i{2}^{k-1}}{\sqrt{M}}+\frac{1}{2}\rfloor \right){\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\displaystyle \prod _{l=1}^L{M}_{{\gamma }_l}\left(-\frac{{(2i+1)}^{2}3/(2(M-1))}{{\sin }^2\theta }\right)}d\theta }\right\}}}\end{array}$$

長方形 (非正方形) の M-QAM の場合、$$k={\log }_{2}M$$ は奇数であり、$$M=I\times J$$、$$I=2^{\frac{k-1}{2}}$$、$$J=2^{\frac{k+1}{2}}$$、$${\overline{\gamma }}_l={\Omega }_l{\log }_2(IJ)\frac{E_b}{N_0}$$ です。

$$\begin{array}{c}{P}_s=\frac{4IJ-2I-2J}{M\pi }{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\displaystyle \prod _{l=1}^L{M}_{{\gamma }_l}\left(-\frac{3/(I^2+J^2-2)}{{\sin }^2\theta }\right)}d\theta }\\ -\frac{4}{M\pi }(1+IJ-I-J){\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi /4}{\int }}{\displaystyle \prod _{l=1}^L{M}_{{\gamma }_l}\left(-\frac{3/(I^2+J^2-2)}{{\sin }^2\theta }\right)}d\theta }\end{array}$$

[5]および[2]から:

$$\begin{array}{c}{P}_b=\frac{1}{{\log }_2(IJ)}\left({\displaystyle \sum _{k=1}^{{\log }_{2}I}{P}_I(k)}+{\displaystyle \sum _{l=1}^{{\log }_{2}J}{P}_J(l)}\right)\\ P_I(k)=\frac{2}{I\pi }{\displaystyle \sum _{i=0}^{(1-2^{-k})I-1}\left\{{(-1)}^{\lfloor \frac{i{2}^{k-1}}{I}\rfloor }\left(2^{k-1}-\lfloor \frac{i{2}^{k-1}}{I}+\frac{1}{2}\rfloor \right){\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\displaystyle \prod _{l=1}^L{M}_{{\gamma }_l}\left(-\frac{{(2i+1)}^{2}3/(I^2+J^2-2)}{{\sin }^2\theta }\right)}d\theta }\right\}}\\ P_J(k)=\frac{2}{J\pi }{\displaystyle \sum _{j=0}^{(1-2^{-l})J-1}\left\{{(-1)}^{\lfloor \frac{j{2}^{l-1}}{J}\rfloor }\left(2^{l-1}-\lfloor \frac{j{2}^{l-1}}{J}+\frac{1}{2}\rfloor \right){\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\displaystyle \prod _{l=1}^L{M}_{{\gamma }_l}\left(-\frac{{(2j+1)}^{2}3/(I^2+J^2-2)}{{\sin }^2\theta }\right)}d\theta }\right\}}\end{array}$$

検出後 EGC を使用した M-DPSK

[2]の式 8.165 から:

$$P_s=\frac{\sin (\pi /M)}{2\pi }{\displaystyle \underset{-\pi /2}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{1}{\left[1-\cos (\pi /M)\cos \theta \right]}{\displaystyle \prod _{l=1}^L{M}_{{\gamma }_l}\left(-\left[1-\cos (\pi /M)\cos \theta \right]\right)}d\theta }$$

[4]および[2]から:

$$P_b=\frac{1}{k}\left({\displaystyle \sum _{i=1}^{M/2}(w_i^{\text{'}}){\overline{A}}_i}\right)$$

ここで、$$w_i^{\text{'}}=w_i+w_{M-i}$$、$$w_{M/2}^{\text{'}}=w_{M/2}$$、$$w_i$$ はシンボル i に割り当てられたビットのハミング重みです。

$$\begin{array}{l}{\overline{A}}_i=\overline{F}\left(\left(2i+1\right)\frac{\pi }{M}\right)-\overline{F}\left(\left(2i-1\right)\frac{\pi }{M}\right)\\ \overline{F}(\psi )=-\frac{\sin \psi }{4\pi }{\displaystyle \underset{-\pi /2}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{1}{\left(1-\cos \psi \cos t\right)}{\displaystyle \prod _{l=1}^L{M}_{{\gamma }_l}\left(-\left(1-\cos \psi \cos t\right)\right)}dt}\end{array}$$

レイリー フェージングについて、$$M=2$$ と $$L=1$$ になる特殊なケースの場合 ([2]の式 8.173):

$$P_b=\frac{1}{2(1+\overline{\gamma })}$$

直交 2-FSK、MRC を使用したコヒーレント検出

[2]の式 9.11 から:

$$P_s=P_b=\frac{1}{\pi }{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\displaystyle \prod _{l=1}^L{M}_{{\gamma }_l}\left(-\frac{1/2}{{\sin }^2\theta }\right)}d\theta }$$

レイリー フェージングの特殊なケースの場合 ([1]の式 14.4-15 および 14.4-21):

$$P_s=P_b\text{}=\frac{1}{2^L}{\left(1-\sqrt{\frac{\overline{\gamma }}{2+\overline{\gamma }}}\right)}^L{\displaystyle \sum _{k=0}^{L-1}\left(\begin{array}{c}L-1+k\\ k\end{array}\right)\frac{1}{2^k}}{\left(1+\sqrt{\frac{\overline{\gamma }}{2+\overline{\gamma }}}\right)}^k$$

非直交 2-FSK、MRC を使用したコヒーレント検出

[2]の式 9.11 および 8.44:

$$P_s=P_b=\frac{1}{\pi }{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\displaystyle \prod _{l=1}^L{M}_{{\gamma }_l}\left(-\frac{(1-\mathrm{Re}\left[\rho \right])/2}{{\sin }^2\theta }\right)}d\theta }$$

レイリー フェージングについて、$$L=1$$ の特殊なケースの場合 ([8]の式 20 および [2] の式 8.130):

$$P_s=P_b=\frac{1}{2}\left[1-\sqrt{\frac{\overline{\gamma }(1-\mathrm{Re}[\rho ])}{2+\overline{\gamma }(1-\mathrm{Re}[\rho ])}}\right]$$

直交 M-FSK、EGC を使用した非コヒーレント検出

レイリー フェージング場合、[1]の式 14.4-47 から:

$$\begin{array}{l}{P}_s\text{}=1-{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{1}{{\left(1+\overline{\gamma }\right)}^L\left(L-1\right)!}{U}^{L-1}{e}^{-\frac{U}{1+\overline{\gamma }}}{\left(1-e^{-U}{\displaystyle \sum _{k=0}^{L-1}\frac{U^k}{k!}}\right)}^{M-1}dU}\\ P_b=\frac{1}{2}\frac{M}{M-1}{P}_s\end{array}$$

ライス フェージングの場合、[8]の式 41 から:

$$\begin{array}{l}{P}_s={\displaystyle \sum _{r=1}^{M-1}\frac{{(-1)}^{r+1}{e}^{-LK{\overline{\gamma }}_r/(1+{\overline{\gamma }}_r)}}{{\left(r(1+{\overline{\gamma }}_r)+1\right)}^L}\left(\begin{array}{c}M-1\\ r\end{array}\right)}{\displaystyle \sum _{n=0}^{r(L-1)}{\beta }_{nr}\frac{\Gamma (L+n)}{\Gamma (L)}{\left[\frac{1+{\overline{\gamma }}_r}{r+1+r{\overline{\gamma }}_r}\right]}^n}{}_{1}F{}_1\left(L+n,L;\frac{LK{\overline{\gamma }}_r/(1+{\overline{\gamma }}_r)}{r(1+{\overline{\gamma }}_r)+1}\right)\\ P_b=\frac{1}{2}\frac{M}{M-1}{P}_s\end{array}$$

ここで、

$$\begin{array}{c}{\overline{\gamma }}_r=\frac{1}{1+K}\overline{\gamma }\\ {\beta }_{nr}={\displaystyle \sum _{i=n-(L-1)}^n\frac{{\beta }_{i(r-1)}}{(n-i)!}{I}_{[0,(r-1)(L-1)]}(i)}\\ {\beta }_{00}={\beta }_{0r}=1\\ {\beta }_{n1}=1/n!\\ {\beta }_{1r}=r\end{array}$$

$$a\le i\le b$$ の場合は $$I_{[a,b]}(i)=1$$、それ以外の場合は 0 です。

非直交 2-FSK、ダイバーシティのない非コヒーレント検出

[2]の式 8.163 から:

$$P_s=P_b=\frac{1}{4\pi }{\displaystyle \underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\frac{1-{\varsigma }^2}{1+2\varsigma \sin \theta +{\varsigma }^2}{M}_{\gamma }\left(-\frac{1}{4}(1+\sqrt{1-{\rho }^2})(1+2\varsigma \sin \theta +{\varsigma }^2)\right)d\theta }$$

ここで、

$$\varsigma =\sqrt{\frac{1-\sqrt{1-{\rho }^2}}{1+\sqrt{1-{\rho }^2}}}$$

参考

アプリ

• Bit Error Rate Analysis

関数

• berawgn | bercoding | berconfint | berfading | berfit | bersync

関連するトピック

• BER 解析で使用される解析的表現
• ビット エラー レート解析の手法
• Analyze Performance with Bit Error Rate Analysis App