関数 bercoding および Bit Error Rate Analysis アプリで使用される解析的表現 - MATLAB & Simulink

関数 `bercoding` および Bit Error Rate Analysis アプリで使用される解析的表現

この節では、関数 bercoding および Bit Error Rate Analysis アプリで使用される主な解析的表現について説明します。

一般的な表記法

次の表に、この節の解析的表現で使用される追加の表記法を示します。

説明	表記法
情報ビットあたりのパワースペクトル密度とノイズのパワースペクトル密度の比	$γ_{b} = \frac{E_{b}}{N_{0}}$
メッセージ長	$K$
符号長	$N$
符号化率	$R_{c} = \frac{K}{N}$

ブロック符号化

この節では、ブロック符号化表現の固有の表記法について説明します。 $d_{\min}$ は、その符号の最小距離です。

軟判定

BPSK、QPSK、OQPSK、2-PAM、4-QAM、プリコーディングされた MSK の場合、[1]の式 8.1-52 が適用されます。

$P_{b} \leq \frac{1}{2} (2^{K} - 1) Q (\sqrt{2 γ_{b} R_{c} d_{\min}})$

DE-BPSK、DE-QPSK、DE-OQPSK、DE-MSK の場合:

$P_{b} \leq \frac{1}{2} (2^{K} - 1) [2 Q (\sqrt{2 γ_{b} R_{c} d_{\min}}) [1 - Q (\sqrt{2 γ_{b} R_{c} d_{\min}})]]$

BFSK コヒーレント検出の場合、[1]の式 8.1-50 と 8.1-58 が適用されます。

$P_{b} \leq \frac{1}{2} (2^{K} - 1) Q (\sqrt{γ_{b} R_{c} d_{\min}})$

BFSK 非コヒーレント二乗検出の場合、[1]の式 8.1-65 と 8.1-64 が適用されます。

$P_{b} \leq \frac{1}{2} \frac{2^{K} - 1}{2^{2 d_{\min} - 1}} \exp (- \frac{1}{2} γ_{b} R_{c} d_{\min}) \sum_{i = 0}^{d_{\min} - 1} {(\frac{1}{2} γ_{b} R_{c} d_{\min})}^{i} \frac{1}{i!} \sum_{r = 0}^{d_{\min} - 1 - i} (\begin{matrix} 2 d_{\min} - 1 \\ r \end{matrix})$

DPSK の場合:

$P_{b} \leq \frac{1}{2} \frac{2^{K} - 1}{2^{2 d_{\min} - 1}} \exp (- γ_{b} R_{c} d_{\min}) \sum_{i = 0}^{d_{\min} - 1} {(γ_{b} R_{c} d_{\min})}^{i} \frac{1}{i!} \sum_{r = 0}^{d_{\min} - 1 - i} (\begin{matrix} 2 d_{\min} - 1 \\ r \end{matrix})$

Hard Decision

一般線形ブロック符号の場合、[9]の式 4.3 と 4.4 および[6]の式 12.136 が適用されます。

$\begin{array}{l} P_{b} \leq \frac{1}{N} \sum_{m = t + 1}^{N} (m + t) (\begin{matrix} N \\ m \end{matrix}) p^{m} {(1 - p)}^{N - m} \\ t = ⌊ \frac{1}{2} (d_{\min} - 1) ⌋ \end{array}$

ハミング符号の場合、[9]の式 4.11 と 4.12 および[7]の式 6.72 と 6.73 が適用されます。

$P_{b} \approx \frac{1}{N} \sum_{m = 2}^{N} m (\begin{matrix} N \\ m \end{matrix}) p^{m} {(1 - p)}^{N - m} = p - p {(1 - p)}^{N - 1}$

符号化率 (24,12) の拡張ゴレイ符号の場合、[9]の式 4.17 および[6]の式 12.139 が適用されます。

$P_{b} \leq \frac{1}{24} \sum_{m = 4}^{24} β_{m} (\begin{matrix} 24 \\ m \end{matrix}) p^{m} {(1 - p)}^{24 - m}$

ここで、 $β_{m}$ はチャネルシンボル誤りの平均数で、チャネルが m のシンボル誤りを引き起こした場合は訂正された N 組のフォーマットになります ([9]の表 4.2)。

$N = Q - 1 = 2^{q} - 1$ のときのリード・ソロモン符号の場合:

$P_{b} \approx \frac{2^{q - 1}}{2^{q} - 1} \frac{1}{N} \sum_{m = t + 1}^{N} m (\begin{matrix} N \\ m \end{matrix}) {(P_{s})}^{m} {(1 - P_{s})}^{N - m}$

FSK の場合、[9]の式 4.25 と 4.27、[1]の式 8.1-115 と 8.1-116、[7]の式 8.7 と 8.8、および[6]の式 12.142 と 12.143 が適用されます。

$P_{b} \approx \frac{1}{q} \frac{1}{N} \sum_{m = t + 1}^{N} m (\begin{matrix} N \\ m \end{matrix}) {(P_{s})}^{m} {(1 - P_{s})}^{N - m}$

それ以外の場合、 $\log_{2} Q / \log_{2} M = q / k = h$ (h は整数) であれば、[10]の式 1 が適用されます。

$P_{s} = 1 - {(1 - s)}^{h}$

ここで s は符号化されていない AWGN チャネルの SER です。

たとえば、BPSK の場合、 $M = 2$ で $P_{s} = 1 - {(1 - s)}^{q}$ です。それ以外の場合、 $P_{s}$ は[10]の表 1 および式 2 で与えられます。

畳み込み符号化

この節では、畳み込み符号化表現の固有の表記法について説明します。 $d_{f r e e}$ はその符号の自由距離で、 $a_{d}$ は初めてゼロパスと融合される、ゼロパスからの距離が d のパス数です。

軟判定

[1]の式 8.2-26、8.2-24、8.2-25 および[6]の式 13.28 と 13.27 が適用されます。

$P_{b} < \sum_{d = d_{f r e e}}^{\infty} a_{d} f (d) P_{2} (d)$

伝達関数は、次のように求められます。

$\begin{array}{l} T (D, N) = \sum_{d = d_{f r e e}}^{\infty} a_{d} D^{d} N^{f (d)} \\ {\frac{d T (D, N)}{d N} |}_{N = 1} = \sum_{d = d_{f r e e}}^{\infty} a_{d} f (d) D^{d} \end{array}$

ここで、 $f (d)$ は d の関数としての N の指数です。

BPSK、QPSK、OQPSK、2-PAM、4-QAM、プリコーディングされた MSK、DE-BPSK、DE-QPSK、DE-OQPSK、DE-MSK、DPSK、BFSK の結果は、次の式で与えられます。

$P_{2} (d) = {P_{b} |}_{\frac{E_{b}}{N_{0}} = γ_{b} R_{c} d}$

ここで、 $P_{b}$ は対応する符号化されていない AWGN チャネルの BER です。たとえば、BPSK の場合 ([1]の式 8.2-20):

$P_{2} (d) = Q (\sqrt{2 γ_{b} R_{c} d})$

Hard Decision

[1]の式 8.2-33、8.2-28、8.2-29 および[6]の式 13.28、13.24、13.25 が適用されます。

$P_{b} < \sum_{d = d_{f r e e}}^{\infty} a_{d} f (d) P_{2} (d)$

d が奇数の場合:

$P_{2} (d) = \sum_{k = (d + 1) / 2}^{d} (\begin{matrix} d \\ k \end{matrix}) p^{k} {(1 - p)}^{d - k}$

d が偶数の場合:

$P_{2} (d) = \sum_{k = d / 2 + 1}^{d} (\begin{matrix} d \\ k \end{matrix}) p^{k} {(1 - p)}^{d - k} + \frac{1}{2} (\begin{matrix} d \\ d / 2 \end{matrix}) p^{d / 2} {(1 - p)}^{d / 2}$

ここで p は符号化されていない AWGN チャネルのビットエラーレート (BER) です。