関数 bercoding および ビット エラー レート解析アプリで使用される解析的表現

R2026b

この節では、関数 bercoding および ビット エラー レート解析アプリで使用される主な解析的表現について説明します。

一般的な表記法

次の表に、この節の解析的表現で使用される追加の表記法を示します。

説明	表記法
情報ビットあたりのパワー スペクトル密度とノイズのパワー スペクトル密度の比	$${\gamma }_b=\frac{E_b}{N_0}$$
メッセージ長	$$K$$
符号長	$$N$$
符号化率	$$R_c=\frac{K}{N}$$

ブロック符号化

この節では、ブロック符号化表現の固有の表記法について説明します。$$d_{\min }$$ は、その符号の最小距離です。

軟判定

BPSK、QPSK、OQPSK、2-PAM、4-QAM、プリコーディングされた MSK の場合、[1]の式 8.1-52 が適用されます。

$$P_b\le \frac{1}{2}(2^K-1)Q\left(\sqrt{2{\gamma }_b{R}_c{d}_{\min }}\right)$$

DE-BPSK、DE-QPSK、DE-OQPSK、DE-MSK の場合:

$$P_b\le \frac{1}{2}(2^K-1)\left[2Q\left(\sqrt{2{\gamma }_b{R}_c{d}_{\min }}\right)\left[1-Q\left(\sqrt{2{\gamma }_b{R}_c{d}_{\min }}\right)\right]\right]$$

BFSK コヒーレント検出の場合、[1]の式 8.1-50 と 8.1-58 が適用されます。

$$P_b\le \frac{1}{2}(2^K-1)Q\left(\sqrt{{\gamma }_b{R}_c{d}_{\min }}\right)$$

BFSK 非コヒーレント二乗検出の場合、[1]の式 8.1-65 と 8.1-64 が適用されます。

$$P_b\le \frac{1}{2}\frac{2^K-1}{2^{2d_{\min }-1}}\exp \left(-\frac{1}{2}{\gamma }_b{R}_c{d}_{\min }\right){\displaystyle \sum _{i=0}^{d_{\min }-1}{\left(\frac{1}{2}{\gamma }_b{R}_c{d}_{\min }\right)}^i\frac{1}{i!}{\displaystyle \sum _{r=0}^{d_{\min }-1-i}\left(\begin{array}{c}2d_{\min }-1\\ r\end{array}\right)}}$$

DPSK の場合:

$$P_b\le \frac{1}{2}\frac{2^K-1}{2^{2d_{\min }-1}}\exp \left(-{\gamma }_b{R}_c{d}_{\min }\right){\displaystyle \sum _{i=0}^{d_{\min }-1}{\left({\gamma }_b{R}_c{d}_{\min }\right)}^i\frac{1}{i!}{\displaystyle \sum _{r=0}^{d_{\min }-1-i}\left(\begin{array}{c}2d_{\min }-1\\ r\end{array}\right)}}$$

Hard Decision

一般線形ブロック符号の場合、[9]の式 4.3 と 4.4 および[6]の式 12.136 が適用されます。

$$\begin{array}{l}{P}_b\le \frac{1}{N}{\displaystyle \sum _{m=t+1}^N(m+t)\left(\begin{array}{c}N\\ m\end{array}\right)p^m{\left(1-p\right)}^{N-m}}\\ t=\lfloor \frac{1}{2}\left(d_{\min }-1\right)\rfloor \end{array}$$

ハミング符号の場合、[9]の式 4.11 と 4.12 および[7]の式 6.72 と 6.73 が適用されます。

$$P_b\approx \frac{1}{N}{\displaystyle \sum _{m=2}^{N}m\left(\begin{array}{c}N\\ m\end{array}\right)p^m{\left(1-p\right)}^{N-m}}=p-p{(1-p)}^{N-1}$$

符号化率 (24,12) の拡張ゴレイ符号の場合、[9]の式 4.17 および[6]の式 12.139 が適用されます。

$$P_b\le \frac{1}{24}{\displaystyle \sum _{m=4}^{24}{\beta }_m\left(\begin{array}{c}24\\ m\end{array}\right)p^m{\left(1-p\right)}^{24-m}}$$

ここで、$${\beta }_m$$ はチャネル シンボル エラーの平均数で、チャネルが m のシンボル エラーを引き起こした場合は訂正された N 組のフォーマットになります ([9]の表 4.2)。

$$N=Q-1=2^q-1$$ のときのリード・ソロモン符号の場合:

$$P_b\approx \frac{2^{q-1}}{2^q-1}\frac{1}{N}{\displaystyle \sum _{m=t+1}^{N}m\left(\begin{array}{c}N\\ m\end{array}\right){\left(P_s\right)}^m{(1-P_s)}^{N-m}}$$

FSK の場合、[9]の式 4.25 と 4.27、[1]の式 8.1-115 と 8.1-116、[7]の式 8.7 と 8.8、および[6]の式 12.142 と 12.143 が適用されます。

$$P_b\approx \frac{1}{q}\frac{1}{N}{\displaystyle \sum _{m=t+1}^{N}m\left(\begin{array}{c}N\\ m\end{array}\right){\left(P_s\right)}^m{(1-P_s)}^{N-m}}$$

それ以外の場合、$${\log }_{2}Q/{\log }_{2}M=q/k=h$$ (h は整数) であれば、[10]の式 1 が適用されます。

$$P_s=1-{(1-s)}^h$$

ここで s は符号化されていない AWGN チャネルの SER です。

たとえば、BPSK の場合、$$M=2$$ で $$P_s=1-{(1-s)}^q$$ です。それ以外の場合、$$P_s$$ は[10]の表 1 および式 2 で与えられます。

畳み込み符号化

この節では、畳み込み符号化表現の固有の表記法について説明します。$$d_{free}$$ はその符号の自由距離で、$$a_d$$ は初めてゼロ パスと融合される、ゼロ パスからの距離が d のパス数です。

軟判定

[1]の式 8.2-26、8.2-24、8.2-25 および[6]の式 13.28 と 13.27 が適用されます。

$$P_b<{\displaystyle \sum _{d=d_{free}}^{\infty }{a}_{d}f(d)P_2(d)}$$

伝達関数は、次のように求められます。

$$\begin{array}{l}T(D,N)={\displaystyle \sum _{d=d_{free}}^{\infty }{a}_d{D}^d{N}^{f(d)}}\\ {\frac{dT(D,N)}{dN}|}_{N=1}={\displaystyle \sum _{d=d_{free}}^{\infty }{a}_{d}f(d)D^d}\end{array}$$

ここで、$$f(d)$$ は d の関数としての N の指数です。

BPSK、QPSK、OQPSK、2-PAM、4-QAM、プリコーディングされた MSK、DE-BPSK、DE-QPSK、DE-OQPSK、DE-MSK、DPSK、BFSK の結果は、次の式で与えられます。

$$P_2(d)={P_b|}_{\frac{E_b}{N_0}={\gamma }_b{R}_{c}d}$$

ここで、$$P_b$$ は対応する符号化されていない AWGN チャネルの BER です。たとえば、BPSK の場合 ([1]の式 8.2-20):

$$P_2(d)=Q\left(\sqrt{2{\gamma }_b{R}_{c}d}\right)$$

Hard Decision

[1]の式 8.2-33、8.2-28、8.2-29 および[6]の式 13.28、13.24、13.25 が適用されます。

$$P_b<{\displaystyle \sum _{d=d_{free}}^{\infty }{a}_{d}f(d)P_2(d)}$$

d が奇数の場合:

$$P_2(d)={\displaystyle \sum _{k=(d+1)/2}^d\left(\begin{array}{c}d\\ k\end{array}\right)p^k{(1-p)}^{d-k}}$$

d が偶数の場合:

$$P_2(d)={\displaystyle \sum _{k=d/2+1}^d\left(\begin{array}{c}d\\ k\end{array}\right)p^k{(1-p)}^{d-k}}+\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}d\\ d/2\end{array}\right)p^{d/2}{(1-p)}^{d/2}$$

ここで p は符号化されていない AWGN チャネルのビット エラー レート (BER) です。

参考

アプリ

• ビット エラー レート解析

関数

• berawgn | bercoding | berconfint | berfading | berfit | bersync

トピック

• BER 解析で使用される解析的表現
• ビット エラー レート解析の手法
• Analyze Performance with Bit Error Rate Analysis App