関数 berawgn および Bit Error Rate Analysis アプリで使用される解析的表現

以降の節では、関数 berawgn および Bit Error Rate Analysis アプリで使用される主な解析的表現について説明します。

M-PSK

[2]の式 8.22 から:

$$P_s=\frac{1}{\pi }{\displaystyle \underset{0}{\overset{(M-1)\pi /M}{\int }}\exp \left(-\frac{k{E}_b}{N_0}\frac{{\sin }^2\left[\pi /M\right]}{{\sin }^2\theta }\right)d\theta }$$

次の式は正確な BER ([4]および[2]の式 8.29 から) に似ていますが、完全には等しくありません。

$$P_b=\frac{1}{k}\left({\displaystyle \sum _{i=1}^{M/2}(w_i^{\text{'}})P_i}\right)$$

ここで、$$w_i^{\text{'}}=w_i+w_{M-i}$$、$$w_{M/2}^{\text{'}}=w_{M/2}$$、$$w_i$$ はシンボル i に割り当てられたビットのハミング重みです。

$$\begin{array}{c}{P}_i=\frac{1}{2\pi }{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi (1-(2i-1)/M)}{\int }}\exp \left(-\frac{k{E}_b}{N_0}\frac{{\sin }^2\left[(2i-1)\pi /M\right]}{{\sin }^2\theta }\right)d\theta }\\ -\frac{1}{2\pi }{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi (1-(2i+1)/M)}{\int }}\exp \left(-\frac{k{E}_b}{N_0}\frac{{\sin }^2\left[(2i+1)\pi /M\right]}{{\sin }^2\theta }\right)d\theta }\end{array}$$

M = 2 の M-PSK (つまり BPSK) の場合、[1]の式 5.2-57 が適用されます。

$$P_s=P_b=Q\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right)$$

M = 4 の M-PSK (つまり QPSK) の場合、[1]の式 5.2-59 と 5.2-62 が適用されます。

$$\begin{array}{c}{P}_s=2Q\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right)\left[1-\frac{1}{2}Q\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right)\right]\\ P_b=Q\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right)\end{array}$$

DE-M-PSK

M = 2 の DE-M-PSK (つまり DE-BPSK) の場合、[2]の式 8.36 が適用されます。

$$P_s=P_b=2Q\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right)-2Q^2\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right)$$

M = 4 の DE-M-PSK (つまり DE-QPSK) の場合、[2]の式 8.38 が適用されます。

$$P_s=4Q\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right)-8Q^2\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right)+8Q^3\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right)-4Q^4\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right)$$

[3]の式 5 から:

$$P_b=2Q\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right)\left[1-Q\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right)\right]$$

OQPSK

OQPSK の場合、[2]の QPSK と同じ BER と SER の計算を使用します。

DE-OQPSK

DE-OQPSK の場合、[3]の DE-QPSK と同じ BER と SER の計算を使用します。

M-DPSK

M-DPSK の場合、[2]の式 8.84 が適用されます。

$$P_s=\frac{\sin (\pi /M)}{2\pi }{\displaystyle \underset{-\pi /2}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{\exp \left(-(k{E}_b/N_0)(1-\cos (\pi /M)\cos \theta )\right)}{1-\cos (\pi /M)\cos \theta }d\theta }$$

次の式は正確な BER ([4]から) に似ていますが、完全には等しくありません。

$$P_b=\frac{1}{k}\left({\displaystyle \sum _{i=1}^{M/2}(w_i^{\text{'}})A_i}\right)$$

ここで、$$w_i^{\text{'}}=w_i+w_{M-i}$$、$$w_{M/2}^{\text{'}}=w_{M/2}$$、$$w_i$$ はシンボル i に割り当てられたビットのハミング重みです。

$$\begin{array}{l}{A}_i=F\left(\left(2i+1\right)\frac{\pi }{M}\right)-F\left(\left(2i-1\right)\frac{\pi }{M}\right)\\ F(\psi )=-\frac{\sin \psi }{4\pi }{\displaystyle \underset{-\pi /2}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{\exp \left(-k{E}_b/N_0(1-\cos \psi \cos t)\right)}{1-\cos \psi \cos t}dt}\end{array}$$

M = 2 の M-DPSK の場合、[2]の式 8.85 が適用されます。

$$P_b=\frac{1}{2}\exp \left(-\frac{E_b}{N_0}\right)$$

M-PAM

[2]の式 8.3 と 8.7、および[1]の式 5.2-46 から:

$$P_s=2\left(\frac{M-1}{M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{6}{M^2-1}\frac{k{E}_b}{N_0}}\right)$$

[5]から:

$$\begin{array}{c}{P}_b=\frac{2}{M{\log }_{2}M}\times \\ {\displaystyle \sum _{k=1}^{{\log }_{2}M}{\displaystyle \sum _{i=0}^{(1-2^{-k})M-1}\left\{{(-1)}^{\lfloor \frac{i{2}^{k-1}}{M}\rfloor }\left(2^{k-1}-\lfloor \frac{i{2}^{k-1}}{M}+\frac{1}{2}\rfloor \right)Q\left((2i+1)\sqrt{\frac{6{\log }_{2}M}{M^2-1}\frac{E_b}{N_0}}\right)\right\}}}\end{array}$$

M-QAM

正方形の M-QAM の場合、$$k={\log }_{2}M$$ は偶数であるため、[2]の式 8.10 および[1]の式 5.2-78 と 5.2-79 が適用されます。

$$P_s=4\frac{\sqrt{M}-1}{\sqrt{M}}Q\left(\sqrt{\frac{3}{M-1}\frac{k{E}_b}{N_0}}\right)-4{\left(\frac{\sqrt{M}-1}{\sqrt{M}}\right)}^2{Q}^2\left(\sqrt{\frac{3}{M-1}\frac{k{E}_b}{N_0}}\right)$$

[5]から:

$$\begin{array}{c}{P}_b=\frac{2}{\sqrt{M}{\log }_2\sqrt{M}}\\ \times {\displaystyle \sum _{k=1}^{{\log }_2\sqrt{M}}{\displaystyle \sum _{i=0}^{(1-2^{-k})\sqrt{M}-1}\left\{{(-1)}^{\lfloor \frac{i{2}^{k-1}}{\sqrt{M}}\rfloor }\left(2^{k-1}-\lfloor \frac{i{2}^{k-1}}{\sqrt{M}}+\frac{1}{2}\rfloor \right)Q\left((2i+1)\sqrt{\frac{6{\log }_{2}M}{2(M-1)}\frac{E_b}{N_0}}\right)\right\}}}\end{array}$$

長方形 (非正方形) の M-QAM の場合、$$k={\log }_{2}M$$ は奇数であり、$$M=I\times J$$、$$I=2^{\frac{k-1}{2}}$$、$$J=2^{\frac{k+1}{2}}$$ です。したがって、次のようになります。

$$\begin{array}{c}{P}_s=\frac{4IJ-2I-2J}{M}\\ \times Q\left(\sqrt{\frac{6{\log }_2(IJ)}{(I^2+J^2-2)}\frac{E_b}{N_0}}\right)-\frac{4}{M}(1+IJ-I-J)Q^2\left(\sqrt{\frac{6{\log }_2(IJ)}{(I^2+J^2-2)}\frac{E_b}{N_0}}\right)\end{array}$$

[5]から:

$$P_b=\frac{1}{{\log }_2(IJ)}\left({\displaystyle \sum _{k=1}^{{\log }_{2}I}{P}_I(k)}+{\displaystyle \sum _{l=1}^{{\log }_{2}J}{P}_J(l)}\right)$$

ここで、

$$P_I(k)=\frac{2}{I}{\displaystyle \sum _{i=0}^{(1-2^{-k})I-1}\left\{{(-1)}^{\lfloor \frac{i{2}^{k-1}}{I}\rfloor }\left(2^{k-1}-\lfloor \frac{i{2}^{k-1}}{I}+\frac{1}{2}\rfloor \right)Q\left((2i+1)\sqrt{\frac{6{\log }_2(IJ)}{I^2+J^2-2}\frac{E_b}{N_0}}\right)\right\}}$$

と

$$P_J(k)=\frac{2}{J}{\displaystyle \sum _{j=0}^{(1-2^{-l})J-1}\left\{{(-1)}^{\lfloor \frac{j{2}^{l-1}}{J}\rfloor }\left(2^{l-1}-\lfloor \frac{j{2}^{l-1}}{J}+\frac{1}{2}\rfloor \right)Q\left((2j+1)\sqrt{\frac{6{\log }_2(IJ)}{I^2+J^2-2}\frac{E_b}{N_0}}\right)\right\}}$$

コヒーレント検出を使用した直交 M-FSK

[2]の式 8.40 および[1]の式 5.2-21 から:

$$\begin{array}{l}{P}_s=1-{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{\left[Q\left(-q-\sqrt{\frac{2k{E}_b}{N_0}}\right)\right]}^{M-1}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{q^2}{2}\right)dq}\\ P_b=\frac{2^{k-1}}{2^k-1}{P}_s\end{array}$$

コヒーレント検出を使用した非直交 2-FSK

$$M=2$$ の場合、[1]の式 5.2-21 および[2]の式 8.44 が適用されます。

$$P_s=P_b=Q\left(\sqrt{\frac{E_b(1-\mathrm{Re}\left[\rho \right])}{N_0}}\right)$$

$$\rho$$ は複素数の相関係数であり、次のようになります。

$$\rho =\frac{1}{2E_b}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T_b}{\int }}{\tilde{s}}_1(t){\tilde{s}}_2^{*}(t)dt}$$

ここで、$${\tilde{s}}_1(t)$$ と $${\tilde{s}}_2(t)$$ は複素数ローパス信号で、

$$E_b=\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T_b}{\int }}{\left|{\tilde{s}}_1(t)\right|}^{2}dt}=\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T_b}{\int }}{\left|{\tilde{s}}_2(t)\right|}^{2}dt}$$

たとえば、次の場合:

$${\tilde{s}}_1(t)=\sqrt{\frac{2E_b}{T_b}}{e}^{j2\pi f_{1}t},{\tilde{s}}_2(t)=\sqrt{\frac{2E_b}{T_b}}{e}^{j2\pi f_{2}t}$$

次になります。

$$\begin{array}{c}\rho =\frac{1}{2E_b}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T_b}{\int }}\sqrt{\frac{2E_b}{T_b}}{e}^{j2\pi f_{1}t}\sqrt{\frac{2E_b}{T_b}}{e}^{-j2\pi f_{2}t}dt}=\frac{1}{T_b}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T_b}{\int }}{e}^{j2\pi (f_1-f_2)t}dt}\\ =\frac{\sin (\pi \Delta f{T}_b)}{\pi \Delta f{T}_b}{e}^{j\pi \Delta ft}\end{array}$$

ここで、$$\Delta f=f_1-f_2$$ です。

[2]の式 8.44 から:

$$\begin{array}{l}\mathrm{Re}\left[\rho \right]=\mathrm{Re}\left[\frac{\sin (\pi \Delta f{T}_b)}{\pi \Delta f{T}_b}{e}^{j\pi \Delta ft}\right]=\frac{\sin (\pi \Delta f{T}_b)}{\pi \Delta f{T}_b}\cos (\pi \Delta f{T}_b)=\frac{\sin (2\pi \Delta f{T}_b)}{2\pi \Delta f{T}_b}\\ \Rightarrow P_b=Q\left(\sqrt{\frac{E_b(1-\sin (2\pi \Delta f{T}_b)/(2\pi \Delta f{T}_b))}{N_0}}\right)\end{array}$$

ここで、$$h=\Delta f{T}_b$$ です。

非コヒーレント検出を使用した直交 M-FSK

[1]の式 5.4-46 および[2]の式 8.66 から:

$$\begin{array}{l}{P}_s={\displaystyle \sum _{m=1}^{M-1}{(-1)}^{m+1}\left(\begin{array}{c}M-1\\ m\end{array}\right)\frac{1}{m+1}\exp \left[-\frac{m}{m+1}\frac{k{E}_b}{N_0}\right]}\\ P_b=\frac{1}{2}\frac{M}{M-1}{P}_s\end{array}$$

非コヒーレント検出を使用した非直交 2-FSK

$$M=2$$ の場合、[1]の式 5.4-53 および[2]の式 8.69 が適用されます。

$$P_s=P_b=Q(\sqrt{a},\sqrt{b})-\frac{1}{2}\exp \left(-\frac{a+b}{2}\right)I_0(\sqrt{ab})$$

ここで、

$$a=\frac{E_b}{2N_0}(1-\sqrt{1-{\left|\rho \right|}^2}),b=\frac{E_b}{2N_0}(1+\sqrt{1-{\left|\rho \right|}^2})$$

コヒーレント検出を使用してプリコーディングされた MSK

BPSK と同じ BER と SER の計算を使用します。

コヒーレント検出を使用して差分符号化された MSK

DE-BPSK と同じ BER と SER の計算を使用します。

非コヒーレント検出を使用した MSK (最適なブロック単位による)

エラー レートの上限 ([6]の式 10.166 と 10.164 から) は次のとおりです。

$$\begin{array}{c}{P}_s=P_b\\ \le \frac{1}{2}\left[1-Q\left(\sqrt{b_1},\sqrt{a_1}\right)+Q\left(\sqrt{a_1},\sqrt{b_1}\right)\right]+\frac{1}{4}\left[1-Q\left(\sqrt{b_4},\sqrt{a_4}\right)+Q\left(\sqrt{a_4},\sqrt{b_4}\right)\right]+\frac{1}{2}{e}^{-\frac{E_b}{N_0}}\end{array}$$

ここで、

$$\begin{array}{cc}{a}_1=\frac{E_b}{N_0}\left(1-\sqrt{\frac{3-4/{\pi }^2}{4}}\right),& b_1=\frac{E_b}{N_0}\left(1+\sqrt{\frac{3-4/{\pi }^2}{4}}\right)\\ a_4=\frac{E_b}{N_0}\left(1-\sqrt{1-4/{\pi }^2}\right),& b_4=\frac{E_b}{N_0}\left(1+\sqrt{1-4/{\pi }^2}\right)\end{array}$$

CPFSK コヒーレント検出 (最適なブロック単位による)

エラー レートの下限 ([1]の式 5.3-17 から) は次のとおりです。

$$P_s>K_{{\delta }_{\min }}Q\left(\sqrt{\frac{E_b}{N_0}{\delta }_{\min }^2}\right)$$

エラー レートの上限は次のとおりです。

$${\delta }_{\min }^2>\underset{1\le i\le M-1}{\min }\left\{2i\left(1-\text{sinc}(2ih)\right)\right\}$$

ここで、h は変調指数、$$K_{{\delta }_{\min }}$$ は最小距離のパス数です。

$$P_b\cong \frac{P_s}{k}$$

参考

アプリ

• Bit Error Rate Analysis

関数

• berawgn | bercoding | berconfint | berfading | berfit | bersync

関連するトピック

• BER 解析で使用される解析的表現
• ビット エラー レート解析の手法
• Analyze Performance with Bit Error Rate Analysis App