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divergence

ベクトル場の発散

構文

divergence(V,X)

説明

divergence(V,X) は、直交座標のベクトル X について、ベクトル場の発散 V を返します。ベクトル V と X は、同じ長さでなければなりません。

例

ベクトル場の発散を求める

ベクトル V(x,y,z) = (x, 2y², 3z³) に関して、ベクトル場の発散 X = (x,y,z) を計算します。

syms x y z
field = [x 2*y^2 3*z^3];
vars = [x y z];
divergence(field,vars)

ans =
9*z^2 + 4*y + 1

ベクトル場の回転の発散は 0 になることを示します。

divergence(curl(field,vars),vars)

ans =
0

次のスカラー関数の勾配の発散を求めます。結果は、スカラー関数のラプラシアンになります。

syms x y z
f = x^2 + y^2 + z^2;
divergence(gradient(f,vars),vars)

ans =
6

電界から電荷密度を求める

微分形式のガウスの法則は、電界の発散が電荷密度に比例することを記述しています。

$$\overrightarrow{\underset{}{\nabla }}\cdot \overrightarrow{\underset{}{E}}(\overrightarrow{\underset{}{r}})=\frac{\rho (\overrightarrow{\underset{}{r}})}{{ϵ}_0}.$$

電界 $$\overrightarrow{\underset{}{E}}=x^2\underset{}{\overset{ˆ}{i}}+y^2\underset{}{\overset{ˆ}{j}}$$ に対する電荷密度を求めます。

syms x y ep0
E = [x^2 y^2];
rho = divergence(E,[x y])*ep0

rho = $${\mathrm{ep}}_0\hspace{0.17em}\left(2\hspace{0.17em}x+2\hspace{0.17em}y\right)$$

ep0 = 1 として、-2 < x < 2 および -2 < y < 2 における電界と電荷密度を可視化します。meshgrid を使用して、x と y の値におけるグリッドを作成します。subs を使用してグリッド値を代入することによって、電界と電荷密度の値を求めます。subs への入力として cell 配列を使用して、グリッド値 xPlot および yPlot を同時に、電荷密度 rho に代入します。

rho = subs(rho,ep0,1);
v = -2:0.1:2;
[xPlot,yPlot] = meshgrid(v);
Ex = subs(E(1),x,xPlot);
Ey = subs(E(2),y,yPlot);
rhoPlot = double(subs(rho,{x,y},{xPlot,yPlot}));

quiver を使用して電界をプロットします。contour を使用して電荷密度を重ね合わせます。等高線は電荷の値を示します。

quiver(xPlot,yPlot,Ex,Ey)
hold on
contour(xPlot,yPlot,rhoPlot,'ShowText','on')
title('Contour Plot of Charge Density Over Electric Field')
xlabel('x')
ylabel('y')

入力引数

V — ベクトル場

シンボリック式 | シンボリック関数 | シンボリック式のベクトル | シンボリック関数のベクトル

シンボリック式、シンボリック関数、またはシンボリック式やシンボリック関数からなるベクトルで指定される、発散を求めるベクトル場。V は X と同じ長さでなければなりません。

X — 発散を求める変数

シンボリック変数 | シンボリック変数のベクトル

シンボリック変数またはシンボリック変数からなるベクトルで指定される、発散を求める変数。X は V と同じ長さでなければなりません。

詳細

ベクトル場の発散

直交座標のベクトル V = (V₁,...,V_n) に関するベクトル場の発散 X = (X₁,...,X_n) は、X₁,...,X_n に関する V の偏微分の和です。

$$div(\overrightarrow{V})=\nabla \cdot \overrightarrow{V}={\displaystyle \sum _{i=1}^n\frac{\partial V_i}{\partial x_i}}.$$

参考

curl | diff | gradient | jacobian | hessian | laplacian | potential | vectorPotential

R2012a で導入

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