potential

ベクトル場のポテンシャル

構文

potential(V,X)

potential(V,X,Y)

説明

potential(V,X) は、直交座標のベクトル X について、ベクトル場 V のポテンシャルを計算します。ベクトル場 V は勾配場でなければなりません。

potential(V,X,Y) は、Y を積分の基点として使用し、X に関するベクトル場 V のポテンシャルを計算します。

例

ベクトル場のポテンシャルの計算

ベクトル [x, y, z] についてこのベクトル場のポテンシャルを計算します。

syms x y z
P = potential([x, y, z*exp(z)], [x y z])

P =
x^2/2 + y^2/2 + exp(z)*(z - 1)

結果を検証するには、関数 gradient を使用します。

simplify(gradient(P, [x y z]))

ans =
        x
        y
 z*exp(z)

積分の基点の指定

積分の基点を [0 0 0] と指定して、次のベクトル場のポテンシャルを計算します。

syms x y z
P = potential([x, y, z*exp(z)], [x y z], [0 0 0])

P =
x^2/2 + y^2/2 + exp(z)*(z - 1) + 1

P([0 0 0]) = 0 であることを検証します。

subs(P, [x y z], [0 0 0])

ans =
     0

勾配なしの場のポテンシャルのテスト

ベクトル場が勾配ではない場合、potential は NaN を返します。

potential([x*y, y], [x y])

ans =
NaN

入力引数

V — ベクトル場

シンボリック式または関数の 3 次元のシンボリック ベクトル (既定値)

ベクトル場。シンボリック式またはシンボリック関数の 3 次元のベクトルとして指定します。

X — 入力

3 つのシンボリック変数から成るベクトル

入力。ポテンシャルを計算する 3 つのシンボリック変数から成るベクトルとして指定します。

Y — 入力

シンボリック ベクトル

入力。積分の基点として使用する変数、式、または数値のシンボリック ベクトルとして指定します。この引数を使用する場合、P(Y) = 0 となるように、potential は P(X) を返します。それ以外の場合、ポテンシャルは特定の加算定数まで定義されます。

詳細

勾配ベクトル場のスカラー ポテンシャル

勾配ベクトル場のポテンシャル V(X) = [v₁(x₁,x₂,...),v₂(x₁,x₂,...),...] はスカラー P(X) であり、$$V\text{}\left(X\right)=\nabla P\left(X\right)$$ となります。

ベクトル場は、ヤコビアンが対称である場合にのみ勾配となります。

$$\left(\frac{\partial v_i}{\partial x_j}\right)=\left(\frac{\partial v_j}{\partial x_i}\right)$$

関数 potential は、積分形式でポテンシャルを表します。

$$P\text{}\left(X\right)={\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(X\text{}-\text{}Y\right)\cdot V\text{}\left(Y+\lambda \left(X\text{}-\text{}Y\right)\right)d\lambda }$$

ヒント

• potential によって、V が勾配場であることが検証できない場合、NaN を返します。

• NaN を返しても、V が勾配場でないことは証明されません。パフォーマンス上の理由により、potential は偏導関数を十分に単純化しない場合があります。このため、場が勾配であることを検証できません。

• Y がスカラーの場合、potential はすべての要素が Y と等しい、X と同じ長さのベクトルにそれを展開します。

バージョン履歴

R2012a で導入

参考

curl | diff | divergence | gradient | jacobian | hessian | laplacian | vectorPotential