laplacian

シンボリックな場のラプラシアン

構文

l = laplacian(f,v)

l = laplacian(f)

説明

l = laplacian(f,v) は、直交座標のベクトル v について、シンボリックな場 f のラプラシアンを返します。f が配列の場合、関数は f の各要素のラプラシアンを計算し、f と同じサイズの出力 l を返します。

l = laplacian(f) は、シンボリックな場 f のシンボリック変数から作成された既定のベクトルについて、f のラプラシアンを返します。

例

スカラー場のラプラシアン

スカラー場 $\mathit{f}\left(\mathit{x},\mathit{y},\mathit{z}\right)=\sin \left(\mathit{x}\right)+{\mathit{y}}^2+{\mathit{z}}^3$ のシンボリック関数を作成します。ベクトル $\left(\mathit{x},\mathit{y},\mathit{z}\right)$ についてこの関数のラプラシアンを計算します。

syms x y z
f(x,y,z) = sin(x) + y^2 + z^3;
v = [x y z];
lf = laplacian(f,v)

lf(x, y, z) = $$6\hspace{0.17em}z-\sin \left(x\right)+2$$

別のスカラー場 $\mathit{g}\left(\mathit{x},\mathit{y},\mathit{z}\right)={\mathit{x}}^2\mathit{y}+\mathit{z}$ を作成します。微分するベクトルを指定せずにラプラシアンを求めます。g はシンボリック スカラー変数の関数であるため、laplacian は symvar(g) で定義されている既定の変数について g のラプラシアンを求めます。

g(x,y,z) = x^2*y + z;
lg = laplacian(g)

lg(x, y, z) = $$2\hspace{0.17em}y$$

ベクトル場のラプラシアン

R2023a 以降

シンボリックなベクトル場 $\mathit{F}=\left[\begin{array}{c}\sin \left(\mathit{x}\right)+{\mathit{y}}^2+{\mathit{z}}^3\\ {\mathit{x}}^2\mathit{y}+\mathit{z}\end{array}\right]$ を作成します。$\left(\mathit{x},\mathit{y},\mathit{z}\right)$ について、このベクトル場のラプラシアンを求めます。

syms x y z
F = [sin(x) + y^2 + z^3; x^2*y + z];
v = [x y z];
l = laplacian(F,v)

l = 
$$\left(\begin{array}{c}6\hspace{0.17em}z-\sin \left(x\right)+2\\ 2\hspace{0.17em}y\end{array}\right)$$

ラプラシアンを含むベクトル微積分恒等式の求解

R2023a 以降

シンボリック行列変数 $\mathit{X}$ として 3 行 1 列のベクトルを作成します。$\mathit{X}$ の既存の定義を維持したまま、$\mathit{X}$ の関数であるスカラー場をシンボリック行列関数 $\psi \left(\mathit{X}\right)$ として作成します。

syms X [3 1] matrix
syms psi(X) [1 1] matrix keepargs

$\psi \left(\mathit{X}\right)$ の勾配の発散が $\psi \left(\mathit{X}\right)$ のラプラシアン、つまり ${\nabla }_{\mathit{X}}\cdot {\nabla }_{\mathit{X}}\psi \left(\mathit{X}\right)={\Delta }_{\mathit{X}}\psi \left(\mathit{X}\right)$ に等しいことを示します。

divOfGradPsi = divergence(gradient(psi,X),X)

divOfGradPsi(X) = $${\Delta }_X\mathrm{ }\psi \left(X\right)$$

lapPsi = laplacian(psi,X)

lapPsi(X) = $${\Delta }_X\mathrm{ }\psi \left(X\right)$$

$\mathit{X}$ の関数であるベクトル場をシンボリック行列関数 $\mathit{A}\left(\mathit{X}\right)$ として作成します。

syms A(X) [3 1] matrix keepargs

$\mathit{A}\left(\mathit{X}\right)$ の発散の勾配から $\mathit{A}\left(\mathit{X}\right)$ の回転の回転を引いたものが $\mathit{A}\left(\mathit{X}\right)$ のラプラシアン、つまり ${\nabla }_{\mathit{X}}{\nabla }_{\mathit{X}}\cdot \mathit{A}\left(\mathit{X}\right)-{\nabla }_{\mathit{X}}\times {\nabla }_{\mathit{X}}\times \mathit{A}\left(\mathit{X}\right)={\Delta }_{\mathit{X}}\mathit{A}\left(\mathit{X}\right)$ に等しいことを示します。

identityA = gradient(divergence(A,X),X) - curl(curl(A,X),X)

identityA(X) = $${\Delta }_X\mathrm{ }A\left(X\right)$$

入力引数

f — シンボリックな場

シンボリック式 | シンボリック関数 | シンボリック行列変数 | シンボリック行列関数

シンボリックな場。シンボリック式、シンボリック関数、シンボリック行列変数、またはシンボリック行列関数として指定します。入力する場は、スカラー、ベクトル、行列、または多次元配列にすることができ、入力の各要素に対してラプラシアンが計算されます。

• f がシンボリック スカラー変数の関数であり、f が sym 型または symfun 型である場合、ベクトル v は sym 型または symfun 型でなければならない。

• f がシンボリック行列変数の関数であり、f が symmatrix 型または symfunmatrix 型である場合、ベクトル v は symmatrix 型または symfunmatrix 型でなければならない。

データ型: sym | symfun | symmatrix | symfunmatrix

v — ラプラシアンを求める対象のベクトル

シンボリック スカラー変数のベクトル | シンボリック関数 | シンボリック行列変数 | シンボリック行列関数

ラプラシアンを求める対象のベクトル。シンボリック スカラー変数のベクトル、シンボリック関数、シンボリック行列変数、またはシンボリック行列関数として指定します。

• v を指定せず、f がシンボリック スカラー変数の関数である場合、既定では、laplacian は symvar(f) で定義された変数の順序で、f のシンボリック スカラー変数からベクトル v を構成する。

• v が symmatrix 型のシンボリック行列変数である場合、v は 1 行 N 列または N 行 1 列のサイズでなければならない。

• v がスカラーの場合、laplacian(f,v) = diff(f,2,v) となる。

データ型: sym | symfun | symmatrix | symfunmatrix

制限

• 現在、Symbolic Math Toolbox™ は、シンボリック行列変数の関数 dot または関数 cross と、symmatrix 型および symfunmatrix 型の関数をサポートしていません。ベクトル微積分の恒等式がドット積またはクロス積を含む場合、ツールボックスは代わりに他のサポートされている関数でそれらの恒等式を表示します。シンボリック行列の変数と関数をサポートするすべての関数のリストを表示するには、コマンド methods symmatrix と methods symfunmatrix を使用します。

• シンボリックな場 f の入力データ型が symmatrix または symfunmatrix の場合、laplacian は f の偏導関数を評価しません。代わりに、シンボリック演算と式の並べ替え用に未評価の式を返します。

詳細

ラプラシアン

ベクトル x = (x₁,...,x_n) に関するスカラー場 f のラプラシアン (ラプラスの微分演算子) は、x₁,...,x_n に関する f の 2 次導関数の和になります。

$${\Delta }_{x}f={\displaystyle \sum _{i=1}^n\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i^2}}$$

f がベクトル場またはテンソル場 (多次元配列) である場合、ラプラシアン演算子は f の各要素に適用されます。

代替方法

スカラー関数または関数式のラプラシアンは、その関数または式の勾配の発散です。

$$\Delta f=\nabla \cdot \left(\nabla f\right)$$

シンボリックなスカラー場 f について、関数 divergence と関数 gradient を使用してラプラシアンを計算することもできます。

syms f(x,y)
divergence(gradient(f(x,y)),[x y])

バージョン履歴

R2012a で導入

R2023a: シンボリック行列変数、関数、および多次元配列のラプラシアンの計算

関数 laplacian は、シンボリック行列変数と、symmatrix 型および symfunmatrix 型の関数を入力引数として受け入れます。例については、ラプラシアンを含むベクトル微積分恒等式の求解を参照してください。

多次元配列 f のラプラシアンを計算することもできます。関数 laplacian は、f の各要素のラプラシアンを計算し、f と同じサイズの出力 l を返します。以前のリリースでは、f はスカラーでなければなりません。例については、ベクトル場のラプラシアンを参照してください。

参考

curl | diff | divergence | gradient | hessian | jacobian | potential | vectorPotential