cross

外積

構文

C = cross(A,B)

C = cross(A,B,dim)

説明

C = cross(A,B) は A と B の外積を返します。

• A と B がベクトルの場合、それらの長さは 3 でなければなりません。

• A と B が行列または多次元配列の場合、それらのサイズは同じでなければなりません。この場合、関数 cross は A と B を 3 要素のベクトルの集合として扱います。この関数は、サイズが 3 の最初の配列次元に沿って対応するベクトルの外積を計算します。

C = cross(A,B,dim) は、次元 dim に沿って配列 A と B の外積を評価します。A と B は同じサイズで、size(A,dim) と size(B,dim) は 3 でなければなりません。dim 入力は、正の整数のスカラーです。

例

ベクトルの外積

2 つの 3 次元ベクトルを作成します。

A = [4 -2 1];
B = [1 -1 3];

A と B の外積を求めます。結果 C は、A と B の両方に対して垂直なベクトルです。

C = cross(A,B)

C = 1×3

    -5   -11    -2

ドット積を使用して、C が A と B に対し垂直であることを検証します。

dot(C,A)==0 & dot(C,B)==0

ans = logical
   1

結果は logical 1 (true) です。

行列の外積

ランダムな整数を含む行列を 2 つ作成します。

A = randi(15,3,5)

A = 3×5

    13    14     5    15    15
    14    10     9     3     8
     2     2    15    15    13

B = randi(25,3,5)

B = 3×5

     4    20     1    17    10
    11    24    22    19    17
    23    17    24    19     5

A と B の外積を求めます。

C = cross(A,B)

C = 3×5

   300   122  -114  -228  -181
  -291  -198  -105   -30    55
    87   136   101   234   175

結果 C には、A と B の列間の 5 つの独立した外積が含まれます。たとえば、C(:,1) は A(:,1) と B(:,1) の外積に等しくなります。

多次元配列の外積

ランダムな整数の 3×3×3 の多次元配列を 2 つ作成します。

A = randi(10,3,3,3);
B = randi(25,3,3,3);

行をベクトルとして扱い、A と B の外積を求めます。

C = cross(A,B,2)

C = 
C(:,:,1) =

   -34    12    62
    15    72  -109
   -49     8     9


C(:,:,2) =

   198  -164  -170
    45     0   -18
   -55   190  -116


C(:,:,3) =

  -109   -45   131
     1   -74    82
    -6   101  -121

結果は、行ベクトルの集合になります。たとえば、C(1,:,1) は A(1,:,1) と B(1,:,1) の外積に等しくなります。

3 番目の次元 (dim = 3) に沿って A と B の外積を求めます。

D = cross(A,B,3)

D = 
D(:,:,1) =

   -14   179  -106
   -56    -4   -75
     2   -37    10


D(:,:,2) =

   -37  -162   -37
    50  -124   -78
     1    63   118


D(:,:,3) =

    62  -170    56
    46    72   105
    -2   -53  -160

結果は、3 番目の次元によるベクトルの集合になります。たとえば、D(1,1,:) は A(1,1,:) と B(1,1,:) の外積に等しくなります。

入力引数

A,B — 入力配列

数値配列

入力配列。数値配列として指定します。

データ型: single | double
複素数のサポート: あり

dim — 演算の対象の次元

正の整数スカラー

演算の対象の次元。正の整数のスカラーとして指定します。次元 dim のサイズは 3 でなければなりません。値を指定しない場合、既定では、サイズが 3 の最初の配列次元になります。

2 つの 2 次元の入力配列 A と B について考えます。

• cross(A,B,1) は A と B の列をベクトルとして扱い、対応する列の外積を返します。

• cross(A,B,2) は A と B の行をベクトルとして扱い、対応する行の外積を返します。

dim が ndims(A) より大きい場合、cross はエラーを返します。

詳細

外積

2 つの 3 次元ベクトル間の外積は、その 2 つに垂直な新しいベクトルを生成します。

次の 2 つのベクトルを考えてみましょう。

$$\begin{array}{l}A=a_1\widehat{i}+a_2\widehat{j}+a_3\widehat{k},\\ B=b_1\widehat{i}+b_2\widehat{j}+b_3\widehat{k}.\end{array}$$

基底ベクトル $$\widehat{i}$$、$$\widehat{j}$$、$$\widehat{k}$$ を含む行列式で表すと、A と B のクロス積は次のようになります。

$$\begin{array}{l}C=A\times B=\left|\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}{\widehat{i}}_{}& {\widehat{j}}_{}\end{array}& {\widehat{k}}_{}\\ \begin{array}{cc}\begin{array}{c}{a}_1\\ b_1\end{array}& \begin{array}{c}{a}_2\\ b_2\end{array}\end{array}& \begin{array}{c}{a}_3\\ b_3\end{array}\end{array}\right|\\ \\ =(a_2{b}_3-a_3{b}_2)\widehat{i}+(a_3{b}_1-a_1{b}_3)\widehat{j}+(a_1{b}_2-a_2{b}_1)\widehat{k}.\end{array}$$

幾何学的に、$$A\times B$$ は A と B の両方に対して垂直になります。クロス積の大きさ $$\Vert A\times B\Vert$$ は、A と B を辺とする平行四辺形の面積に等しくなります。この面積は、A と B の大きさと、次に示されるベクトル間の角度に関係します。

$$\Vert A\times B\Vert =\Vert A\Vert \Vert B\Vert \sin \alpha .$$

したがって、A と B が平行である場合、外積は 0 になります。

拡張機能

C/C++ コード生成

MATLAB® Coder™ を使用して C および C++ コードを生成します。

使用上の注意および制限:

• dim 引数を使用する場合、コード生成時に定数でなければなりません。

• コード生成では、この関数のスパース行列入力はサポートされません。

• A と B がコード生成時に可変サイズの配列で実行時にベクトルになる場合、実行時のベクトルは向きが同じでなければなりません。

GPU コード生成

GPU Coder™ を使用して NVIDIA® GPU のための CUDA® コードを生成します。

使用上の注意および制限:

• dim を指定する場合、定数でなければなりません。

• コード生成では、この関数のスパース行列入力はサポートされません。

スレッドベースの環境

MATLAB® の backgroundPool を使用してバックグラウンドでコードを実行するか、Parallel Computing Toolbox™ の ThreadPool を使用してコードを高速化します。

この関数はスレッドベースの環境を完全にサポートしています。詳細については、スレッドベースの環境での MATLAB 関数の実行を参照してください。

GPU 配列

Parallel Computing Toolbox™ を使用してグラフィックス処理装置 (GPU) 上で実行することにより、コードを高速化します。

cross 関数は、GPU 配列を完全にサポートします。GPU 上で関数を実行するには、入力データを gpuArray (Parallel Computing Toolbox) として指定します。詳細については、GPU での MATLAB 関数の実行 (Parallel Computing Toolbox)を参照してください。

分散配列

Parallel Computing Toolbox™ を使用して、クラスターの結合メモリ上で大きなアレイを分割します。

この関数は分散配列を完全にサポートしています。詳細については、分散配列を使用した MATLAB 関数の実行 (Parallel Computing Toolbox)を参照してください。

バージョン履歴

R2006a より前に導入

参考

dot | kron | norm

外部の Web サイト

• Applied Linear Algebra (MathWorks Teaching Resources)